Z-TOPSIS - TOPSIS yönteminin Z-Number uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Z=(A,B) Z-sayı karar matrisi; her Z = (A,B) Kang 2012 ile sıradan bulanık sayıya Ã'=α^(1/2)·A (α=∫μ_B(x)dx) çevrilir; gerektiğinde centroid ile crisp x'_ij.

   $$Z_{ij}=(A_{ij},B_{ij});\alpha =\int {\mu }_B(x)dx;{\tilde{A}}_{ij}^{\prime }(x)=\sqrt{\alpha }·{\mu }_{A_{ij}}(x)$$
   LaTeX

   Z_{ij} = (A_{ij}, B_{ij});\ \ \alpha = \int \mu_{B}(x)\, dx;\ \ \tilde{A}'_{ij}(x) = \sqrt{\alpha}\cdot \mu_{A_{ij}}(x)

2. Adım 2 — Çevrilmiş Ã' (veya crisp x') üzerinde klasik TOPSIS normalleştirmesi ve ağırlıklı matris v_ij = w_j · r_ij.

   $$r_{ij}={\displaystyle \frac{{\tilde{A}}_{ij}^{\prime }}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{\tilde{A}}_{ij}^{\prime 2}}}};v_{ij}=w_j·r_{ij}$$
   LaTeX

   r_{ij} = \dfrac{\tilde{A}'_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\tilde{A}'^{2}_{ij}}};\ \ v_{ij} = w_{j}\cdot r_{ij}

3. Adım 3 — Çevrilmiş (bulanık veya crisp) değerler üzerinde pozitif-ideal A⁺ ve negatif-ideal A⁻.

   $$A_j^{+}=\{\begin{array}{cc}{max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{+}\hfill \\ {min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{-}\hfill \end{array};A_j^{-}=\{\begin{array}{cc}{min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{+}\hfill \\ {max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{-}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   A^{+}_{j} = \begin{cases}\max_{i} v_{ij} & j\in J^{+}\\ \min_{i} v_{ij} & j\in J^{-}\end{cases};\ \ A^{-}_{j} = \begin{cases}\min_{i} v_{ij} & j\in J^{+}\\ \max_{i} v_{ij} & j\in J^{-}\end{cases}

4. Adım 4 — Üçgen bulanık (a,b,c) için Z-türevli uzaklık d(Z_1,Z_2) = √((1/3)·[(a'_1−a'_2)² + (b'_1−b'_2)² + (c'_1−c'_2)²]); D_i^+ ve D_i^-.

   $$d(Z_1,Z_2)=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{3}}[(a_1^{\prime }-a_2^{\prime }{)}^2+(b_1^{\prime }-b_2^{\prime }{)}^2+(c_1^{\prime }-c_2^{\prime }{)}^2]};D_i^{\pm }=\sum _{j=1}^{n}d(v_{ij},A_j^{\pm })$$
   LaTeX

   d(Z_{1}, Z_{2}) = \sqrt{\dfrac{1}{3}\left[(a'_{1}-a'_{2})^{2} + (b'_{1}-b'_{2})^{2} + (c'_{1}-c'_{2})^{2}\right]};\ \ D_{i}^{\pm} = \sum_{j=1}^{n} d(v_{ij}, A^{\pm}_{j})

5. Adım 5 — Yakınlık katsayısı CC_i = D_i^-/(D_i^+ + D_i^-); azalan sıralama.

   $$C{C}_i={\displaystyle \frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}};\text{rank}={\text{argsort}}_{\text{desc}}(C{C}_i)$$
   LaTeX

   CC_{i} = \dfrac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}};\ \ \text{rank} = \text{argsort}_{\text{desc}}(CC_{i})

Sezgi

Z-Number outranking/ranking - Z-Number (Z = (A, B): restriction A, reliability B; both fuzzy). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: z-topsis extends TOPSIS to handle Z-Number uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Z-Number (Z = (A, B): restriction A, reliability B; both fuzzy) algebra. The final scores are defuzzified via convert to regular fuzzy: Ã = B·A, then centroid before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Z-Number numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TOPSIS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Z-Number numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin Z = (A, B) where A restricts values, B indicates reliability of A; both TFNs typically koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: convert to regular fuzzy: Ã = B·A, then centroid kanonik seçimdir.
• B (reliability) her hücrede aynıysa, sqrt(alpha) sabiti sütun bazlı vektör-norm normalizasyonunda (R_ij = x'_ij / ||sütun||) tam olarak iptal olur; sıralama VE skorlar değişmeden kalır. Bu, Kang (2012) dönüşümünün matematiksel bir özelliğidir; düzeltmenin B'yi okumadığının değil, yöntemin ölçek-değişmezliğinin kanıtıdır. Hata/düzeltme kanıtı için B'yi TEK bir hücrede (tüm matriste değil) değiştirin.