Z-MARCOS - MARCOS yönteminin Z-Number uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Z-sayı karar matrisi Z_{ij}=(A_{ij},B_{ij}) doğrulanır; Kang 2012 ile TFN'ye dönüştürülür: \tilde{A}'_{ij}(x)=\sqrt{\alpha_{ij}}\cdot\mu_{A_{ij}}(x), \alpha_{ij}=\int x\mu_{B_{ij}}(x)dx/\int\mu_{B_{ij}}(x)dx; centroid ile crisp x_{ij} elde edilir; ardından AAI ve AI satırları eklenerek X^{*} oluşturulur.

   $${\tilde{A}}_{ij}^{\prime }(x)=\sqrt{{\alpha }_{ij}}·{\mu }_{A_{ij}}(x),{\alpha }_{ij}=\frac{\int x{\mu }_{B_{ij}}(x)dx}{\int {\mu }_{B_{ij}}(x)dx};X^{*}=[X^T;AAI;AI{]}^T,AA{I}_j=min/max,A{I}_j=max/min$$
   LaTeX

   \tilde{A}'_{ij}(x) = \sqrt{\alpha_{ij}}\cdot\mu_{A_{ij}}(x),\ \alpha_{ij} = \frac{\int x\mu_{B_{ij}}(x)dx}{\int \mu_{B_{ij}}(x)dx};\quad X^{*} = [X^{T}\,;\,AAI\,;\,AI]^{T},\quad AAI_{j}=\min/\max,\ AI_{j}=\max/\min

2. Adım 2 — Kriter yönüne göre AI'ye karşı normalleştirme.

   $$n_{ij}=\{\begin{array}{cc}{x}_{ij}/x_{AI,j}\hfill & j\in J^{+}\hfill \\ x_{AI,j}/x_{ij}\hfill & j\in J^{-}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   n_{ij} = \begin{cases} x_{ij}/x_{AI,j} & j\in J^{+} \\ x_{AI,j}/x_{ij} & j\in J^{-} \end{cases}

3. Adım 3 — Ağırlıklı normalleştirilmiş matris v_ij = w_j · n_ij.

   $$v_{ij}=w_j{n}_{ij}$$
   LaTeX

   v_{ij} = w_{j}\,n_{ij}

4. Adım 4 — Her alternatifin ağırlıklı satır toplamı: S_i = Σ v_ij.

   $$S_i=\sum _{j=1}^n{v}_{ij}$$
   LaTeX

   S_{i} = \sum_{j=1}^{n} v_{ij}

5. Adım 5 — İdeal K+ ve anti-ideal K− satırlarına göre fayda oranları.

   $$K_i^{+}={\displaystyle \frac{S_i}{S_{AI}}},K_i^{-}={\displaystyle \frac{S_i}{S_{AAI}}}$$
   LaTeX

   K^{+}_{i}=\dfrac{S_{i}}{S_{AI}},\quad K^{-}_{i}=\dfrac{S_{i}}{S_{AAI}}

6. Adım 6 — Fayda oranlarının fayda fonksiyonları f(K+_i) ve f(K−_i).

   $$f(K_i^{+})={\displaystyle \frac{K_i^{-}}{K_i^{+}+K_i^{-}}},f(K_i^{-})={\displaystyle \frac{K_i^{+}}{K_i^{+}+K_i^{-}}}$$
   LaTeX

   f(K^{+}_{i})=\dfrac{K^{-}_{i}}{K^{+}_{i}+K^{-}_{i}},\quad f(K^{-}_{i})=\dfrac{K^{+}_{i}}{K^{+}_{i}+K^{-}_{i}}

7. Adım 7 — Nihai fayda f(K_i) ve azalan sıralama.

   $$f(K_i)={\displaystyle \frac{K_i^{+}+K_i^{-}}{1+{\displaystyle \frac{1-f(K_i^{+})}{f(K_i^{+})}}+{\displaystyle \frac{1-f(K_i^{-})}{f(K_i^{-})}}}}$$
   LaTeX

   f(K_{i})=\dfrac{K^{+}_{i}+K^{-}_{i}}{1+\dfrac{1-f(K^{+}_{i})}{f(K^{+}_{i})}+\dfrac{1-f(K^{-}_{i})}{f(K^{-}_{i})}}

Sezgi

Z-Number outranking/ranking - Z-Number (Z = (A, B): restriction A, reliability B; both fuzzy). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: z-marcos extends MARCOS to handle Z-Number uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Z-Number (Z = (A, B): restriction A, reliability B; both fuzzy) algebra. The final scores are defuzzified via convert to regular fuzzy: Ã = B·A, then centroid before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Z-Number numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base MARCOS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Z-Number numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin Z = (A, B) where A restricts values, B indicates reliability of A; both TFNs typically koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: convert to regular fuzzy: Ã = B·A, then centroid kanonik seçimdir.
• B (reliability) her hücrede aynıysa, sqrt(alpha) sabiti AI/AAI ideal-uzaklık oranlarında (N_ij = X_ij/AI_j veya AAI_j/X_ij) tam olarak iptal olur; sıralama VE skorlar değişmeden kalır. Bu, düzeltmenin B'yi okumadığının değil, yöntemin ölçek-değişmezliğinin kanıtıdır. Hata/düzeltme kanıtı için B'yi TEK bir hücrede (tüm matriste değil) değiştirin.