Z-AHP - Z-Sayıları Tabanlı Analitik Hiyerarşi Süreci

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Problem tanımlama: kriter, alt-kriter, kilit faktörleri belirle.

   $$C=\{c_1,c_2,\dots ,c_n\},\text{optional sub-tree}$$
   LaTeX

   C = \{c_1, c_2, \ldots, c_n\},\ \text{optional sub-tree}

2. Hiyerarşik problem yapısı kur.

   $$\text{Hierarchy }H=(V,E)$$
   LaTeX

   \text{Hierarchy } H = (V, E)

3. 9-puan Saaty AHP skalasını Z-sayılara yükselt.

   $$Z=(\tilde{A},\tilde{B}),\tilde{A}\in \text{Saaty-TFN scale},\tilde{B}\in \{VL,L,ML,M,MH,H,VH\}$$
   LaTeX

   Z = (\tilde{A},\ \tilde{B}),\ \tilde{A} \in \text{Saaty-TFN scale},\ \tilde{B} \in \{VL,L,ML,M,MH,H,VH\}

4. Güvenilirlik TFN'i B̃'yi Eq.(6) ile crisp α'ya dönüştür.

   $$\alpha =\frac{\int x{\mu }_{\tilde{B}}(x)dx}{\int {\mu }_{\tilde{B}}(x)dx}$$
   LaTeX

   \alpha = \frac{\int x \mu_{\tilde{B}}(x)\,dx}{\int \mu_{\tilde{B}}(x)\,dx}

5. Güvenilirlik ağırlığını kısıtlamaya ekle Eq.(7) sonra düzenli bulanık sayıya çevir Eq.(8).

   $${\tilde{Z}}^{\alpha }=\{(x,{\mu }_{{\tilde{A}}^{\alpha }}(x))|{\mu }_{{\tilde{A}}^{\alpha }}(x)=\alpha {\mu }_{\tilde{A}}(x)\},{\tilde{Z}}^{\prime }:{\mu }_{{\tilde{A}}^{\prime }}(x)={\mu }_{\tilde{A}}(x/\sqrt{\alpha })$$
   LaTeX

   \tilde{Z}^\alpha = \{(x, \mu_{\tilde{A}^\alpha}(x)) | \mu_{\tilde{A}^\alpha}(x) = \alpha \mu_{\tilde{A}}(x)\},\ \tilde{Z}' : \mu_{\tilde{A}'}(x) = \mu_{\tilde{A}}(x / \sqrt{\alpha})

6. K uzman grubu oluştur, ikili karşılaştırma anketi tasarla.

   $$K\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1},\text{questionnaire forms}$$
   LaTeX

   K \in \mathbb{Z}_{\geq 1},\ \text{questionnaire forms}

7. İkili karşılaştırma matrisi à = (ã_ij)_{n×n} kur.

   $$\tilde{A}=({\tilde{a}}_{ij}{)}_{n\times n},{\tilde{a}}_{ii}=(1,1,1),{\tilde{a}}_{ji}=(1/u_{ij},1/m_{ij},1/l_{ij})$$
   LaTeX

   \tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{n \times n},\ \tilde{a}_{ii}=(1,1,1),\ \tilde{a}_{ji}=(1/u_{ij}, 1/m_{ij}, 1/l_{ij})

8. K > 1 uzman ise: hücre başına aritmetik ortalama ile birleştir.

   $${\tilde{a}}_{ij}=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K{\tilde{a}}_{ij}^k$$
   LaTeX

   \tilde{a}_{ij} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \tilde{a}_{ij}^k

9. Buckley (1985) satır başına bulanık geometrik ortalama.

   $${\tilde{r}}_i={\left({\prod }_{j=1}^n{\tilde{a}}_{ij}\right)}^{1/n}$$
   LaTeX

   \tilde{r}_i = \left(\prod_{j=1}^n \tilde{a}_{ij}\right)^{1/n}

10. Kriter i'nin bulanık ağırlığı.

    $${\tilde{w}}_i={\tilde{r}}_i\odot ({\tilde{r}}_1\oplus {\tilde{r}}_2\oplus \dots \oplus {\tilde{r}}_n{)}^{-1}$$
    LaTeX

    \tilde{w}_i = \tilde{r}_i \odot (\tilde{r}_1 \oplus \tilde{r}_2 \oplus \ldots \oplus \tilde{r}_n)^{-1}

11. Bulanık ağırlıkların Alan Merkezi (COA) durulaştırması. TFN için: W_i = (l + m + u)/3.

    $$X_{COA}=\frac{\int x{\mu }_A(x)dx}{\int {\mu }_A(x)dx};W_i=\frac{l_{w_i}+m_{w_i}+u_{w_i}}{3}$$
    LaTeX

    X_{COA} = \frac{\int x \mu_A(x)\,dx}{\int \mu_A(x)\,dx};\quad W_i = \frac{l_{w_i} + m_{w_i} + u_{w_i}}{3}

12. Crisp ağırlıkları normalize et.

    $$W_i^N=\frac{W_i}{{\sum }_{j=1}^n{W}_j}$$
    LaTeX

    W_i^N = \frac{W_i}{\sum_{j=1}^n W_j}

13. Kriterleri azalan normalize ağırlığa göre sırala.

    $${\text{rank}}_i={\text{argsort}}_{\downarrow }(W_i^N)$$
    LaTeX

    \text{rank}_i = \text{argsort}_{\downarrow}(W_i^N)

Sezgi

Z-AHP is AHP with two channels per judgment: 'how much more important' (restriction) AND 'how sure I am' (reliability). The reliability TFN is collapsed to a single number α via centroid; then it stretches/shrinks the restriction TFN by √α. After all cells are Z→TFN, Buckley's geometric mean (instead of Saaty's eigenvector) computes row priorities; ratio of each row's geometric mean to the sum gives fuzzy weights; COA defuzzifies; normalize. Hierarchical structure is handled by Saaty's level-by-level composition.

Sonucu okuma: Z-AHP outputs criterion importance weights (sum=1). Higher weight = more important. Pair with any alternative-ranking method (Z-TOPSIS, Z-PROMETHEE per Nuriyev's hybrid) that consumes a weight vector. For multi-level hierarchies, compute weights level-by-level and combine via Saaty's hierarchical aggregation.

Ne zaman kullanılmaz

• When n is large (>12 per level) - pairwise burden becomes prohibitive (consider Z-BWM with 2n-3 comparisons)
• When data are objective/numerical - entropy or CRITIC weighting more appropriate
• When reliability is uniform across all judgments - Buckley fuzzy AHP (1985) suffices
• Alternative ranking directly - Z-AHP is weighting-only when standalone

Sınırlılıklar

• Full n×n pairwise scales poorly: n(n-1)/2 unique comparisons + K experts × levels
• COA defuzzification ignores TFN shape information (vs GMIR which weights m by 4)
• Reciprocity assumption may not hold when experts disagree systematically
• Saaty's classical consistency check (CR) requires post-defuzzification crisp matrix; not natively Z-number aware

Sık yapılan hatalar

• Sadece üst üçgen girilirken Eq.(5) tersliği unutmak.
• Z-AHP COA durulaştırmasını (Eq.30) GMIR ile karıştırmak. Nuriyev COA kullanır, GMIR değil.
• Önce Z→TFN sonra geometrik ortalama yapılmalı.
• Güvenilirlik TFN'i ile kısıt TFN'i karıştırmak.
• Her uzmanın yargısını Denk.(25)'ten önce kesin bir sayıya indirgemek (veya ham Z-sayılarının ortalamasını almak): makale, her uzmanın Z-sayısını önce düzenli bir TFN'ye dönüştürür (Denk.6-8), TFN'lerin hücre hücre ortalamasını alır ve yalnızca nihai bulanık ağırlıkları bulanıklaştırır (Denk.30).