UTA* - Referans sıralamasından katkılı fayda çözme (revize UTA)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 (yön duyarlı kırılım noktası ızgarası): her referans eylem a_k için genel fayda u'(g(a_k)) marjinal faydalar u_i(g_i^j) cinsinden yazılır ve u_i(g_i^1) = 0 alınarak negatif olmayan basamak değişkenleri w_ij = u_i(g_i^{j+1}) - u_i(g_i^j) ile yeniden parametrelendirilir. g_i^1 ... g_i^{alpha_i} ızgarası EN KÖTÜ düzey g_i* değerinden EN İYİ düzey g_i^* değerine doğru ilerler, yani bir maliyet kriteri azalarak gider: w_ij >= 0 büyüklükte değil TERCİHTE monotonluğu kodlar (Siskos, Grigoroudis and Matsatsinis 2005, 'UTA Methods', Ch.7 Section 1.1; aynı bölümün Paris örneği maliyet kriterlerini azalan, fayda kriterini artan biçimde yazar). Açıkça verilen kırılım noktaları ve açıkça verilen g_star_minus / g_star_plus uç değerleri zaten en kötüden başlanarak belirtilmiştir ve olduğu gibi kullanılır; uç değerler örneklemden türetildiğinde hangi ucun g_i^1 olacağına yön karar verir.

   $$g_i^1=g_{i*},g_i^{{\alpha }_i}=g_i^{*}(\text{worst}\to \text{best; descending grid for a cost criterion});u_i(g_i^1)=0\forall i;u_i(g_i^j)=\sum _{t=1}^{j-1}{w}_{it}\forall i,j=2,\dots ,{\alpha }_i-1;w_{ij}=u_i(g_i^{j+1})-u_i(g_i^j)\ge 0$$
   LaTeX

   g_{i}^{1} = g_{i{\ast}},\ g_{i}^{\alpha_i} = g_{i}^{{\ast}}\ (\text{worst} \to \text{best; descending grid for a cost criterion});\ u_{i}(g_{i}^{1}) = 0\ \forall i;\ u_{i}(g_{i}^{j}) = \sum_{t=1}^{j-1} w_{it}\ \forall i,\ j=2,\ldots,\alpha_i-1;\ w_{ij} = u_{i}(g_{i}^{j+1}) - u_{i}(g_{i}^{j}) \geq 0

2. Adım 2 — Her referans aksiyona iki yönlü hata fonksiyonu σ⁺(a_k), σ⁻(a_k) ekle; ardışık çift farkı Δ(a_k, a_{k+1}) tanımla.

   $$\Delta (a_k,a_{k+1})=[u(𝐠(a_k))-{\sigma }^{+}(a_k)+{\sigma }^{-}(a_k)]-[u(𝐠(a_{k+1}))-{\sigma }^{+}(a_{k+1})+{\sigma }^{-}(a_{k+1})]$$
   LaTeX

   \Delta(a_k, a_{k+1}) = [u(\mathbf{g}(a_k)) - \sigma^{+}(a_k) + \sigma^{-}(a_k)] - [u(\mathbf{g}(a_{k+1})) - \sigma^{+}(a_{k+1}) + \sigma^{-}(a_{k+1})]

3. Adım 3 — Toplam hata z = Σ_k [σ⁺(a_k) + σ⁻(a_k)]'yı minimize eden LP'yi çöz; kısıtlar: ardışık tercih farkı, eşdeğerlik farkı sıfır, ağırlık normalizasyonu Σw_ij=1, non-negatiflik.

   $$[min]z=\sum _{k=1}^m[{\sigma }^{+}(a_k)+{\sigma }^{-}(a_k)]\text{s.t.}\Delta (a_k,a_{k+1})\ge \delta \text{if}{a}_k\succ a_{k+1},\Delta (a_k,a_{k+1})=0\text{if}{a}_k~a_{k+1},\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{{\alpha }_i-1}{w}_{ij}=1,w_{ij}\ge 0,{\sigma }^{+}(a_k)\ge 0,{\sigma }^{-}(a_k)\ge 0$$
   LaTeX

   [\min] z = \sum_{k=1}^{m}[\sigma^{+}(a_k) + \sigma^{-}(a_k)] \quad \text{s.t.}\quad \Delta(a_k, a_{k+1}) \geq \delta\ \text{if}\ a_k \succ a_{k+1},\ \Delta(a_k, a_{k+1}) = 0\ \text{if}\ a_k \sim a_{k+1},\ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\alpha_i-1} w_{ij} = 1,\ w_{ij} \geq 0,\ \sigma^{+}(a_k) \geq 0,\ \sigma^{-}(a_k) \geq 0

4. Adım 4 — Post-optimallik / stabilite analizi: LP'nin yakın-optimal çözümlerini polihedron Σ[σ⁺+σ⁻] ≤ z* + ε üzerinde tara; tek değilse u_i(g_i*) için ortalama katkılı değer fonksiyonu hesapla.

   $$u_i(g_i^{*})=\sum _{j=1}^{{\alpha }_i-1}{w}_{ij}\forall i;\sum _{k=1}^m[{\sigma }^{+}(a_k)+{\sigma }^{-}(a_k)]\le z^{*}+\epsilon$$
   LaTeX

   u_{i}(g_{i}^{{\ast}}) = \sum_{j=1}^{\alpha_{i}-1} w_{ij}\ \forall i;\ \sum_{k=1}^{m}[\sigma^{+}(a_k) + \sigma^{-}(a_k)] \leq z^{{\ast}} + \varepsilon

5. Adım 5 — Çıkarılan katkılı değer fonksiyonunu u'(g(a)) = Σ_i u_i(g_i(a)) TÜM alternatiflere uygula; azalan u' ile nihai sıralama.

   $$u^{\prime }(𝐠(a))=\sum _{i=1}^n{u}_i(g_i(a))\forall a\in A$$
   LaTeX

   u'(\mathbf{g}(a)) = \sum_{i=1}^{n} u_{i}(g_{i}(a))\ \forall a \in A

Sezgi

Additive utility disaggregation - LP from ordinal reference judgements. Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: UTA* - Additive utility disaggregation from reference ranking (revised UTA)

Varsayımlar

• Criteria preferences are independent (no synergistic interactions)
• Compensation is acceptable: high score on one criterion can offset low on another
• Decision matrix is complete (no missing values)

Ne zaman kullanılmaz

• Criteria strongly correlated → consider DEMATEL/ANP for interdependence
• Non-compensatory preferences → consider outranking (ELECTRE/PROMETHEE)

Sınırlılıklar

• Assumes: Criteria preferences are independent (no synergistic interactions)
• Assumes: Compensation is acceptable: high score on one criterion can offset low on another
• Assumes: Decision matrix is complete (no missing values)

Sık yapılan hatalar

• Hatalı: 'UTASTAR bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: Criteria preferences are independent (no synergistic interactions)
• Hatalı: 'UTASTAR bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: Compensation is acceptable: high score on one criterion can offset low on another
• Hatalı: 'UTASTAR bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: Decision matrix is complete (no missing values)
• Hatalı: UTASTAR'yi 'Criteria strongly correlated → consider DEMATEL/ANP for interdependence' durumunda kullanmak - recommendation_metadata.not_recommended_when alternatif öneriyor.
• Hatalı: UTASTAR'yi 'Non-compensatory preferences → consider outranking (ELECTRE/PROMETHEE)' durumunda kullanmak - recommendation_metadata.not_recommended_when alternatif öneriyor.