UTA - Katkılı Fayda Değerlendirmesi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her i kriteri için, kullanıcı tanımlı [g_{*,i}, g_i^*] aralığında (en kötüden en iyiye, yön g_i^* uç noktasıyla kodlanır) α_i kırılma noktası g_i^j (j=1,…,α_i) tanımla. α_i − 1 segment, parçalı-doğrusal marjinal fayda u_i'nin tabanıdır.

   $$g_i^j=g_{*,i}+\frac{j-1}{{\alpha }_i-1}(g_i^{*}-g_{*,i}),j=1,\dots ,{\alpha }_i$$
   LaTeX

   g_{i}^{j} = g_{*,i} + \frac{j-1}{\alpha_{i}-1}\bigl(g_{i}^{*} - g_{*,i}\bigr),\quad j=1,\ldots,\alpha_{i}

2. Adım 2 — Her a∈A′ referans aksiyonu ve i kriteri için g_i^j ≤ g_i(a) ≤ g_i^{j+1} olacak j'yi bul ve u_i[g_i(a)] marjinal faydasını doğrusal interpolasyonla hesapla. a'nın global değeri u′[g(a)] = Σ_i u_i[g_i(a)] + σ(a) (σ(a) ≥ 0 tek hata değişkeni — Eq.(8)).

   $$u_i[g_i(a)]=u_i(g_i^j)+\frac{g_i(a)-g_i^j}{g_i^{j+1}-g_i^j}[u_i(g_i^{j+1})-u_i(g_i^j)];u^{\prime }[g(a)]=\sum _{i=1}^n{u}_i[g_i(a)]+\sigma (a)$$
   LaTeX

   u_{i}\!\bigl[g_{i}(a)\bigr] = u_{i}(g_{i}^{j}) + \frac{g_{i}(a) - g_{i}^{j}}{g_{i}^{j+1} - g_{i}^{j}}\!\left[u_{i}(g_{i}^{j+1}) - u_{i}(g_{i}^{j})\right];\;\; u'\!\bigl[g(a)\bigr] = \sum_{i=1}^{n} u_{i}\!\bigl[g_{i}(a)\bigr] + \sigma(a)

3. Adım 3 — PL1'i çöz: min F = Σ_{a∈A′} σ(a). Kısıtlar: (i) tercih kısıtları (Eq.(11)–(12)): referans sıralamada ardışık (a_k, a_{k+1}) için u′[g(a_k)] − u′[g(a_{k+1})] ≥ δ (a_k ≻ a_{k+1} ise), = 0 (a_k ~ a_{k+1} ise); (ii) monotonluk (Eq.(14)): u_i(g_i^{j+1}) − u_i(g_i^j) ≥ s_i ∀i,∀j=1…α_i−1; (iii) normalleşme (Eq.(8)): Σ_i u_i(g_i^*) = 1, u_i(g_{*,i}) = 0; (iv) negatif-olmama: u_i(g_i^j) ≥ 0, σ(a) ≥ 0. Optimum F = F*. Tahmini optimum fayda U*(g) PL1 çözümüdür.

   $$[\text{PL1}]minF=\sum _{a\in A^{\prime }}\sigma (a)\text{s.t. Eqs.(8),(11),(12),(14) and }{u}_i(g_i^j)\ge 0,\sigma (a)\ge 0$$
   LaTeX

   [\text{PL1}]\;\; \min F = \sum_{a\in A'}\sigma(a)\;\;\text{s.t. Eqs.(8),(11),(12),(14) and }u_{i}(g_{i}^{j})\geq 0,\;\sigma(a)\geq 0

4. Adım 4 — Post-optimallik (Eq.(16)–(19)): PL1'e F ≤ F* + k(F*) (Eq.(16)–(17)) eklenir, ℘ polihedronu (Eq.(18)) oluşur; i = 1,…,n için 2n LP çözülür (Eq.(19)): [min] u_i(g_i^*) ve [max] u_i(g_i^*). Ortalama fayda fonksiyonu ū(g) (2n post-optimal çözümün ortalaması) önerilen temsilcidir; F* = 0 (ya da sıfıra yakın) ise hem U*(g) hem de ū(g) referans sıralamayla tutarlı sıralama üretir.

   $$[\text{Eq.(18) }\wp :F\le F^{*}+k(F^{*})];[\text{Eq.(19)}][min]u_i(g_i^{*})\text{and}[max]u_i(g_i^{*})\text{on }\wp ,i=1,\dots ,n;\overline{u}(g)=\frac{1}{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}{u}^{(\ell )}(g)$$
   LaTeX

   [\text{Eq.(18) }℘:\,F\leq F^{*}+k(F^{*})];\quad[\text{Eq.(19)}]\;\;[\min]\,u_{i}(g_{i}^{*})\;\text{and}\;[\max]\,u_{i}(g_{i}^{*})\;\text{on }℘,\;i=1,\ldots,n;\quad \bar{u}(g)=\tfrac{1}{2n}\sum_{\ell=1}^{2n}u^{(\ell)}(g)

Sezgi

Regression-based additive utility elicitation (LP, single-error). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: UTA infers an additive utility function u(g) = Σ_i u_i(g_i) from the decision-maker's holistic weak order on a reference set A′, by minimising the sum of single errors F = Σ_{a∈A′} σ(a) (Eq.(15)). u_i are piecewise-linear on α_i breakpoints (paper p.154). Post-optimality (Eqs.(16)-(19)) explores the polyhedron F ≤ F* + k(F*) via 2n LPs (min/max u_i(g_i^*)) to give a mean utility ū(g) and implicit-weight intervals. If F* > 0 the reference ranking is inconsistent with additive utility; if persistent infeasibility arises in monotonicity, consider UTASTAR (Siskos & Yannacopoulos 1985, double-error variant).

Varsayımlar

• Decision-maker's holistic ranking of the reference set is available and reliable
• An additive utility model is acceptable (criteria preferentially independent)
• Marginal utilities can be reasonably approximated by piecewise-linear functions on α_i breakpoints

Ne zaman kullanılmaz

• No holistic reference ranking is available → use ELECTRE/PROMETHEE (outranking) or weight-based MAVT
• Strongly interacting criteria → consider Choquet integral or ANP
• Pure sorting/classification problem → use UTADIS

Sınırlılıklar

• Assumes: Decision-maker's holistic ranking of the reference set is available and reliable
• Assumes: An additive utility model is acceptable (criteria preferentially independent)
• Assumes: Marginal utilities can be reasonably approximated by piecewise-linear functions on α_i breakpoints

Sık yapılan hatalar

• F* > 0: referans sıralama katkılı faydayla tutarsız - Δ(a_k, a_{k+1}) kısıtlarını incele ve ya tutarsızlığı kabul et (UTA onu nicelendirir) ya da UTASTAR'a (her zaman uygulanabilir çift-hata varyantı) geç.
• Sözlük formatlı referans sıralama {alt: derece}: çözmeden önce derece değerine göre sıralanmalı (1 = en iyi) - eklenme sırasında sayım sessizce yanlış LP üretir.
• Maliyet kriteri yönü: paper sözleşmesi yönü (g_{*,i}, g_i^*) içinde kodlar - maliyet için g_{*,i} > g_i^* (en kötü değer daha büyük) - aynı kırılma noktası formülü ve interpolasyon hem max hem min'i açık tersine çevirme olmadan ele alır. İnterpolatör içinde dizileri ikinci kez tersine çevirmek bir hatadır.