TOPSIS - İdeal Çözüme Benzerlik Yoluyla Tercih Sıralama Tekniği

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Karar matrisini normalize et

   $$r_{ij}=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{x}_{kj}^2}}},\hfill & \mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}=\text{vector}\hfill \\ [\mathrm{6pt}]{\displaystyle \frac{x_{ij}-{min}_k{x}_{kj}}{{max}_k{x}_{kj}-{min}_k{x}_{kj}}},\hfill & \mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}=\text{min-max}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   r_{ij}=\begin{cases}\dfrac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{k=1}^{m}x_{kj}^{2}}},&\mathrm{normalization}=\text{vector}\\[6pt]\dfrac{x_{ij}-\min_k x_{kj}}{\max_k x_{kj}-\min_k x_{kj}},&\mathrm{normalization}=\text{min-max}\end{cases}

2. Adım 2 — Ağırlıklandırılmış normalleştirilmiş matris: her sütunu kendi ağırlığıyla çarp. v_ij = w_j · r_ij.

   $$v_{ij}=w_j·r_{ij}$$
   LaTeX

   v_{ij} = w_{j} \cdot r_{ij}

3. Adım 3 — Pozitif ideal A⁺ ve negatif ideal A⁻ çözümlerini her kriter yönüne göre belirle: pozitif kriterler için max, negatif kriterler için min.

   $$A^{+}=\{v_1^{+},\dots ,v_n^{+}\},v_j^{+}=\{\begin{array}{cc}{max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J\hfill \\ {min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{\prime }\hfill \end{array};A^{-}=\{v_1^{-},\dots ,v_n^{-}\},v_j^{-}=\{\begin{array}{cc}{min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J\hfill \\ {max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{\prime }\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   A^{+} = \{v_{1}^{+}, \ldots, v_{n}^{+}\},\ v_{j}^{+} = \begin{cases} \max_{i} v_{ij} & j \in J \\ \min_{i} v_{ij} & j \in J' \end{cases};\quad A^{-} = \{v_{1}^{-}, \ldots, v_{n}^{-}\},\ v_{j}^{-} = \begin{cases} \min_{i} v_{ij} & j \in J \\ \max_{i} v_{ij} & j \in J' \end{cases}

4. Adım 4 — Her alternatifin A⁺ ve A⁻'ye Öklid uzaklıklarını hesapla: d_i⁺ ve d_i⁻.

   $$d_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{+}{)}^2},d_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{-}{)}^2}$$
   LaTeX

   d_{i}^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(v_{ij}-v_{j}^{+})^{2}},\quad d_{i}^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(v_{ij}-v_{j}^{-})^{2}}

5. Adım 5 — Göreli yakınlık katsayısını C_i* = d_i⁻ / (d_i⁺ + d_i⁻) ile hesapla; C_i*'ye göre azalan sırala. En yüksek C_i* en iyi alternatifdir.

   $$C_i^{*}={\displaystyle \frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}}},0\le C_i^{*}\le 1,rank(i)=1+\#\{k:C_k^{*}>C_i^{*}\}$$
   LaTeX

   C_{i}^{*} = \dfrac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+}+d_{i}^{-}},\quad 0 \le C_{i}^{*} \le 1,\quad \operatorname{rank}(i)=1+\#\{k:C_k^*>C_i^*\}

Sezgi

Distance-based (compromise). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: C* ∈ [0,1]. Higher C* means the alternative is closer (in weighted Euclidean distance) to the positive-ideal A⁺ and farther from the anti-ideal A⁻. Rank alternatives in descending C* order.

Varsayımlar

• Criteria preferences are independent (no synergistic interactions)
• Compensation is acceptable: high score on one criterion can offset low on another
• Decision matrix is complete (no missing values)

Ne zaman kullanılmaz

• Criteria strongly correlated → consider DEMATEL/ANP for interdependence
• Non-compensatory preferences → consider outranking (ELECTRE/PROMETHEE)

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Belton-Gear-1983; Garcia-Cascales-Lamata-2012)
• Assumes: Criteria preferences are independent (no synergistic interactions)
• Assumes: Compensation is acceptable: high score on one criterion can offset low on another
• Assumes: Decision matrix is complete (no missing values)

Sık yapılan hatalar

• Ağırlıklamadan önce vektör normalleştirmesini atlamak, büyük ham ölçeğe sahip kriterleri abartır.
• 3. adımda maliyet ve fayda kriterlerini karıştırmak o sütunun A⁺ ve A⁻'sini ters çevirir - daima criteria_types'ı doğrula.
• Normalizasyon bir modelleme tercihtir: vektör klasik varsayılandır; linear_max_min her sabit olmayan sütunu kendi aralığına yeniden ölçeklendirir. Skorlar ve sıralamalar farklı olabilir. Seçilen seçenek hesaplama izinde kaydedilir.
• Mesafe metriği seçimi. Roszkowska 2011 Eş.(2.5)-(2.6) genel p-norm ayrımı tanımlar; bu manifest p=2'yi (Öklid, Eş. 2.5*-2.6*) sabitler. Diğer metrikler (p=1 Manhattan, p=∞ Çebişev) hem d⁺/d⁻'yi hem nihai sıralamayı değiştirir.