Schweizer-Sklar T-normu - Kuvvet tabanlı parametrik t-norm ailesi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Schweizer-Sklar t-normu T_p(x,y): kuvvet tabanlı aile. Formül negatif olmayan değerleri sağlamak için max(0,...) kullanır.

   $$\begin{gathered} T_p(x,y)=max(0,(x^p+y^p-1{)}^{1/p}),p\ne 0 \\ \text{Limit cases:} \\ p\to -\infty :T_{-\infty }(x,y)=min(x,y)(\text{minimum t-norm}) \\ p\to 0:T_0(x,y)=xy(\text{product, by L'Hôpital}) \\ p=1:T_1(x,y)=max(0,x+y-1)(\text{Łukasiewicz t-norm}) \\ p\to +\infty :T_{+\infty }(x,y)=\{\begin{array}{cc}0\hfill & \text{if }x,y<1\hfill \\ min(x,y)\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array}(\text{drastic product}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   T_p(x,y) = \max\!\left(0,\; \bigl(x^p + y^p - 1\bigr)^{1/p}\right), \qquad p \ne 0 \\ \text{Limit cases:} \\ p \to -\infty:\; T_{-\infty}(x,y) = \min(x,y) \quad (\text{minimum t-norm}) \\ p \to 0:\; T_0(x,y) = xy \quad (\text{product, by L'Hôpital}) \\ p = 1:\; T_1(x,y) = \max(0,\, x+y-1) \quad (\text{Łukasiewicz t-norm}) \\ p \to +\infty:\; T_{+\infty}(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{if } x,y < 1 \\ \min(x,y) & \text{otherwise}\end{cases} \quad (\text{drastic product})

2. Adım 2 — Schweizer-Sklar t-konormu S_p(x,y): ikiz. Bulanık üyelik değerlerinin birleşim tipi toplamasında kullanılır.

   $$\begin{gathered} S_p(x,y)=1-T_p(1-x,1-y)=1-max(0,((1-x{)}^p+(1-y{)}^p-1{)}^{1/p}) \\ \text{Equivalently: }{S}_p(x,y)=min(1,(x^p+y^p{)}^{1/p})\text{(for p>0)} \\ \text{Limit: }p=1:S_1(x,y)=min(1,x+y)(\text{bounded sum}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   S_p(x,y) = 1 - T_p(1-x,\, 1-y) = 1 - \max\!\left(0,\; \bigl((1-x)^p + (1-y)^p - 1\bigr)^{1/p}\right) \\ \text{Equivalently: } S_p(x,y) = \min\!\left(1,\; \bigl(x^p + y^p\bigr)^{1/p}\right) \quad \text{(for p>0)} \\ \text{Limit: } p=1:\; S_1(x,y) = \min(1,\, x+y) \quad (\text{bounded sum})

3. Adım 3 — Schweizer-Sklar IFN aritmetiği. IFN α=(μ,ν) için SS toplama ⊕_{SS}: üyelik için S_p, üye olmama için T_p kullanır.

   $$\begin{gathered} {\alpha }_1{\oplus }_{SS}{\alpha }_2=(S_p({\mu }_1,{\mu }_2),T_p({\nu }_1,{\nu }_2)) \\ =(min(1,({\mu }_1^p+{\mu }_2^p{)}^{1/p}),max(0,({\nu }_1^p+{\nu }_2^p-1{)}^{1/p}\left)\right)(p>0) \\ {\alpha }_1{\otimes }_{SS}{\alpha }_2=(T_p({\mu }_1,{\mu }_2),S_p({\nu }_1,{\nu }_2)) \end{gathered}$$
   LaTeX

   \alpha_1 \oplus_{SS} \alpha_2 = \Bigl(S_p(\mu_1,\mu_2),\; T_p(\nu_1,\nu_2)\Bigr) \\ = \left(\min\!\bigl(1, (\mu_1^p+\mu_2^p)^{1/p}\bigr),\; \max\!\bigl(0, (\nu_1^p+\nu_2^p-1)^{1/p}\bigr)\right) \quad (p > 0) \\ \alpha_1 \otimes_{SS} \alpha_2 = \Bigl(T_p(\mu_1,\mu_2),\; S_p(\nu_1,\nu_2)\Bigr)

Sezgi

Sonucu okuma: p=1 (Łukasiewicz) is most commonly used in recent q-ROFS MCDM papers. p<0 → more permissive (closer to min). p>1 → more restrictive. Report for p=-1,0,1 to show sensitivity.

Varsayımlar

• IFN/q-ROFS membership constraint satisfied after aggregation

Ne zaman kullanılmaz

• When Hamacher or Frank are specified - different family

Sınırlılıklar

• p>0 can give zero output when x^p+y^p < 1
• Less intuitive than Hamacher's rational form

Sık yapılan hatalar

• Using p=0 directly - apply the product limit T=xy.
• Confusing parameter p with the q-rung q in q-ROFS - they are different parameters.
• Applying T_p for p>0 to small x,y where x^p+y^p-1 < 0 - result is 0 (clipped by max(0,...)).
• Bu manifestin B.extensions bloğunda Wang ve ark. (2019) kaynağı (DOI 10.3233/JIFS-18607) GERİ ÇEKİLMİŞTİR (RETRACTED); kaynak olarak KULLANMAYIN.