Hamacher T-normu - Bulanık toplama için rasyonel parametrik t-norm

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Hamacher t-normu T_γ(x,y): parametrik rasyonel t-norm. γ=1'de cebirsel çarpıma indirgenir. γ=2'de Einstein çarpımı verir. IFN, PFN ve q-ROFS uzantılarında yaygın.

   $$\begin{gathered} T_{\gamma }(x,y)=\frac{xy}{\gamma +(1-\gamma )(x+y-xy)},\gamma \ge 0 \\ \text{Special cases:} \\ \gamma =0:T_0(x,y)=\frac{xy}{x+y-xy}(\text{Hamacher product}) \\ \gamma =1:T_1(x,y)=xy(\text{algebraic product}) \\ \gamma =2:T_2(x,y)=\frac{xy}{1+x+y-2xy+xy}=\frac{xy}{2-x-y+xy}(\text{Einstein product}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   T_\gamma(x,y) = \frac{xy}{\gamma + (1-\gamma)(x+y-xy)}, \qquad \gamma \ge 0 \\ \text{Special cases:} \\ \gamma = 0:\; T_0(x,y) = \frac{xy}{x+y-xy} \quad (\text{Hamacher product}) \\ \gamma = 1:\; T_1(x,y) = xy \quad (\text{algebraic product}) \\ \gamma = 2:\; T_2(x,y) = \frac{xy}{1+x+y-2xy+xy} = \frac{xy}{2-x-y+xy} \quad (\text{Einstein product})

2. Adım 2 — Hamacher t-konormu S_γ(x,y): ikiz işlem. IFN/PFN bağlamında üye olmama derecelerini birleştirmek için kullanılır.

   $$\begin{gathered} S_{\gamma }(x,y)=1-T_{\gamma }(1-x,1-y)=\frac{x+y+(\gamma -2)xy}{1+(\gamma -1)xy} \\ \text{Special cases:} \\ \gamma =1:S_1(x,y)=x+y-xy(\text{probabilistic sum}) \\ \gamma =2:S_2(x,y)=\frac{x+y}{1+xy}(\text{Einstein sum}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   S_\gamma(x,y) = 1 - T_\gamma(1-x,\, 1-y) = \frac{x+y+(\gamma-2)xy}{1+(\gamma-1)xy} \\ \text{Special cases:} \\ \gamma = 1:\; S_1(x,y) = x+y-xy \quad (\text{probabilistic sum}) \\ \gamma = 2:\; S_2(x,y) = \frac{x+y}{1+xy} \quad (\text{Einstein sum})

3. Adım 3 — IFN α=(μ,ν) toplamı için Hamacher aritmetik işlemleri. Üyelik için S_γ, üye olmama için T_γ kullanılır.

   $$\begin{gathered} {\alpha }_1{\oplus }_H{\alpha }_2=(\frac{{\mu }_1+{\mu }_2+(\gamma -2){\mu }_1{\mu }_2}{1+(\gamma -1){\mu }_1{\mu }_2},\frac{{\nu }_1{\nu }_2}{\gamma +(1-\gamma )({\nu }_1+{\nu }_2-{\nu }_1{\nu }_2)}) \\ {\alpha }_1{\otimes }_H{\alpha }_2=(\frac{{\mu }_1{\mu }_2}{\gamma +(1-\gamma )({\mu }_1+{\mu }_2-{\mu }_1{\mu }_2)},\frac{{\nu }_1+{\nu }_2+(\gamma -2){\nu }_1{\nu }_2}{1+(\gamma -1){\nu }_1{\nu }_2}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   \alpha_1 \oplus_H \alpha_2 = \left(\frac{\mu_1+\mu_2+(\gamma-2)\mu_1\mu_2}{1+(\gamma-1)\mu_1\mu_2},\; \frac{\nu_1\nu_2}{\gamma+(1-\gamma)(\nu_1+\nu_2-\nu_1\nu_2)}\right) \\ \alpha_1 \otimes_H \alpha_2 = \left(\frac{\mu_1\mu_2}{\gamma+(1-\gamma)(\mu_1+\mu_2-\mu_1\mu_2)},\; \frac{\nu_1+\nu_2+(\gamma-2)\nu_1\nu_2}{1+(\gamma-1)\nu_1\nu_2}\right)

Sezgi

Sonucu okuma: γ=1 (algebraic product) is the standard default for IFN arithmetic. γ=2 (Einstein) gives more cautious (lower) t-norm values. Run for γ=0.5,1,2 to assess sensitivity.

Varsayımlar

• γ ≥ 0
• IFN constraint μ+ν ≤ 1 preserved

Ne zaman kullanılmaz

• Non-fuzzy crisp MCDM

Sınırlılıklar

• Requires choosing γ (often set to 1 by default)

Sık yapılan hatalar

• Confusing γ=2 (Einstein product) with a separate method - Einstein is a special case of Hamacher.
• Forgetting that IFN validity μ+ν ≤ 1 must be checked after aggregation.
• Applying Hamacher to non-IFN values without verifying the [0,1] constraint.