TNORM-FRANK

Frank T-normu - Asosiyatif t-normlar ve t-konormların Frank ailesi

Parametrik t-norm ailesi - Frank (üretici: logaritma tabanlı)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — Frank t-normu T_s(x,y): iki üyelik değerini birleştiren ikili işlem. Frank ailesi, hem t-norm aksiyomlarını hem de T ve ikizinin eş zamanlı birleşimini sağlayan tek ailedir.

$T_{s} (x, y) = \log_{s} (1 + \frac{(s^{x} - 1) (s^{y} - 1)}{s - 1}), s > 0, s \neq 1 Limit cases: s \to 0^{+} : T_{0} (x, y) = min (x, y) (minimum t-norm) s = 1 : T_{1} (x, y) = x y (product t-norm, by L'Hôpital) s \to \infty : T_{\infty} (x, y) = max (0, x + y - 1) (Łukasiewicz t-norm)$

LaTeX
T_s(x,y) = \log_s\!\left(1 + \frac{(s^x-1)(s^y-1)}{s-1}\right), \quad s > 0,\; s \ne 1 \\ \text{Limit cases:} \\ s \to 0^+:\; T_0(x,y) = \min(x,y) \quad (\text{minimum t-norm}) \\ s = 1:\; T_1(x,y) = xy \quad (\text{product t-norm, by L'Hôpital}) \\ s \to \infty:\; T_\infty(x,y) = \max(0,\, x+y-1) \quad (\text{Łukasiewicz t-norm})
Adım 2 — Frank t-konormu S_s(x,y): De Morgan yasası ile T_s'nin ikizi. Birleşim tipi üyelik toplama için kullanılır.

$S_{s} (x, y) = 1 - T_{s} (1 - x, 1 - y) = 1 - \log_{s} (1 + \frac{(s^{1 - x} - 1) (s^{1 - y} - 1)}{s - 1}) Limit cases: s \to 0^{+} : S_{0} = max (x, y); s = 1 : S_{1} = x + y - x y; s \to \infty : S_{\infty} = min (1, x + y)$

LaTeX
S_s(x,y) = 1 - T_s(1-x,\, 1-y) = 1 - \log_s\!\left(1 + \frac{(s^{1-x}-1)(s^{1-y}-1)}{s-1}\right) \\ \text{Limit cases: } s\to 0^+:\; S_0=\max(x,y);\ s=1:\; S_1=x+y-xy;\ s\to\infty:\; S_\infty=\min(1,x+y)
Adım 3 — IFN toplamı için Frank aritmetik işlemleri. İki IFN α_1=(μ_1,ν_1) ve α_2=(μ_2,ν_2) için T_s ve S_s'ye dayalı Frank toplama ve çarpma.

$α_{1} \oplus_{F} α_{2} = (S_{s} (μ_{1}, μ_{2}), T_{s} (ν_{1}, ν_{2})) α_{1} \otimes_{F} α_{2} = (T_{s} (μ_{1}, μ_{2}), S_{s} (ν_{1}, ν_{2})) λ \cdot_{F} α = (1 - T_{s} (1 - μ, 1 - μ)^{[λ]}, T_{s} (ν, ν)^{[λ]}) (scalar mult., iterative)$

LaTeX
\alpha_1 \oplus_F \alpha_2 = \Bigl(S_s(\mu_1,\mu_2),\; T_s(\nu_1,\nu_2)\Bigr) \\ \alpha_1 \otimes_F \alpha_2 = \Bigl(T_s(\mu_1,\mu_2),\; S_s(\nu_1,\nu_2)\Bigr) \\ \lambda \cdot_F \alpha = \Bigl(1 - T_s(1-\mu,1-\mu)^{[\lambda]},\; T_s(\nu,\nu)^{[\lambda]}\Bigr) \quad \text{(scalar mult., iterative)}

Yöntem ayrıntıları kaynak kütüphanedeki özgün (İngilizce) metindir.

Sezgi

Sonucu okuma: Choose s based on desired compensation: s≈1 (product) → moderate; s→∞ (Łukasiewicz) → bounded; s→0 (min) → non-compensatory. In IFN MCDM: report results for s=1,2,5 to assess sensitivity.

Varsayımlar

s > 0, s ≠ 1 (or use limiting formulas)
IFN constraint μ+ν ≤ 1 preserved

Ne zaman kullanılmaz

When Hamacher or Einstein is specifically required by the paper's framework

Sınırlılıklar

s=1 requires special handling (L'Hôpital)
Less computationally transparent than Hamacher

Sık yapılan hatalar

Using s=1 in the formula directly - causes division by zero; apply L'Hôpital limit T=xy.
Using s=0 directly - apply min(x,y) limit.
Forgetting that T_s and S_s are not commutative with Hamacher (different parametric family).