SMAA-2 - SMAA2 yönteminin Stochastic uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Karar problemini tanımla: alternatifler x_i (i=1..m), kriterler j=1..n; belirsiz x_ij ~ f_{ij} için f_X(x) ve W={w∈ℝ^n_{≥0}: Σ w_j = 1} ağırlık uzayı için f_W(w) belirle; r=1..m dereceleri üzerinde holistik kabul edilebilirlik toplaması için monoton azalmayan α^1 ≥ α^2 ≥ ... ≥ α^m ≥ 0 (normalizasyon α^1 = 1, paper §4.2) meta-ağırlıklarını seç.

   $$x_{ij}~f_{ij}(x),w~f_W(w),{\alpha }^1=1,{\alpha }^1\ge {\alpha }^2\ge \cdots \ge {\alpha }^m\ge 0$$
   LaTeX

   x_{ij} \sim f_{ij}(x),\quad w \sim f_{W}(w),\quad \alpha^{1} = 1,\ \alpha^{1} \geq \alpha^{2} \geq \cdots \geq \alpha^{m} \geq 0

2. Adım 2 — f_X ve f_W'den K adet Monte Carlo örneği (x^{(k)}, w^{(k)}) çekilir (genellikle K∈[10^4,10^6]).

   $$(x^{(k)},w^{(k)})~f_X\times f_W,k=1,\dots ,K$$
   LaTeX

   (x^{(k)}, w^{(k)}) \sim f_{X}\times f_{W},\quad k=1,\ldots,K

3. Adım 3 — Her örnekte her alternatife additif fayda u(x_i^{(k)}, w^{(k)}) = Σ_j w_j^{(k)} · x_{ij}^{(k)} hesaplanır.

   $$u(x_i^{(k)},w^{(k)})=\sum _{j=1}^n{w}_j^{(k)}{x}_{ij}^{(k)}$$
   LaTeX

   u(x_{i}^{(k)}, w^{(k)}) = \sum_{j=1}^{n} w_{j}^{(k)}\,x_{ij}^{(k)}

4. Adım 4 — Her örnekte alternatifler u'ya göre (azalan) sıralanır ve tüm r=1..m için b_i^r = P(rank(i)=r) ≈ (1/K)·Σ_k 𝟙[rank_k(i)=r] tahmin edilir — bu, SMAA-2'nin SMAA'ya kıyasla genişlemesidir (yalnızca 1. derece değil tüm dereceler).

   $$b_i^r={\int }_{w\in W_i^r}{f}_W(w)dw\approx \frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\mathbf{1}[{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}}_k(i)=r],r=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   b_{i}^{r} = \int_{w \in W_{i}^{r}} f_{W}(w)\,dw \;\approx\; \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} \mathbf{1}\!\left[\mathrm{rank}_{k}(i)=r\right],\ r = 1,\ldots,m

5. Adım 5 — Holistik Kabul Edilebilirlik İndeksi a_i^h = Σ_{r=1}^{m} α_r · b_i^r, kullanıcı tanımlı (veya azalan varsayılan) α_r meta-ağırlıkları ile derece kabuledilebilirliklerini birleştirir; ayrıca her alternatif için merkezi ağırlık vektörü w_i^c hesaplanır.

   $$a_i^h=\sum _{r=1}^m{\alpha }_r{b}_i^r,w_i^c={\displaystyle \frac{{\int }_{w\in W_i^1}w{f}_W(w)dw}{{\int }_{w\in W_i^1}{f}_W(w)dw}}$$
   LaTeX

   a_{i}^{h} = \sum_{r=1}^{m} \alpha_{r}\,b_{i}^{r},\quad w_{i}^{c} = \dfrac{\int_{w \in W_{i}^{1}} w\,f_{W}(w)\,dw}{\int_{w \in W_{i}^{1}} f_{W}(w)\,dw}

6. Adım 6 — Azalan a_i^h sıralaması; güven faktörü p_i^c = ∫_{x∈X_i^1(w_i^c)} f_X(x)dx, her alternatifin merkezi-ağırlıkla kazanmasının güvenilirliğini rapor eder. Yüksek a_i^h ve yüksek p_i^c olan alternatifler önerilir.

   $$p_i^c={\int }_{x\in X_i^1(w_i^c)}{f}_X(x)dx,\text{Rank by }{a}_i^h\text{ descending}$$
   LaTeX

   p_{i}^{c} = \int_{x \in X_{i}^{1}(w_{i}^{c})} f_{X}(x)\,dx,\quad \text{Rank by } a_{i}^{h} \text{ descending}

Sezgi

SMAA-2 sorar: 'Tüm uzmanlar tüm olası ağırlık profillerinde bu alternatifi nasıl sıralar?' Tek bir 'doğru' ağırlık varsayımı yapmak yerine, ağırlık simpleksini ve veri belirsizliğini Monte Carlo ile tarar; sonra her alternatif için 'sırada 1. olma olasılığı', 'sırada r. olma olasılığı' ve tüm sıralar üzerinden ağırlıklı bir holistik puan üretir.

Sonucu okuma: SMAA-2 (Lahdelma & Salminen 2001) extends base SMAA by computing the full rank acceptability index matrix b_i^r for all ranks r=1..m (not only rank 1) and aggregating into a holistic acceptability a_i^h = Σ_r α^r b_i^r (Eq.18) via monotone metaweights α^1 ≥ ... ≥ α^m ≥ 0, α^1=1. Monte Carlo samples (x^{(k)}, w^{(k)}) drawn from f_X and uniform W; per-sample additive utility (Eq.11) → rankings → b_i^r → a_i^h. Final ranking by a_i^h descending. No defuzzification - SMAA-2 is probabilistic, not fuzzy.

Varsayımlar

• Weight distribution (uniform Dirichlet, or DM-specified) is appropriate
• Sample size N sufficient for stable acceptability indices (N ≥ 10,000 typical)
• Underlying ranking method (TOPSIS, SAW, ...) is specified

Ne zaman kullanılmaz

• Classical deterministic single-DM context (use TOPSIS / AHP / PROMETHEE - Monte Carlo overhead unjustified)
• Continuous decision variables (SMAA is for discrete alternatives; use stochastic programming)
• When the decision maker can supply precise weights - base SMAA or weighted-sum suffices
• Hierarchical criteria with strong inter-dependence (SMAA assumes additive utility on independent criteria)

Sınırlılıklar

• Monte Carlo cost: K=10,000 samples typical; scales as O(K·m·n·LP_solve) per run
• Uniform-simplex weight prior is the default but may not reflect real DM preferences (Tervonen-Lahdelma 2007 sensitivity issues)
• Meta-weights α^r are user-chosen; pathological uniform α^r yields all-alternatives-tied (paper §4.2 warning)
• Assumes additive utility on independent criteria - fails under strong criterion interaction
• Rank acceptability indices b_i^r can be unstable for K below 1000 (Monte Carlo noise near ties)

Sık yapılan hatalar

• Metaweight normalizasyon karışıklığı: paper §4.2 α^1 = 1 (en iyi derece ağırlığı = 1) kullanır, Σ_r α^r = 1 (simplex) DEĞİL. Simplex normalizasyonu gereksiz yere b_i^1'i küçültür.
• SMAA-2'yi fuzzy yöntemlerle karıştırma: SMAA-2 probabilistiktir (kriter dağılımları f_ij, ağırlık yoğunluğu f_W). Defuzzification adımı YOKTUR - nihai sıralama doğrudan holistik kabul edilebilirlik a_i^h ile yapılır.
• Monte Carlo örnek boyutu K çok küçük: rank kabul edilebilirlikleri b_i^r için standart hata ~√(b(1-b)/K). K=10.000 → ±0.005 hassasiyet; K=1.000 ancak ±0.016. Stabil holistik sıralama için K≥10.000.