SMAA - Stokastik Çok Amaçlı Kabul Edilebilirlik Analizi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Karar problemini tanımla: alternatifler x_i (i=1..m), kriterler j=1..n; belirsiz kriter ölçümleri için olasılık dağılımları f_X(x) (x_ij ~ f_{ij}) ve W={w∈ℝ^n_{≥0}: Σ w_j = 1} fizibıl ağırlık uzayı için f_W(w) belirlenir. Ön bilgi yoksa düzgün (bilgisiz) öncüller kullanılır.

   $$x_{ij}~f_{ij}(x),w~f_W(w),W=\{w\in {ℝ}_{\ge 0}^n:\sum _{j=1}^n{w}_j=1\}$$
   LaTeX

   x_{ij} \sim f_{ij}(x),\quad w \sim f_{W}(w),\quad W = \{w \in \mathbb{R}^{n}_{\geq 0} : \sum_{j=1}^{n} w_{j} = 1\}

2. Adım 2 — f_X ve f_W'den K adet Monte Carlo örneği (x^{(k)}, w^{(k)}) çekilir (genellikle K∈[10^4,10^6]).

   $$(x^{(k)},w^{(k)})~f_X\times f_W,k=1,\dots ,K$$
   LaTeX

   (x^{(k)}, w^{(k)}) \sim f_{X}\times f_{W},\quad k=1,\ldots,K

3. Adım 3 — Her örnek için her alternatife additif fayda u(x_i^{(k)}, w^{(k)}) = Σ_j w_j^{(k)} · x_{ij}^{(k)} hesaplanır.

   $$u(x_i^{(k)},w^{(k)})=\sum _{j=1}^n{w}_j^{(k)}{x}_{ij}^{(k)}$$
   LaTeX

   u(x_{i}^{(k)}, w^{(k)}) = \sum_{j=1}^{n} w_{j}^{(k)}\,x_{ij}^{(k)}

4. Adım 4 — Her örnek içinde alternatifler u'ya göre azalan sıralanır. Rank Kabul Edilebilirlik İndeksleri b_i^r = (1/K)·Σ_k 𝟙[rank_k(i)=r] tahmin edilir — i alternatifinin belirsizlik altında r derecesini alma olasılığı.

   $$b_i^r={\int }_{w\in W_i^r}{f}_W(w)dw\approx \frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\mathbf{1}[{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}}_k(i)=r]$$
   LaTeX

   b_{i}^{r} = \int_{w \in W_{i}^{r}} f_{W}(w)\,dw \;\approx\; \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} \mathbf{1}\!\left[\mathrm{rank}_{k}(i)=r\right]

5. Adım 5 — Merkezi ağırlık vektörleri w_i^c = (∫_{w∈W_i^1} w·f_W(w)dw)/(∫_{w∈W_i^1} f_W(w)dw) hesaplanır — i alternatifinin 1. dereceyi aldığı ağırlık bölgesinin ağırlık merkezi.

   $$w_i^c={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{w\in W_i^1}w{f}_W(w)dw}}{{\displaystyle {\int }_{w\in W_i^1}{f}_W(w)dw}}}$$
   LaTeX

   w_{i}^{c} = \dfrac{\displaystyle\int_{w \in W_{i}^{1}} w\,f_{W}(w)\,dw}{\displaystyle\int_{w \in W_{i}^{1}} f_{W}(w)\,dw}

6. Adım 6 — Güven faktörü p_i^c = ∫_{x∈X_i^1(w_i^c)} f_X(x)dx — i alternatifinin merkezi ağırlıkları altında en iyi olma olasılığı — ve nihai analiz: yüksek b_i^1 ve yüksek p_i^c olan alternatifler önerilir.

   $$p_i^c={\int }_{x\in X_i^1(w_i^c)}{f}_X(x)dx$$
   LaTeX

   p_{i}^{c} = \int_{x \in X_{i}^{1}(w_{i}^{c})} f_{X}(x)\,dx

Sezgi

Stochastic outranking/ranking - Stochastic element (distribution or scenario probabilities). Output typically rank_acceptability_index (higher value = preferred).

Sonucu okuma: smaa extends SMAA to handle Stochastic uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Stochastic element (distribution or scenario probabilities) algebra. The final scores are defuzzified via expected value E[x] = Σ p_k x_k before ranking.

Varsayımlar

• Weight distribution (uniform Dirichlet, or DM-specified) is appropriate
• Sample size N sufficient for stable acceptability indices (N ≥ 10,000 typical)
• Underlying ranking method (TOPSIS, SAW, ...) is specified

Ne zaman kullanılmaz

• Exact weights known with certainty - use deterministic ranking
• Computational budget very limited - use sensitivity perturbation instead

Sınırlılıklar

• Assumes: Weight distribution (uniform Dirichlet, or DM-specified) is appropriate
• Assumes: Sample size N sufficient for stable acceptability indices (N ≥ 10,000 typical)
• Assumes: Underlying ranking method (TOPSIS, SAW, ...) is specified

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin Probabilities p_k ≥ 0, Σ p_k = 1 for each scenario koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: expected value E[x] = Σ p_k x_k kanonik seçimdir.