SF-WPM - WPM yönteminin Spherical uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her DM, dilsel terimlerle (Tablo 1) bir SF karar matrisi ve SF kriter ağırlıkları verir. Her DM için ŵ_s ağırlığı atanan dilsel öneme göre hesaplanır.

   $${ŵ}_s\leftarrow Score/AccuracyoflinguisticSFDMimportance\alpha {̂}_{i}j=({\nu }_{i}j,{\mu }_{i}j,{\pi }_{i}j)forj\in {\Omega }_c[SFcomplementoncostcriteria]$$
   LaTeX

   ŵ_s ← Score/Accuracy of linguistic SF DM importance α̂_ij = (ν_ij, μ_ij, π_ij) for j ∈ Ω_c [SF complement on cost criteria]

2. Adım 2 — Bireysel SF karar matrisleri ŵ_s ile SWAM (ya da SWGM) kullanılarak kolektif SF karar matrisine agrege edilir.

   $$x{̃}_{i}j=SWA{M}_{ŵ}(x{̃}^{(}1{)}_{i}j,\dots ,x{̃}^{(}K{)}_{i}j)$$
   LaTeX

   x̃_ij = SWAM_ŵ(x̃^(1)_ij, …, x̃^(K)_ij)

3. Adım 3 — SF kriter ağırlıkları SWAM ile agrege edilir. Kanal skor fonksiyonu ile defuzzify edilerek crisp w̄_sj elde edilir (Σ w̄_sj = 1 olacak şekilde normalize).

   $$w{̃}_j=SWAM(w{̃}_j^{(}1),\dots ,w{̃}_j^{(}K))w{̄}_{s}j=Score(w{̃}_j)=(3\mu -\pi /2)²-(\nu -\pi /2)²(thennormalise:w{̄}_{s}j\leftarrow w{̄}_{s}j/{\Sigma }_{j}w{̄}_{s}j)$$
   LaTeX

   w̃_j = SWAM(w̃_j^(1), …, w̃_j^(K)) w̄_sj = Score(w̃_j) = (3μ − π/2)² − (ν − π/2)² (then normalise: w̄_sj ← w̄_sj / Σ_j w̄_sj)

4. Adım 4 — Ağırlıklı SF karar matrisi oluşturulur: her x̃_ij skor fonksiyonu ile defuzzify edilir ve w̄_sj ile çarpılır (alternatif: SF λ·α operatörü).

   $$Score(\alpha )=(3\mu -\pi /2)²-(\nu -\pi /2)²[Ch\mathrm{.10}score]x{̄}_{i}j=Score(x{̃}_{i}j)$$
   LaTeX

   Score(α) = (3μ − π/2)² − (ν − π/2)² [Ch.10 score] x̄_ij = Score(x̃_ij)

5. Adım 5 — Her alternatif için WPM faydası ağırlıklı geometrik çarpım olarak hesaplanır: SV_WPMi = ∏_j x̄_ij^(w̄_sj).

   $$S{V}_{W}PMi={\prod }_{j=1..n}(x{̄}_{i}j{)}^{(}w{̄}_{s}j)$$
   LaTeX

   SV_WPMi = ∏_{j=1..n} (x̄_ij)^(w̄_sj)

6. Adım 6 — Alternatifler SV_WPMi'ye göre AZALAN sırada sıralanır. En yüksek çarpım değerine sahip alternatif en iyisidir.

   $$rank:descendingS{V}_{W}PMi$$
   LaTeX

   rank: descending SV_WPMi

Sezgi

SF-WPM (SVWPM = Single-Valued Spherical Fuzzy Simple Weighted Product), SF-SAW'ın multiplicative versiyonu. Aynı kurulum (Steps 1-4), aynı ağırlık defuzz; farkı Step 5-6: toplam yerine ÇARPIM, scalar-mult yerine SF λ-power (Eq.6). Mantık: klasik WPM'in (Bridgman 1922, Miller-Starr 1969) geometrik agg. logiği - bir kriterde zayıf olan alternatif TÜMÜYLE düşer. SF'de λ-power formülü Eq.6: x̃^λ = (μ^λ, (1−(1−v²)^λ)^(1/2), ((1−v²)^λ − (1−v²−π²)^λ)^(1/2)). Bu formül membership'i λ ile küçültür, non-membership'i artırır, hesitancy'yi korur. SVWPM_i = Π_j x̃_ij^(w̄^s_j) Eq.34 - burada ağırlık (defuzzified, normalized) üs olarak görev yapar. Sonuç triple Eq.35 score ile defuzzify → ranking.

Sonucu okuma: sf-wpm extends WPM to handle Spherical uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Spherical Fuzzy Set (SFS: μ, ν, π; μ²+ν²+π² ≤ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ² − ν² before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Spherical Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• When any cell has μ→0 (the λ-power formula amplifies near-zero membership; outcome dominated by smallest value).
• When compensation between criteria is desirable (use SAW instead).

Sınırlılıklar

• Strongly punishes weak criteria (geometric mean property) - may give counter-intuitive rankings if one criterion has structurally low μ.
• Same score-form dependency as SF-SAW.
• Less interpretable when w̃^s_j (defuzzified weights) are fractional/small.

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin SFS: μ,ν,π ∈ [0,1]; μ²+ν²+π² ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ² − ν² kanonik seçimdir.