SF-PROMETHEE - PROMETHEE yönteminin Spherical uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her kriter için SF Pozitif İdeal (PIS) ve Negatif İdeal (NIS) belirlenir: PIS_j = (max μ, min ν, min π); NIS_j = (min μ, max ν, max π) — μ_N²+ν_N²+π_N²>1 ise π yerine sqrt(1−μ_N²−ν_N²) kullanılır (SF birim küresinde kalmak için).

   $$x_j^{+}=(ma{x}_i{\mu }_{i}j,mi{n}_i{\nu }_{i}j,mi{n}_i{\pi }_{i}j)[Eq.20]x_j^{-}=(mi{n}_i{\mu }_{i}j,ma{x}_i{\nu }_{i}j,ma{x}_i{\pi }_{i}j)if{\mu }_N²+{\nu }_N²+{\pi }_N²\le 1=({\mu }_N,{\nu }_N,sqrt(1-{\mu }_N²-{\nu }_N²))otherwise[Eq.21]$$
   LaTeX

   x^+_j = (max_i μ_ij, min_i ν_ij, min_i π_ij) [Eq. 20] x^-_j = (min_i μ_ij, max_i ν_ij, max_i π_ij) if μ_N²+ν_N²+π_N² ≤ 1 = (μ_N, ν_N, sqrt(1 − μ_N² − ν_N²)) otherwise [Eq. 21]

2. Adım 2 — Her alternatifin her kritere göre göreli yakınlığı RC(c̃_j(x_i)) (TOPSIS-tarzı) SF normalize Euclidean uzaklığı ile PIS ve NIS'ten hesaplanır.

   $$D^{+}(x_i)=sqrt(1/(2n)·\Sigma ((\mu -{\mu }^{+})²+(\nu -{\nu }^{+})²+(\pi -{\pi }^{+})²))[Eq.17]D^{-}(x_i)=sqrt(1/(2n)·\Sigma ((\mu -{\mu }^{-})²+(\nu -{\nu }^{-})²+(\pi -{\pi }^{-})²))[Eq.18]RC(c{̃}_j(x_i))=D^{-}(x_i)/(D^{+}(x_i)+D^{-}(x_i))[Eq.16]$$
   LaTeX

   D^+(x_i) = sqrt( 1/(2n) · Σ ((μ−μ^+)² + (ν−ν^+)² + (π−π^+)²) ) [Eq. 17] D^-(x_i) = sqrt( 1/(2n) · Σ ((μ−μ^-)² + (ν−ν^-)² + (π−π^-)²) ) [Eq. 18] RC(c̃_j(x_i)) = D^-(x_i) / (D^+(x_i) + D^-(x_i)) [Eq. 16]

3. Adım 3 — Her kriter için ikili sapmalar d_j(x_i, x_k) = RC(c̃_j(x_i)) − RC(c̃_j(x_k)) hesaplanır (SFS'lerde çıkarma tanımsız olduğundan crisp RC değerleri üzerinde yapılır).

   $$d_j(x_i,x_k)=RC(c{̃}_j(x_i))-RC(c{̃}_j(x_k))[Eq.15]$$
   LaTeX

   d_j(x_i, x_k) = RC(c̃_j(x_i)) − RC(c̃_j(x_k)) [Eq. 15]

4. Adım 4 — Her sapmaya dilsel tercih fonksiyonu f_j uygulanır; kriter başına dilsel tercih matrisi R^j_L oluşturulur ve SF matris R̃^j_S'ye dönüştürülür. Pozitif d için: EP/WP/MP/SP/VSP/STP (Tablo 1). Negatif d için tümleyen (ν,μ,π) kullanılır.

   $$f_j(d)=EPifd<0.1;WP0.1\le d<0.2;MP0.2\le d<0.3;SP0.3\le d<0.4;VSP0.4\le d<0.5;STPd\ge 0.5[Eq.19,Table1]thresholds:p=0.5(strictpreference),q=0.1(indifference)negatived\mapsto complement:(\mu ,\nu ,\pi )\mapsto (\nu ,\mu ,\pi )$$
   LaTeX

   f_j(d) = { EP if d<0.1; WP 0.1≤d<0.2; MP 0.2≤d<0.3; SP 0.3≤d<0.4; VSP 0.4≤d<0.5; STP d≥0.5 } [Eq. 19, Table 1] thresholds: p = 0.5 (strict preference), q = 0.1 (indifference) negative d ↦ complement: (μ, ν, π) ↦ (ν, μ, π)

5. Adım 5 — Kriter başına tercih matrisleri SF kriter ağırlıkları ile birleştirilerek genel SF tercih matrisi R̃_s oluşturulur: r̃_ik = ⊕_j (w̃_j ⊗ r̃^j_ik).

   $$r{̃}_{i}k={\oplus }_{j=1..m}(w{̃}_j\otimes r{̃}_i^{j}k)[Eq.24]$$
   LaTeX

   r̃_ik = ⊕_{j=1..m} (w̃_j ⊗ r̃^j_ik) [Eq. 24]

6. Adım 6 — SF pozitif ve negatif outranking akıları: φ^+(x_i) = 1/(n−1) · ⊕_{k≠i} r̃_ik; φ^-(x_i) = 1/(n−1) · ⊕_{k≠i} r̃_ki.

   $${\phi }^{+}(x_i)=1/(n-1)·{\oplus }_{k\ne i}r{̃}_{i}k{\phi }^{-}(x_i)=1/(n-1)·{\oplus }_{k\ne i}r{̃}_{k}i[Eq.25]$$
   LaTeX

   φ^+(x_i) = 1/(n−1) · ⊕_{k≠i} r̃_ik φ^-(x_i) = 1/(n−1) · ⊕_{k≠i} r̃_ki [Eq. 25]

7. Adım 7 — Akıların SF skor değerleri ile sıralama. Kısmi sıralama (PROMETHEE I): x_i, x_k'yi geçer ↔ Score(φ^+(x_i))≥Score(φ^+(x_k)) ∧ Score(φ^-(x_i))≤Score(φ^-(x_k)). Tam sıralama (PROMETHEE II): φ(x_i)=Score(φ^+(x_i))−Score(φ^-(x_i)); azalan sıra.

   $$Score(\alpha )=(\mu -\pi )²-(\nu -\pi )²[Eq.7]PROMETHEEI(partial):outrankbybothscoreconditionson{\phi }^{+}and{\phi }^{-}PROMETHEEII(complete):\phi (x_i)=Score({\phi }^{+}(x_i))-Score({\phi }^{-}(x_i));rankdesc.$$
   LaTeX

   Score(α) = (μ − π)² − (ν − π)² [Eq. 7] PROMETHEE I (partial): outrank by both score conditions on φ^+ and φ^- PROMETHEE II (complete): φ(x_i) = Score(φ^+(x_i)) − Score(φ^-(x_i)); rank desc.

Sezgi

SF-PROMETHEE (Spherical Fuzzy Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations), Brans-Vincke 1985'in "preference fonksiyonlu pairwise outranking" mantığını SF'ye taşır. Kritik teknik problem: SF'de SUBTRACTION TANIMSIZ (Eq.3 ⊕ var, Eq.4 ⊗ var ama ⊖ yok) - klasik PROMETHEE'de d=c_j(x_i)−c_j(x_k) gerekirken, SF-PROMETHEE TOPSIS'ten ödünç alır: Eq.15 d_j(x_i,x_k)=RC[c̃_j(x_i)]−RC[c̃_j(x_k)] (RC=relative closeness, TOPSIS Eq.16 D⁻/(D⁻+D⁺)). Bu RC artık scalar, fark alınabilir. Akış: PIS/NIS belirle Eqs.20-21 (Eq.21'de √(1−...) feasibility-correction); RC hesapla; pairwise deviation d_j; Eq.19 linguistic preference function f_j (EP/WP/MP/SP/VSP/STP) ile preference SFS'ye çevir (p=0.5 strict threshold, q=0.1 indifference); Eq.24 global preference index r̃_ik = SWAM ile ağırlıklarla agg; Eq.25 outranking flows φ⁺(x_i)=Σ_k r̃_ik/(n−1), φ⁻(x_i)=Σ_k r̃_ki/(n−1); Score(φ⁺) ve Score(φ⁻) ile sırala (klasik PROMETHEE I-II kuralları); incomparability varsa Eq.25 net flow φ(x_i)=Score(φ⁺)−Score(φ⁻).

Sonucu okuma: sf-promethee extends PROMETHEE to handle Spherical uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Spherical Fuzzy Set (SFS: μ, ν, π; μ²+ν²+π² ≤ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ² − ν² before ranking.

Varsayımlar

• Thresholds (q, p, v) can be expressed in Spherical Fuzzy scale
• Veto + concordance semantics adapted to fuzzy arithmetic

Ne zaman kullanılmaz

• When DMs cannot articulate strict/indifference thresholds (p,q) credibly.
• When ranking should not depend on a chosen reference (PIS/NIS) - PROMETHEE here uses TOPSIS-style RC as basis.

Sınırlılıklar

• Uses TOPSIS RC as deviation surrogate - inherits some TOPSIS dependence on PIS/NIS choice.
• p=0.5, q=0.1 thresholds are book defaults - sensitivity should be checked for borderline cases.
• Score-based comparison of φ⁺/φ⁻ can produce ties or incomparability requiring net-flow Eq.25 fallback.

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin SFS: μ,ν,π ∈ [0,1]; μ²+ν²+π² ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ² − ν² kanonik seçimdir.