Sobol' Duyarlılık İndeksleri - Varyans tabanlı global duyarlılık ayrışımı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — k belirsiz girdi faktörünü ve dağılımlarını tanımla. MCDM ağırlık duyarlılığı için: w ~ Dirichlet(α). İki bağımsız N×k örnek matrisi A ve B üret.

$A = (\begin{matrix} a_{1}^{(1)} & \dots & a_{k}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{(N)} & \dots & a_{k}^{(N)} \end{matrix}), B i.i.d. copy of A For weights: w_{j}^{(s)} ~ Dirichlet (1), \sum_{j} w_{j}^{(s)} = 1$

LaTeX
A = \begin{pmatrix} a_1^{(1)} & \cdots & a_k^{(1)} \\ \vdots & & \vdots \\ a_1^{(N)} & \cdots & a_k^{(N)} \end{pmatrix}, \quad B \text{ i.i.d. copy of } A \\ \text{For weights: } w_j^{(s)} \sim \text{Dirichlet}(\mathbf{1}), \quad \sum_j w_j^{(s)} = 1
Adım 2 — k 'radyal' matris A_B^(i) oluştur; her biri i. sütun B'den alınan A'dır. MCDM modelini tüm N(k+2) tasarım noktasında değerlendir.

$A_{B}^{(i)} = (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, b_{i}, a_{i + 1}, \dots, a_{k}) (column i from B) f_{A} = Y (A), f_{B} = Y (B), f_{A_{B}^{(i)}} = Y (A_{B}^{(i)})$

LaTeX
A_B^{(i)} = (a_1, \ldots, a_{i-1}, b_i, a_{i+1}, \ldots, a_k) \quad (\text{column } i \text{ from } B) \\ f_A = Y(A), \quad f_B = Y(B), \quad f_{A_B^{(i)}} = Y(A_B^{(i)})
Adım 3 — Birinci dereceden duyarlılık indeksi S_i (x_i'ye atfedilen varyans payı) ve toplam etki indeksi ST_i'yi Jansen tahmincileri ile hesapla.

${\hat{V}}_{i} = \frac{1}{N} \sum_{s = 1}^{N} f_{B}^{(s)} (f_{A_{B}^{(i)}}^{(s)} - f_{A}^{(s)}) (Saltelli estimator for V_{i}) {\hat{S}}_{i} = \frac{{\hat{V}}_{i}}{\hat{Var} (Y)}, \hat{Var} (Y) = \frac{1}{N} \sum_{s} (f_{A}^{(s)})^{2} - {(\frac{1}{N} \sum_{s} f_{A}^{(s)})}^{2} {\hat{V T}}_{i} = \frac{1}{2 N} \sum_{s = 1}^{N} {(f_{A}^{(s)} - f_{A_{B}^{(i)}}^{(s)})}^{2} (Jansen estimator for E [V (Y | x_{~ i})]) {\hat{S T}}_{i} = \frac{{\hat{V T}}_{i}}{\hat{Var} (Y)}$

LaTeX
\hat{V}_i = \frac{1}{N}\sum_{s=1}^N f_B^{(s)}\left(f_{A_B^{(i)}}^{(s)} - f_A^{(s)}\right) \qquad (\text{Saltelli estimator for } V_i) \\ \hat{S}_i = \frac{\hat{V}_i}{\hat{\text{Var}}(Y)}, \quad \hat{\text{Var}}(Y) = \frac{1}{N}\sum_s (f_A^{(s)})^2 - \left(\frac{1}{N}\sum_s f_A^{(s)}\right)^2 \\ \hat{VT}_i = \frac{1}{2N}\sum_{s=1}^N \left(f_A^{(s)} - f_{A_B^{(i)}}^{(s)}\right)^2 \qquad (\text{Jansen estimator for } E[V(Y|x_{\sim i})]) \\ \hat{ST}_i = \frac{\hat{VT}_i}{\hat{\text{Var}}(Y)}
Adım 4 — Faktörleri ST_i'ye göre azalan sırada sırala. Bağımsız etkiler için S_i, etkileşim katkıları için ST_i−S_i raporla. ST_i < 0.01 olan faktörler etkisiz.

$Rank by S T_{i} ↓ Interaction share: S T_{i} - S_{i} \geq 0 Closure check: \sum_{i} S_{i} + higher-order terms = 1$

LaTeX
\text{Rank by } ST_i \downarrow \\ \text{Interaction share: } ST_i - S_i \ge 0 \\ \text{Closure check: } \sum_i S_i + \text{higher-order terms} = 1

Sezgi

Sonucu okuma: ST_i > S_i indicates interactions. Fix factors with ST_i < 0.01 to reduce model complexity. Ensure N(k+2) evaluations are feasible. Use quasi-random Sobol' sequences for faster convergence.

Varsayımlar

Input factors are independent
Distributions are specified for all factors

Ne zaman kullanılmaz

k > 20 factors with limited budget - use Morris first for screening
Non-differentiable/stochastic models with high k

Sınırlılıklar

N(k+2) evaluations required - expensive for large k
Requires specification of input distributions

Sık yapılan hatalar

Using N too small (N<500) → unstable S_i estimates.
Ignoring that ΣS_i < 1 when interactions exist - do not normalise S_i to sum to 1.
Applying Sobol' to ordinal outputs (rank) directly - use expected rank or RAI instead.