MCDM için Ağırlık Duyarlılık Analizi (sistematik pertürbasyon)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Temel ağırlık vektörü w^(0) ile hedef MCDM yöntemini çalıştır; temel sıralama π^(0) ve skorlar S^(0) elde et.

   $${\pi }^{(0)}=\text{RANK}(\text{method}(X,w^{(0)}))$$
   LaTeX

   \pi^{(0)} = \text{RANK}\bigl(\text{method}(X,\, w^{(0)})\bigr)

2. Adım 2 — OAT pertürbasyon: her k kriteri için w_k'yı δ adımlarıyla [0,1]'de değiştirerek T senaryo üret; kalan ağırlığı diğer kriterlere orantısal dağıt.

   $$\begin{gathered} w_k^{(t)}=k·\delta ,t=0,1,\dots ,T,T=\lfloor 1/\delta \rfloor \\ {w}_j^{(t)}=w_j^{(0)}·\frac{1-w_k^{(t)}}{1-w_k^{(0)}},j\ne k \end{gathered}$$
   LaTeX

   w_k^{(t)} = k \cdot \delta, \quad t = 0,1,\ldots,T, \quad T = \lfloor 1/\delta \rfloor \\ w_j^{(t)} = w_j^{(0)} \cdot \frac{1 - w_k^{(t)}}{1 - w_k^{(0)}}, \quad j \neq k

3. Adım 3 — Her t senaryosu için hedef MCDM yöntemi ile S^(t) skorlarını ve π^(t) sıralamasını hesapla.

   $$S^{(t)}=\text{method}(X,w^{(t)}),{\pi }^{(t)}=\text{RANK}(S^{(t)})$$
   LaTeX

   S^{(t)} = \text{method}(X,\, w^{(t)}), \qquad \pi^{(t)} = \text{RANK}(S^{(t)})

4. Adım 4 — Sıralama kararlılık metriklerini hesapla: (a) en iyi-1 kararlılık oranı, (b) her senaryo ile temel arasındaki Spearman korelasyonu ρ_s, (c) ilk sıralama tersine dönüşünü tetikleyen kritik ağırlık değişimi Δw_k*.

   $$\begin{gathered} {\rho }_s^{(t)}=1-\frac{6{\sum }_{i=1}^m{d}_i^{(t)2}}{m(m^2-1)},d_i^{(t)}={\pi }_i^{(t)}-{\pi }_i^{(0)} \\ SR=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T\mathbf{1}[{\pi }_1^{(t)}={\pi }_1^{(0)}] \\ \Delta w_k^{*}={min}_t\backslash \{w_k^{(t)}-w_k^{(0)}:{\pi }^{(t)}\ne {\pi }^{(0)}\backslash \} \end{gathered}$$
   LaTeX

   \rho_s^{(t)} = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{m} d_i^{(t)\,2}}{m(m^2-1)}, \quad d_i^{(t)} = \pi_i^{(t)} - \pi_i^{(0)} \\ SR = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} \mathbf{1}\bigl[\pi_1^{(t)} = \pi_1^{(0)}\bigr] \\ \Delta w_k^* = \min_{t}\bigl\{w_k^{(t)} - w_k^{(0)} : \pi^{(t)} \neq \pi^{(0)}\bigr\}

5. Adım 5 — Monte Carlo uzantısı: (n-1)-simpleksten Dirichlet(1,...,1) ile K ağırlık vektörü çek, her biri için yöntemi çalıştır, ortalama Spearman ρ̄ ve kararlılık oranını hesapla.

   $$\begin{gathered} w^{(k)}~\text{Dirichlet}({\mathbf{1}}_n),k=1,\dots ,K \\ {\overline{\rho }}_s=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K{\rho }_s^{(k)},\overline{SR}=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\mathbf{1}[{\pi }_1^{(k)}={\pi }_1^{(0)}] \end{gathered}$$
   LaTeX

   w^{(k)} \sim \text{Dirichlet}(\mathbf{1}_n), \quad k = 1,\ldots,K \\ \bar{\rho}_s = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} \rho_s^{(k)}, \qquad \overline{SR} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} \mathbf{1}\bigl[\pi_1^{(k)} = \pi_1^{(0)}\bigr]

Sezgi

Sonucu okuma: Ranks indicate robustness to weight perturbation. Lower rank change = more robust alternative.