qR-VIKOR - VIKOR yönteminin q-Rung Orthopair uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — q-ROF karar matrisini kur; cost kriterleri (μ, ν) → (ν, μ) takası (q-ROFN tümleyeni) ile fayda tipine çevir. Bu adımdan sonra tüm kriterler fayda olarak işlem görür.

${\hat{a}}_{i j} = {\begin{matrix} (μ_{i j}, ν_{i j}) & j \in Ω_{b} \\ (ν_{i j}, μ_{i j}) & j \in Ω_{c} \end{matrix}, μ_{i j}^{q} + ν_{i j}^{q} \leq 1$

LaTeX
\hat{a}_{ij} = \begin{cases}(\mu_{ij},\nu_{ij}) & j\in\Omega_{b}\\(\nu_{ij},\mu_{ij}) & j\in\Omega_{c}\end{cases},\quad \mu_{ij}^{q}+\nu_{ij}^{q}\le 1
Adım 2 — Cost-adjusted matris üzerinde her kriter j için, M(α) = (1 + μ^q − ν^q)/2 ∈ [0,1] skorunu maksimize eden (sırasıyla minimize eden) i alternatifinden tüm q-ROFN'yi pozitif-ideal Q^PIS_j (resp. negatif-ideal Q^NIS_j) olarak seç. Not: bu çıkarmada PIS/NIS bileşenleri her zaman gerçek bir alternatiften gelir.

$Q_{j}^{P I S} = \arg {max}_{i} M (α_{i j}), Q_{j}^{N I S} = \arg {min}_{i} M (α_{i j}), M (α) = \frac{1 + μ^{q} - ν^{q}}{2}$

LaTeX
Q^{PIS}_{j} = \arg\max_{i}\,M(\alpha_{ij}),\quad Q^{NIS}_{j} = \arg\min_{i}\,M(\alpha_{ij}),\quad M(\alpha) = \dfrac{1 + \mu^{q} - \nu^{q}}{2}
Adım 3 — Normalleştirilmiş q-ROF boşluğu f_ij iki q-ROF Öklid uzaklığının oranıdır: Q^PIS_j'tan hücreye uzaklık, Q^PIS_j'tan Q^NIS_j'a kriter aralığı uzaklığıyla normalleştirilir. d_E(α_1, α_2) = √(((μ_1^q − μ_2^q)² + (ν_1^q − ν_2^q)² + (π_1^q − π_2^q)²) / 2), π = (1 − μ^q − ν^q)^{1/q}.

$f_{i j} = \frac{d_{E} (Q_{j}^{P I S}, {\hat{a}}_{i j})}{d_{E} (Q_{j}^{P I S}, Q_{j}^{N I S})}, d_{E} (α_{1}, α_{2}) = \sqrt{\frac{(μ_{1}^{q} - μ_{2}^{q})^{2} + (ν_{1}^{q} - ν_{2}^{q})^{2} + (π_{1}^{q} - π_{2}^{q})^{2}}{2}}$

LaTeX
f_{ij} = \dfrac{d_{E}(Q^{PIS}_{j},\,\hat{a}_{ij})}{d_{E}(Q^{PIS}_{j},\,Q^{NIS}_{j})},\quad d_{E}(\alpha_{1},\alpha_{2}) = \sqrt{\dfrac{(\mu_{1}^{q}-\mu_{2}^{q})^{2}+(\nu_{1}^{q}-\nu_{2}^{q})^{2}+(\pi_{1}^{q}-\pi_{2}^{q})^{2}}{2}}
Adım 4 — Ağırlıklı q-ROF boşluklarının grup faydası S_i (L_1 toplam) ve bireysel pişmanlığı R_i (L_∞ maksimum).

$S_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} f_{i j}, R_{i} = {max}_{j} [w_{j} f_{i j}]$

LaTeX
S_{i} = \sum_{j=1}^{n} w_{j}\,f_{ij},\quad R_{i} = \max_{j}\bigl[w_{j}\,f_{ij}\bigr]
Adım 5 — Uzlaşma endeksi Q_i: mekanizma katsayısı v ∈ [0, 1] (varsayılan v = 0.5 konsensüs için) ile ağırlıklandırılmış normalleştirilmiş S ve R'nin konveks kombinasyonu.

$Q_{i} = v \frac{S_{i} - S^{*}}{S^{-} - S^{*}} + (1 - v) \frac{R_{i} - R^{*}}{R^{-} - R^{*}}, S^{*} = {min}_{i} S_{i}, S^{-} = {max}_{i} S_{i}, R^{*} = {min}_{i} R_{i}, R^{-} = {max}_{i} R_{i}$

LaTeX
Q_{i} = v\,\dfrac{S_{i}-S^{*}}{S^{-}-S^{*}} + (1-v)\,\dfrac{R_{i}-R^{*}}{R^{-}-R^{*}},\quad S^{*}=\min_{i}S_{i},\ S^{-}=\max_{i}S_{i},\ R^{*}=\min_{i}R_{i},\ R^{-}=\max_{i}R_{i}
Adım 6 — Q_i'ye göre ARTAN sırala (küçük Q daha iyi). A^(1) (en düşük Q) uzlaşık çözüm olarak yalnızca C1 (kabul edilebilir avantaj) ve C2 (kabul edilebilir kararlılık) birlikte sağlanırsa önerilir. C1 sağlanmazsa Q(A^(M)) − Q(A^(1)) < DQ koşulunu sağlayan en uzun A^(1)..A^(M) öneki döndürülür. Yalnızca C2 sağlanmazsa {A^(1), A^(2)} döndürülür.

$D Q = \frac{1}{m - 1}; C 1 : Q (A^{(2)}) - Q (A^{(1)}) \geq D Q; C 2 : A^{(1)} is best in S or in R$

LaTeX
DQ = \dfrac{1}{m-1};\quad C1:\ Q(A^{(2)})-Q(A^{(1)}) \ge DQ;\quad C2:\ A^{(1)}\ \text{is best in}\ S\ \text{or in}\ R

Sezgi

q-Rung Orthopair outranking/ranking - q-Rung Orthopair Fuzzy Number (q-ROFN: μ, ν; μ^q+ν^q ≤ 1, q ≥ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: QR-VIKOR lifts classical VIKOR (Opricovic 1998 / Opricovic-Tzeng 2004) into q-Rung Orthopair Fuzzy arithmetic. Cost criteria are converted to benefit via q-ROFN complement (μ, ν) → (ν, μ). Per-criterion positive- and negative-ideals are extracted coordinate-wise (f_j* = (max μ, min ν), f_j^- = (min μ, max ν)). The crisp gap (f_j*−x_ij)/(f_j*−f_j^-) is replaced by the q-ROF Euclidean distance ratio d_E(f_j*, a_ij) / d_E(f_j*, f_j^-) (Du 2018 distance, p=2). Group utility S_i (L_1) and individual regret R_i (L_∞) aggregate the weighted gaps. The compromise index Q_i = v·(S−S*)/(S^−−S*) + (1−v)·(R−R*)/(R^−−R*) is ranked ASCENDING (smaller Q = better). The final compromise solution is post-processed via C1 (acceptable advantage) and C2 (acceptable stability) checks. No defuzzification step - the gap is already crisp once distance is taken.

Varsayımlar

Decision matrix entries are valid q-Rung Orthopair Fuzzy numbers/tuples
Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

Classical data sufficient - use base VIKOR directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
Assumes: Decision matrix entries are valid q-Rung Orthopair Fuzzy numbers/tuples
Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan ÖNCE tüm girişlerin μ^q + ν^q ≤ 1, q ≥ 1 koşulunu sağladığından emin olun. q=1→IFS, q=2→PFS, q=3→FFS.
PIS/NIS çıkarma varyantı seçimi. Bu manifest SKOR-BAZLI çıkarma kullanır Q^PIS_j = argmax_i M(α_ij) (M(α)=(1+μ^q−ν^q)/2 skorunu maksimize eden alternatifin tüm q-ROFN'si), iki doğrulanmış uygulama referansıyla uyumlu (Erdebilli 2023 Eqs.16-17, Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Eqs.15-16). Koordinat-bazlı varyant (f_j* = (max μ, min ν)) strict-dominance veride aynı sonucu verir, non-dominant veride farklılaşır - L.alternative_formulations_known.
Cost kriterleri: bu manifest Adım 1'de q-ROFN tümleyeni (μ, ν) → (ν, μ) uygular. Bazı implementasyonlar orijinal (μ, ν)'yu korur ve f_j*/f_j^- içinde min/max ters çevirir - monoton distanceler için matematiksel olarak eşdeğer.
Sıralama yönü: Q_i KÜÇÜK daha iyi (düşük Q = ideale daha yakın). TOPSIS yakınlık katsayısı CC_i ile karıştırma (büyük daha iyi). İki referans paper (Erdebilli 2023 §3.2 / Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Adım 8) 'largest to smallest' diyor - bu merit-function normalizasyonu Eq.(21)/(20) ile çelişen ortak paper hatası; klasik Opricovic artan konvansiyonunu izleyin.

Hesap adımları ve dayanakları

Construct the q-ROF decision matrix and convert cost criteria to benefit via the (μ, ν) → (ν, μ) swap (q-ROFN complement). After this step every criterion is treated as benefit.

Dayanak: Yager 2017 Def 1 (q-ROFS); Liu & Wang 2018 Eq.(1) basic operations; cost complement (μ,ν)^c=(ν,μ) - standard q-ROF MCDM convention, also stated in QR-VIKOR.tex §3 Step 1.
Score-based per-criterion q-ROF positive-ideal Q^PIS_j and negative-ideal Q^NIS_j: pick the ENTIRE q-ROFN from the alternative i that maximises (resp. minimises) the score function M(α) = (1 + μ^q − ν^q)/2 ∈ [0,1] for each criterion j (computed on the cost-adjusted matrix where all criteria are benefit). Note: PIS/NIS coordinates always come from a real alternative under this extraction.

Dayanak: Erdebilli et al. 2023 Eqs.(16)-(17); Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Eqs.(15)-(16); Liu-Wang 2018 Def 2 (score function S(α)=μ^q−ν^q; M(α)=(1+S)/2 is the [0,1]-rescaled form used as PIS/NIS selector in both q-ROF VIKOR application anchors).
Normalised q-ROF gap f_ij defined as the ratio of two q-ROF Euclidean distances: distance from Q^PIS_j to the cell, normalised by the criterion range distance from Q^PIS_j to Q^NIS_j. Euclidean form: d_E(α_1, α_2) = √(((μ_1^q − μ_2^q)² + (ν_1^q − ν_2^q)² + (π_1^q − π_2^q)²) / 2), with π = (1 − μ^q − ν^q)^{1/q}.

Dayanak: Erdebilli et al. 2023 Eq.(20) + Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Eq.(19) (q-ROF Euclidean used in q-ROF VIKOR pipeline); underlying distance: Du 2018 (Minkowski p=2, q-ROF generalisation).
Group utility S_i (L_1 aggregation) and individual regret R_i (L_∞ aggregation) of weighted q-ROF gaps.

Dayanak: Erdebilli et al. 2023 Eqs.(18)-(19) + Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Eqs.(17)-(18) (S_i = Σ w_j·d(a_ij,Q^PIS)/d(Q^PIS,Q^NIS), R_i = max_j w_j · same ratio). Structurally Opricovic 1998 L_1/L_∞ aggregation, lifted to q-ROF gap.
Compromise index Q_i: convex combination of normalised S and R, weighted by the mechanism coefficient v ∈ [0, 1] (default v = 0.5 for consensus).

Dayanak: Erdebilli et al. 2023 Eq.(21) + Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Eq.(20) (merit function Q^mf = v·(S−S*)/(S^−−S*) + (1−v)·(R−R*)/(R^−−R*), v=0.5 default).
Rank ASCENDING by Q_i (smaller Q is better). Propose A^(1) (the lowest-Q alternative) as the compromise solution iff both C1 (acceptable advantage) and C2 (acceptable stability) hold. If C1 fails, return the maximal prefix A^(1)..A^(M) such that Q(A^(M)) − Q(A^(1)) < DQ. If only C2 fails, return {A^(1), A^(2)}.

Dayanak: Classical Opricovic 1998 / Opricovic-Tzeng 2004 C1 (acceptable advantage, DQ=1/(m−1)) and C2 (acceptable stability) checks. NOTE: Erdebilli et al. 2023 §3.2 Step 5 and Erdebilli-Sıcakyüz 2024 Step 8 both state 'largest to smallest' - this contradicts the merit-function normalisation in Eq.(21)/(20) which gives smaller Q = closer to ideal. We treat the paper wording as a shared paper-side error and follow ascending convention.