qR-TOPSIS - TOPSIS yönteminin q-Rung Orthopair uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Yerel değerlendirmeleri ve tamamlayıcı maliyet kriterlerini doğrulayın.

$μ_{i j}, ν_{i j} \in [0, 1], μ_{i j}^{q} + ν_{i j}^{q} \leq 1, 1 \leq q < \infty; R_{i j} = {\begin{matrix} (ν_{i j}, μ_{i j}), & j cost \\ (μ_{i j}, ν_{i j}), & j benefit \end{matrix}$

LaTeX
\mu_{ij},\nu_{ij}\in[0,1],\quad \mu_{ij}^{q}+\nu_{ij}^{q}\le1,\quad 1\le q<\infty;\qquad R_{ij}=\begin{cases}(\nu_{ij},\mu_{ij}),&j\text{ cost}\\(\mu_{ij},\nu_{ij}),&j\text{ benefit}\end{cases}
Skaler kriter ağırlıklarını uygulayın.

$0 \leq w_{j} \leq 1, \sum_{j} w_{j} = 1; V_{i j} = ((1 - (1 - μ_{i j}^{R q})^{w_{j}})^{1 / q}, (ν_{i j}^{R})^{w_{j}}), V_{i j} = (0, 1) if w_{j} = 0$

LaTeX
0\le w_j\le1,\quad\sum_jw_j=1;\qquad V_{ij}=\left((1-(1-\mu_{ij}^{R\,q})^{w_j})^{1/q},(\nu_{ij}^{R})^{w_j}\right),\quad V_{ij}=(0,1)\text{ if }w_j=0
Pozitif ve negatif idealleri oluşturun.

$A_{j}^{+} = ({max}_{i} μ_{i j}^{v}, {min}_{i} ν_{i j}^{v}), A_{j}^{-} = ({min}_{i} μ_{i j}^{v}, {max}_{i} ν_{i j}^{v}) after cost-swap (benefit)$

LaTeX
A^{+}_{j} = \bigl(\max_{i}\mu_{ij}^{v},\ \min_{i}\nu_{ij}^{v}\bigr),\quad A^{-}_{j} = \bigl(\min_{i}\mu_{ij}^{v},\ \max_{i}\nu_{ij}^{v}\bigr)\ \text{after cost-swap (benefit)}
Ağırlıklı q-ROF Öklid mesafelerini hesapla.

$π_{i j}^{V q} = 1 - (μ_{i j}^{V})^{q} - (ν_{i j}^{V})^{q}; d_{i}^{\pm} = \sqrt{\sum_{j} \frac{w_{j}}{2} [{((μ_{i j}^{V})^{q} - (μ_{j}^{\pm})^{q})}^{2} + {((ν_{i j}^{V})^{q} - (ν_{j}^{\pm})^{q})}^{2} + {((π_{i j}^{V})^{q} - (π_{j}^{\pm})^{q})}^{2}]}$

LaTeX
\pi_{ij}^{V\,q}=1-(\mu_{ij}^{V})^q-(\nu_{ij}^{V})^q;\qquad d_i^{\pm}=\sqrt{\sum_j\frac{w_j}{2}\left[\left((\mu_{ij}^{V})^q-(\mu_j^{\pm})^q\right)^2+\left((\nu_{ij}^{V})^q-(\nu_j^{\pm})^q\right)^2+\left((\pi_{ij}^{V})^q-(\pi_j^{\pm})^q\right)^2\right]}
Göreli yakınlığı ve eşit puanlı sıralamaları hesaplayın.

$d_{i}^{+} + d_{i}^{-} > 0; C C_{i} = \frac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+} + d_{i}^{-}}, r_{i} = 1 + # {k : C C_{k} > C C_{i}}$

LaTeX
d_i^{+}+d_i^{-}>0;\qquad CC_i=\frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}},\quad r_i=1+\#\{k:CC_k>CC_i\}

Sezgi

q-Rung Orthopair outranking/ranking - q-Rung Orthopair Fuzzy Number (q-ROFN: μ, ν; μ^q+ν^q ≤ 1, q ≥ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: Current implementation preserves native q-ROF ratings, complements costs before scalar weighting, constructs coordinate-wise ideals, and computes a weighted Euclidean distance on q-powered membership, nonmembership and hesitation. The final score is relative closeness CC=d-/(d++d-). This complete composition has not been matched to an exact published variant.

Varsayımlar

Decision matrix entries are valid q-Rung Orthopair Fuzzy numbers/tuples
Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

Classical data sufficient - use base TOPSIS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

Exact source identity of the complete composition remains unresolved.
Single native decision matrix only; no built-in expert aggregation.
Cost complementation before weighting is a material algorithm choice.

Sık yapılan hatalar

Yerel üyelik/olmama çiftlerini ve ortak sonlu q ≥ 1 değerini kullanınız. Varsayılan q=3 yazılımın korunan varsayılanıdır, optimum değildir.
Bu uygulamada kriter ağırlıkları sonlu, negatif olmayan ve toplamları bire eşit gerçek katsayılardır. Geçersiz ağırlıklar reddedilir.
Uzaklık orijinal Pinar-Boran yeni uzaklığından farklıdır. Ağırlamaların hem yerel derecelendirmelere hem de uzaklıklara uygulanması kaynak kimliği sorusudur.
Maliyet derecelendirmelerini doğrusal olmayan skaler ağırlama öncesinde tamamlamak, ağırlıklı ideallerde yön değiştirmekle eşdeğer değildir. Bu uygulama, kesin kaynak çözümü beklenirken önceki sıralamayı korur.
Tek karar matrisi yürütmesi, uzman görüşü toplama veya çoklu uzman birleştirmesi uygulamaz.

Hesap adımları ve dayanakları

Validate native ratings and complement cost criteria. \mu_{ij},\nu_{ij}\in[0,1],\quad \mu_{ij}^{q}+\nu_{ij}^{q}\le1,\quad 1\le q<\infty;\qquad R_{ij}=\begin{cases}(\nu_{ij},\mu_{ij}),&j\text{ cost}\\(\mu_{ij},\nu_{ij}),&j\text{ benefit}\end{cases}
Apply scalar criterion weights. 0\le w_j\le1,\quad\sum_jw_j=1;\qquad V_{ij}=\left((1-(1-\mu_{ij}^{R\,q})^{w_j})^{1/q},(\nu_{ij}^{R})^{w_j}\right),\quad V_{ij}=(0,1)\text{ if }w_j=0
Construct positive and negative ideals. A^{+}_{j} = \bigl(\max_{i}\mu_{ij}^{v},\ \min_{i}\nu_{ij}^{v}\bigr),\quad A^{-}_{j} = \bigl(\min_{i}\mu_{ij}^{v},\ \max_{i}\nu_{ij}^{v}\bigr)\ \text{after cost-swap (benefit)}
Calculate weighted q-ROF Euclidean distances. \pi_{ij}^{V\,q}=1-(\mu_{ij}^{V})^q-(\nu_{ij}^{V})^q;\qquad d_i^{\pm}=\sqrt{\sum_j\frac{w_j}{2}\left[\left((\mu_{ij}^{V})^q-(\mu_j^{\pm})^q\right)^2+\left((\nu_{ij}^{V})^q-(\nu_j^{\pm})^q\right)^2+\left((\pi_{ij}^{V})^q-(\pi_j^{\pm})^q\right)^2\right]}
Calculate relative closeness and equal-score ranks. d_i^{+}+d_i^{-}>0;\qquad CC_i=\frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}},\quad r_i=1+\#\{k:CC_k>CC_i\}