qR-TODIM - TODIM yönteminin q-Rung Orthopair uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. q-rung orthopair (mu, nu) matrisini ayrıştır, rung koşulunu denetle ve normalize et: fayda hücreleri aynı kalır, maliyet hücreleri (nu, mu) tümleyenini alır.

   $$p_{ij}=x_{ij}(j\in J^{+});p_{ij}=({\nu }_{ij},{\mu }_{ij})(j\in J^{-});{\mu }^q+{\nu }^q\le 1$$
   LaTeX

   p_{ij} = x_{ij}\ (j\in J^{+});\quad p_{ij} = (\nu_{ij}, \mu_{ij})\ (j\in J^{-});\quad \mu^{q}+\nu^{q} \le 1

2. Referans kriter en büyük ağırlığa sahip olan kriterdir; her kritere w_jr = w_j / w_r göreli ağırlığı verilir.

   $$w_r={max}_j{w}_j,w_{jr}={\displaystyle \frac{w_j}{w_r}}$$
   LaTeX

   w_{r} = \max_{j} w_{j},\quad w_{jr} = \dfrac{w_{j}}{w_{r}}

3. İki hücre arasındaki uzaklık üyelik, üye olmama ve sürü psikolojisi kaynaklı kararsızlığı birleştirir; bir alternatifin diğerine baskınlığı bu uzaklığın zayıflatılmış kareköküdür.

   $$d(p_{ij},p_{kj})=(\frac{1}{3}|\Delta \mu {|}^p+\frac{1}{3}|\Delta \nu {|}^p+\frac{1}{3}|\frac{\Delta \nu }{\Delta \mu }(\Delta {\pi }^{\prime }{)}^p|{)}^{1/p},{\pi }^{\prime }=(\frac{e^{{\mu }^q-{\nu }^q}}{e^{{\mu }^q-{\nu }^q}+1}-\frac{1}{2})(1-{\mu }^q-{\nu }^q);{\Phi }_j^{\prime }(a_i,a_k)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{{\displaystyle \frac{w_{jr}d(p_{ij},p_{kj})}{{\sum }_j{w}_{jr}}}}\hfill & p_{ij}\succ p_{kj}\hfill \\ 0\hfill & p_{ij}=p_{kj}\hfill \\ -{\displaystyle \frac{1}{\theta }}\sqrt{{\displaystyle \frac{d(p_{ij},p_{kj})}{w_{jr}}}}\hfill & p_{ij}\prec p_{kj}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   d(p_{ij},p_{kj}) = \Big(\tfrac{1}{3}|\Delta\mu|^{p}+\tfrac{1}{3}|\Delta\nu|^{p}+\tfrac{1}{3}\big|\tfrac{\Delta\nu}{\Delta\mu}(\Delta\pi')^{p}\big|\Big)^{1/p},\ \pi' = \Big(\tfrac{e^{\mu^{q}-\nu^{q}}}{e^{\mu^{q}-\nu^{q}}+1}-\tfrac{1}{2}\Big)(1-\mu^{q}-\nu^{q});\quad \Phi'_{j}(a_{i},a_{k}) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{w_{jr}\,d(p_{ij},p_{kj})}{\sum_{j} w_{jr}}} & p_{ij}\succ p_{kj}\\ 0 & p_{ij}= p_{kj}\\ -\dfrac{1}{\theta}\sqrt{\dfrac{d(p_{ij},p_{kj})}{w_{jr}}} & p_{ij}\prec p_{kj}\end{cases}

4. Kriter bazındaki baskınlık değerleri toplanarak bir alternatifin diğerine göre ikili baskınlık derecesi elde edilir.

   $${\delta }^{\prime }(a_i,a_k)=\sum _{j=1}^m{\Phi }_j^{\prime }(a_i,a_k)$$
   LaTeX

   \delta'(a_{i},a_{k}) = \sum_{j=1}^{m} \Phi'_{j}(a_{i},a_{k})

5. Genel baskınlık, ikili baskınlık derecelerinin min-maks normalize edilmiş satır toplamıdır; büyük olan daha iyidir.

   $${\eta }^{\prime }(a_i)={\displaystyle \frac{{\sum }_k{\delta }^{\prime }(a_i,a_k)-{min}_i{\sum }_k{\delta }^{\prime }(a_i,a_k)}{{max}_i{\sum }_k{\delta }^{\prime }(a_i,a_k)-{min}_i{\sum }_k{\delta }^{\prime }(a_i,a_k)}}$$
   LaTeX

   \eta'(a_{i}) = \dfrac{\sum_{k} \delta'(a_{i},a_{k}) - \min_{i}\sum_{k}\delta'(a_{i},a_{k})}{\max_{i}\sum_{k}\delta'(a_{i},a_{k}) - \min_{i}\sum_{k}\delta'(a_{i},a_{k})}

Sezgi

Sonucu okuma: qr-todim extends TODIM to handle q-Rung Orthopair uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using q-Rung Orthopair Fuzzy Number (q-ROFN: μ, ν; μ^q+ν^q ≤ 1, q ≥ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ^q − ν^q before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid q-Rung Orthopair Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TODIM directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin q-ROFN: μ^q + ν^q ≤ 1, q ≥ 1 (q=1→IFS; q=2→PFS) koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ^q − ν^q kanonik seçimdir.