PROMETHEE III - Zenginleştirilmiş Değerlendirmeler için Tercih Sıralama Organizasyonu Yöntemi III (aralık tabanlı sıralama)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her sıralı çift (A_i, A_i') ve kriter j için yönlü farkı d_j(A_i,A_i') = f_j(A_i) − f_j(A_i') hesapla (maliyet kriterlerinde işaret tersine çevrilir) ve seçilen tercih fonksiyonu P_j ∈ {Tip I–VI}'yı uygula, böylece 0 ≤ P_j(A_i,A_i') ≤ 1.

   $$d_j(A_i,A_{i^{\prime }})=f_j(A_i)-f_j(A_{i^{\prime }});P_j(A_i,A_{i^{\prime }})=f_j[d_j(A_i,A_{i^{\prime }})]\in [0,1]$$
   LaTeX

   d_{j}(A_{i},A_{i'}) = f_{j}(A_{i})-f_{j}(A_{i'});\quad P_{j}(A_{i},A_{i'}) = f_{j}\big[d_{j}(A_{i},A_{i'})\big] \in [0,1]

2. Adım 2 — Kriter başına tercihleri tercih indeksinde topla: π(A_i,A_i') = Σ_j w_j · P_j(A_i,A_i').

   $$\pi (A_i,A_{i^{\prime }})=\sum _{j=1}^n{w}_j{P}_j(A_i,A_{i^{\prime }})$$
   LaTeX

   \pi(A_{i},A_{i'}) = \sum_{j=1}^{n} w_{j}\,P_{j}(A_{i},A_{i'})

3. Adım 3 — Her alternatif için pozitif (φ⁺) ve negatif (φ⁻) akışları hesapla.

   $${\varphi }^{+}(A_i)=\frac{1}{m-1}\sum _{i^{\prime }\ne i}\pi (A_i,A_{i^{\prime }});{\varphi }^{-}(A_i)=\frac{1}{m-1}\sum _{i^{\prime }\ne i}\pi (A_{i^{\prime }},A_i)$$
   LaTeX

   \phi^{+}(A_{i}) = \frac{1}{m-1}\sum_{i' \neq i}\pi(A_{i},A_{i'});\quad \phi^{-}(A_{i}) = \frac{1}{m-1}\sum_{i' \neq i}\pi(A_{i'},A_{i})

4. Adım 4 — Her alternatif için işaretli akış ortalaması φ̄(A_i) ve onun standart sapması σ_{A_i}'yi m ikili fark [π(A_i,A_i') − π(A_i',A_i)] üzerinden hesapla. NOT: bölen m'dir (alternatif sayısı), m−1 değil (Alinezhad & Khalili 2019 Denklem 5.19).

   $$\overline{\varphi }(A_i)=\frac{1}{m}\sum _{i^{\prime }=1}^m[\pi (A_i,A_{i^{\prime }})-\pi (A_{i^{\prime }},A_i)];{\sigma }_{A_i}^2=\frac{1}{m}\sum _{i^{\prime }=1}^m(\pi (A_i,A_{i^{\prime }})-\pi (A_{i^{\prime }},A_i)-\overline{\varphi }(A_i){)}^2$$
   LaTeX

   \bar{\phi}(A_{i}) = \frac{1}{m}\sum_{i'=1}^{m}\big[\pi(A_{i},A_{i'}) - \pi(A_{i'},A_{i})\big];\quad \sigma_{A_{i}}^{2} = \frac{1}{m}\sum_{i'=1}^{m}\Big(\pi(A_{i},A_{i'}) - \pi(A_{i'},A_{i}) - \bar{\phi}(A_{i})\Big)^{2}

5. Adım 5 — Yarı genişliği α·σ_{A_i} olan [X(A_i), Y(A_i)] aralığını φ̄(A_i) etrafında kur (α>0 kullanıcı parametresi; kitap vaka çalışması α=0,160 kullanır).

   $$X(A_i)=\overline{\varphi }(A_i)-\alpha {\sigma }_{A_i};Y(A_i)=\overline{\varphi }(A_i)+\alpha {\sigma }_{A_i}$$
   LaTeX

   X(A_{i}) = \bar{\phi}(A_{i}) - \alpha\,\sigma_{A_{i}};\quad Y(A_{i}) = \bar{\phi}(A_{i}) + \alpha\,\sigma_{A_{i}}

6. Adım 6 — İkili tercih / kayıtsızlığı aralıklardan karar ver: A_i P^{III} A_{i'} ⇔ X(A_i) > Y(A_{i'}); A_i I^{III} A_{i'} ⇔ X(A_i) ≤ Y(A_{i'}) VE Y(A_i) ≥ X(A_{i'}). (Belki kısmi) ilişkiyi tablo görünümü için aralık orta noktası φ̄(A_i)'ye göre sıralayarak doğrusallaştır; gerçek aralık ilişkisi `interval_relation_matrix`'te korunur.

   $$A_i{P}^{III}{A}_{i^{\prime }}\iff X(A_i)>Y(A_{i^{\prime }});A_i{I}^{III}{A}_{i^{\prime }}\iff X(A_i)\le Y(A_{i^{\prime }})\wedge Y(A_i)\ge X(A_{i^{\prime }})$$
   LaTeX

   A_{i}\,P^{III}\,A_{i'} \Leftrightarrow X(A_{i}) > Y(A_{i'});\quad A_{i}\,I^{III}\,A_{i'} \Leftrightarrow X(A_{i}) \le Y(A_{i'}) \land Y(A_{i}) \ge X(A_{i'})

Sezgi

Sonucu okuma: PROMETHEE III sits between PROMETHEE I (partial preorder) and PROMETHEE II (complete preorder): it returns a weak order built from per-alternative confidence intervals around the net flow. Tune α to control how much dispersion is admitted as indifference - small α ⇒ ranking close to PROMETHEE II; large α ⇒ many ties (indifferences) like PROMETHEE I.

Varsayımlar

• Decision-maker can specify preference (p), indifference (q), and veto (v) thresholds
• Non-compensatory preference structure

Ne zaman kullanılmaz

• Small dataset (m<3) → outranking benefit minimal
• Compensatory preferences acceptable → simpler ranking method

Sık yapılan hatalar

• m'ye karşı m−1 böleninin yanlış uygulanması: PROMETHEE III'ün φ̄'sı 1/m kullanır (i'=i sıfır terimi dahil tüm i' üzerinden), oysa PROMETHEE I/II'nin φ⁺/φ⁻'sı 1/(m−1) kullanır.
• α'yı sabit bir kullanıcı seçimi yerine bir robustluk taraması parametresi olarak ele almak: α çalışma başına bir kez ayarlanmalıdır (literatür varsayılanları [0,10; 0,30]) ve sıralamayla birlikte raporlanmalıdır.