POWER-MEAN

Ağırlıklı Güç Ortalama (Hölder Ortalama)

Güç ortalama ailesi - WAM/WGM/WHM'nin parametrik genellemesi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — r güç parametresini ve w ağırlık vektörünü seç. r'ye göre pozitiflik koşullarını doğrula.

$\sum_{j = 1}^{n} w_{j} = 1, w_{j} \geq 0; x_{j} > 0 if r \leq 0$

LaTeX
\sum_{j=1}^{n} w_j = 1, \quad w_j \geq 0; \qquad x_j > 0 \text{ if } r \leq 0
Adım 2 — r ≠ 0 için Ağırlıklı Güç Ortalama M_r: her x_j'yi r'inci kuvvete yükselt, ağırlıklı ortalama al, ardından 1/r kök uygula.

$M_{r} (x_{1}, \dots, x_{n}; w) = {(\sum_{j = 1}^{n} w_{j} x_{j}^{r})}^{1 / r}, r \neq 0$

LaTeX
M_r(x_1,\ldots,x_n;\,w) = \left(\sum_{j=1}^{n} w_j\, x_j^{\,r}\right)^{\!1/r}, \quad r \neq 0
Adım 3 — Limit durum r→0: M_0 = WGM = Π x_j^{w_j}. Sayısal kararlılık için log-toplam ile hesapla.

$M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}; w) = {lim}_{r \to 0} M_{r} = \prod_{j = 1}^{n} x_{j}^{w_{j}} = \exp (\sum_{j = 1}^{n} w_{j} \ln x_{j})$

LaTeX
M_0(x_1,\ldots,x_n;\,w) = \lim_{r\to 0} M_r = \prod_{j=1}^{n} x_j^{w_j} = \exp\!\left(\sum_{j=1}^{n} w_j \ln x_j\right)
Adım 4 — Monotonluk özelliği: M_r, r'de artmayan değil artan. Yaygın ortalamalar arasındaki temel eşitsizlikler.

$r_{1} < r_{2} ⟹ M_{r_{1}} \leq M_{r_{2}} (equality iff all x_{j} equal) min (x) = M_{- \infty} \leq W H M = M_{- 1} \leq W G M = M_{0} \leq W A M = M_{1} \leq R M S = M_{2} \leq M_{+ \infty} = max (x)$

LaTeX
r_1 < r_2 \implies M_{r_1} \leq M_{r_2} \quad (\text{equality iff all } x_j \text{ equal}) \\ \min(x) = M_{-\infty} \leq WHM = M_{-1} \leq WGM = M_0 \leq WAM = M_1 \leq RMS = M_2 \leq M_{+\infty} = \max(x)

Yöntem ayrıntıları kaynak kütüphanedeki özgün (İngilizce) metindir.

Sezgi

Sonucu okuma: Behaviour depends on r: r→-∞ (min), r=1 (AM), r=2 (QM), r→+∞ (max). Higher score is better for positive criteria.