PiF-TODIM - TODIM yönteminin Picture uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — DM bilgisinden picture-fuzzy karar matrisini R = [⟨μ_ij, η_ij, ν_ij⟩]_{m×n} oluştur. Maliyet kriterleri j (yön='min') için Cuong tümleyenini uygula (μ, η, ν) → (ν, η, μ).

   $$R=[⟨{\mu }_{i}j,{\eta }_{i}j,{\nu }_{i}j⟩{]}_{m\times n};ifdirectio{n}_j{=}^{\prime }mi{n}^{\prime }then{r}_i{j}^{c}omplement=⟨{\nu }_{i}j,{\eta }_{i}j,{\mu }_{i}j⟩$$
   LaTeX

   R = [⟨μ_ij, η_ij, ν_ij⟩]_{m×n}; if direction_j = 'min' then r_ij^complement = ⟨ν_ij, η_ij, μ_ij⟩

2. Adım 2 — Her giriş için skor S(r_ij) = (1 + μ_ij − ν_ij)/2 ∈ [0,1] hesapla. İki PFN'i karşılaştırmak için kullanılır (Wei Def.3). Eşitlikte doğruluk H(α) = μ + η + ν kullanılır (Def.5).

   $$S(\alpha )=(1+{\mu }_{\alpha }-{\nu }_{\alpha })/2;tie-breaker:H(\alpha )={\mu }_{\alpha }+{\eta }_{\alpha }+{\nu }_{\alpha }$$
   LaTeX

   S(α) = (1 + μ_α − ν_α) / 2; tie-breaker: H(α) = μ_α + η_α + ν_α

3. Adım 3 — Referans nitelik G_r = argmax_j w_j ve göreli ağırlıklar w_jr = w_j / w_r ∈ (0, 1] hesapla.

   $$w_r=ma{x}_j{w}_j;w_{j}r=w_j/w_r,j=1,...,n$$
   LaTeX

   w_r = max_j w_j; w_jr = w_j / w_r, j = 1, ..., n

4. Adım 4 — Her alternatif çifti (A_i, A_t) ve her kriter G_j için normalize picture-fuzzy Hamming mesafesini hesapla.

   $$d(\alpha ,\beta )=(1/2)(|{\mu }_{\alpha }-{\mu }_{\beta }|+|{\eta }_{\alpha }-{\eta }_{\beta }|+|{\nu }_{\alpha }-{\nu }_{\beta }|)$$
   LaTeX

   d(α, β) = (1/2) (|μ_α − μ_β| + |η_α − η_β| + |ν_α − ν_β|)

5. Adım 5 — Her kriter G_j ve her sıralı çift (A_i, A_t) için kriter-başına egemenlik φ_j(A_i, A_t) hesapla. Skor karşılaştırmasına göre parçalı.

   $${\phi }_j(A_i,A_t)=+\surd (w_{j}r·d(r_{i}j,r_{t}j)/{\Sigma }_k{w}_{k}r)ifS(r_{i}j)>S(r_{t}j);0ifS(r_{i}j)=S(r_{t}j);-(1/\theta )·\surd (d(r_{i}j,r_{t}j)·{\Sigma }_k{w}_{k}r/w_{j}r)ifS(r_{i}j)<S(r_{t}j)$$
   LaTeX

   φ_j(A_i, A_t) = { +√(w_jr·d(r_ij,r_tj)/Σ_k w_kr) if S(r_ij) > S(r_tj); 0 if S(r_ij)=S(r_tj); −(1/θ)·√(d(r_ij,r_tj)·Σ_k w_kr/w_jr) if S(r_ij)<S(r_tj) }

6. Adım 6 — Toplam egemenliği δ(A_i, A_t) = Σ_j φ_j(A_i, A_t) topla. m×m egemenlik matrisi δ üretir.

   $$\delta (A_i,A_t)={\Sigma }_{j=1}^n{\phi }_j(A_i,A_t),i,t=1,...,m$$
   LaTeX

   δ(A_i, A_t) = Σ_{j=1}^n φ_j(A_i, A_t), i, t = 1, ..., m

7. Adım 7 — Global değer δ(A_i) ∈ [0, 1] hesapla. Azalan sırala; en iyi δ=1, en kötü δ=0.

   $$\delta (A_i)=({\Sigma }_t\delta (A_i,A_t)-mi{n}_k{\Sigma }_t\delta (A_k,A_t))/(ma{x}_k{\Sigma }_t\delta (A_k,A_t)-mi{n}_k{\Sigma }_t\delta (A_k,A_t));rankby\delta (A_i)descending$$
   LaTeX

   δ(A_i) = (Σ_t δ(A_i, A_t) − min_k Σ_t δ(A_k, A_t)) / (max_k Σ_t δ(A_k, A_t) − min_k Σ_t δ(A_k, A_t)); rank by δ(A_i) descending

Sezgi

Picture outranking/ranking - Picture Fuzzy Number (PiFN: ⟨μ, η, ν⟩; μ+η+ν ≤ 1) with prospect-theory loss aversion. Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: PIF-TODIM follows Wei 2018: build PF decision matrix R, compute score S(α)=(1+μ-ν)/2 and Hamming distance d (Eq.3,11), identify reference attribute G_r=argmax w_j and relative weights w_jr=w_j/w_r (Eq.9), compute per-criterion dominance φ_j piecewise on score comparison with loss-aversion factor θ (Eq.10), aggregate δ(A_i, A_t)=Σ_j φ_j (Eq.13), and rank by min-max normalised global value δ(A_i) (Eq.15). Highest δ(A_i)=1 is best alternative; lowest δ(A_i)=0 is worst.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Picture Fuzzy Numbers (μ + η + ν ≤ 1).
• Criterion weights are DM-supplied with Σ w_j = 1.
• Criterion directions (max/min) are explicit; cost columns get Cuong-complement.
• Loss-aversion factor θ is chosen meaningfully (default 2.5).

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TODIM directly.
• DM is risk-neutral and prospect-theory weighting is unwanted - use PIF-TOPSIS or PIF-VIKOR.
• Weights are unknown - PF-TODIM requires explicit weights to define the reference attribute.

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp TODIM (Gomes & Lima 1992); reference-attribute choice (max-weight criterion) can change ranking on dataset edits.)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Picture Fuzzy Numbers (μ + η + ν ≤ 1).
• Assumes: Criterion weights are DM-supplied with Σ w_j = 1.
• Assumes: Criterion directions (max/min) are explicit; cost columns get Cuong-complement.
• Assumes: Loss-aversion factor θ is chosen meaningfully (default 2.5).

Sık yapılan hatalar

• Referans nitelik seçimi: Wei 2018 G_r = argmax_j w_j kullanır. Birden fazla nitelik max ağırlığı paylaşırsa, eşitlikler deterministik olarak çözülmeli (örn. en düşük indeks).
• θ parametresi: büyük θ kayıp aversiyonunu büyütür; küçük θ < 1 büyütmeyi tersine çevirir. Wei 2018 θ=2.5 kullanır.
• Skor fonksiyonu bağımlılığı: PF-TODIM PFN karşılaştırması için S(α)=(1+μ-ν)/2 kullanır; doğrudan bileşen karşılaştırması değil.
• Maliyet-kriter işlemesi: Wei 2018 §4.1 örneği tüm fayda. Bu manifest karma J1/J2 için F1'de Cuong tümleyeni uygular.