PiF-MARCOS - MARCOS yönteminin Picture uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — r_ij = (μ_ij, η_ij, ν_ij), μ_ij+η_ij+ν_ij ≤ 1 olan Resim Bulanık karar matrisi X = [r_ij] oluşturulur.

   $$X=[r_{ij}{]}_{m\times n},r_{ij}=({\mu }_{ij},{\eta }_{ij},{\nu }_{ij}),{\mu }_{ij}+{\eta }_{ij}+{\nu }_{ij}\le 1$$
   LaTeX

   X = [r_{ij}]_{m×n}, r_{ij} = (μ_{ij}, η_{ij}, ν_{ij}), μ_{ij}+η_{ij}+ν_{ij} ≤ 1

2. Adım 2 — Maliyet kriterleri için (μ,η,ν) → (ν,η,μ) tümleyen normalleştirme; fayda kriterleri değişmez. Sonuç: R = [r̂_ij].

   $$r{̂}_{ij}=({\nu }_{ij},{\eta }_{ij},{\mu }_{ij})ifj\in Cost;r{̂}_{ij}=({\mu }_{ij},{\eta }_{ij},{\nu }_{ij})ifj\in Benefit$$
   LaTeX

   r̂_{ij} = (ν_{ij}, η_{ij}, μ_{ij}) if j∈Cost; r̂_{ij} = (μ_{ij}, η_{ij}, ν_{ij}) if j∈Benefit

3. Adım 3 — R'yi anti-ideal AAI ve ideal AI satırları ile genişlet: AAI_j = argmin_i s(r̂_ij), AI_j = argmax_i s(r̂_ij), s(α) = (1+μ−ν)/2.

   $$AA{I}_j=r{̂}_{i*j}\text{ where }i*=\mathrm{\backslash arg}{min}_{i}s(r{̂}_{ij});A{I}_j=r{̂}_{i**j}\text{ where }i**=\mathrm{\backslash arg}{max}_{i}s(r{̂}_{ij});s(\alpha )=(1+\mu -\nu )/2$$
   LaTeX

   AAI_j = r̂_{i*j} \text{ where } i* = \arg\min_i s(r̂_{ij}); \quad AI_j = r̂_{i**j} \text{ where } i** = \arg\max_i s(r̂_{ij}); \quad s(α) = (1+μ-ν)/2

4. Adım 4 — Her satır için PFWA ağırlıklı toplama: S_i = PFWA(r̂_i1,…,r̂_in; w). m alternatif satırı ile AAI ve AI satırlarına uygulanır.

   $$S_i=\text{PFWA}(r{̂}_{i1},\dots ,r{̂}_{in};w)=(1-{\prod }_{j=1}^n(1-{\mu }_{ij}{)}^{w_j},{\prod }_{j=1}^n{\eta }_{ij}^{w_j},{\prod }_{j=1}^n{\nu }_{ij}^{w_j})$$
   LaTeX

   S_i = \text{PFWA}(r̂_{i1},…,r̂_{in}; w) = \left(1 - \prod_{j=1}^{n}(1-μ_{ij})^{w_j},\; \prod_{j=1}^{n} η_{ij}^{w_j},\; \prod_{j=1}^{n} ν_{ij}^{w_j}\right)

5. Adım 5 — Score fonksiyonu ile bulanıklıktan arındır: s_i = s(S_i) = (1+μ_i−ν_i)/2 her alternatif ve AAI, AI satırları için.

   $$s_i=(1+{\mu }_i-{\nu }_i)/2;s_{AAI}=(1+{\mu }_{AAI}-{\nu }_{AAI})/2;s_{AI}=(1+{\mu }_{AI}-{\nu }_{AI})/2$$
   LaTeX

   s_i = (1 + μ_i - ν_i)/2; \quad s_{AAI} = (1 + μ_{AAI} - ν_{AAI})/2; \quad s_{AI} = (1 + μ_{AI} - ν_{AI})/2

6. Adım 6 — İdeal ve anti-ideale göre fayda oranları: K_i^+ = s_i / s_AI, K_i^- = s_i / s_AAI.

   $$K_i^{+}=s_i/s_{AI};K_i^{-}=s_i/s_{AAI}$$
   LaTeX

   K_i^+ = s_i / s_{AI}; \quad K_i^- = s_i / s_{AAI}

7. Adım 7 — Fayda fonksiyonları: f(A_i^+) = K_i^- / (K_i^+ + K_i^-), f(A_i^-) = K_i^+ / (K_i^+ + K_i^-).

   $$f(A_i^{+})=K_i^{-}/(K_i^{+}+K_i^{-});f(A_i^{-})=K_i^{+}/(K_i^{+}+K_i^{-})$$
   LaTeX

   f(A_i^+) = K_i^- / (K_i^+ + K_i^-); \quad f(A_i^-) = K_i^+ / (K_i^+ + K_i^-)

8. Adım 8 — Nihai fayda f(K_i) = (K_i^+ + K_i^-) / (1 + (1−f(A_i^+))/f(A_i^+) + (1−f(A_i^-))/f(A_i^-)); alternatifler f(K_i) azalan sıraya göre sıralanır.

   $$f(K_i)=\frac{K_i^{+}+K_i^{-}}{1+\frac{1-f(A_i^{+})}{f(A_i^{+})}+\frac{1-f(A_i^{-})}{f(A_i^{-})}}$$
   LaTeX

   f(K_i) = \frac{K_i^+ + K_i^-}{1 + \frac{1-f(A_i^+)}{f(A_i^+)} + \frac{1-f(A_i^-)}{f(A_i^-)}}

Sezgi

Picture outranking/ranking - Picture Fuzzy Set (PiFS: μ, η, ν; μ+η+ν ≤ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: pif-marcos extends MARCOS to handle Picture uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Picture Fuzzy Set (PiFS: μ, η, ν; μ+η+ν ≤ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ − ν before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Picture Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base MARCOS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Picture Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin PiFS: μ (membership), η (neutral), ν (non-membership); μ+η+ν ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ − ν kanonik seçimdir.
• Bu manifestin B.extensions bloğunda kaynak gösterilen Wei (2017), 'Picture fuzzy aggregation operators...' (DOI 10.3233/JIFS-161798) GERİ ÇEKİLMİŞTİR (RETRACTED); bu kaynağı PFWA/agregasyon gerekçesi olarak KULLANMAYIN.