PIF-DOMBI - Resim Bulanık Dombi Toplama Operatörleri ile MADM (Jana, Senapati, Pal ve Yager 2019)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. PFN karar matrisini R = (β_ts)_{m×n} (β_ts = ⟨μ_ts, η_ts, ν_ts⟩ ∈ PFS), çözük ağırlık vektörünü Ψ = (Ψ_1,…,Ψ_n) ile (ΣΨ=1, Ψ_s ∈ (0,1]), Dombi parametresi ℜ ≥ 1 ve operatör seçimi ∈ {PFDWA, PFDWG} al. E-1 ila E-6 alan kısıtlarını doğrula.

   $$R=({\beta }_{ts}{)}_{m\times n},{\beta }_{ts}=⟨{\mu }_{ts},{\eta }_{ts},{\nu }_{ts}⟩,{\mu }_{ts}+{\eta }_{ts}+{\nu }_{ts}\le 1;\Psi =({\Psi }_1,\dots ,{\Psi }_n),\sum _{s=1}^n{\Psi }_s=1,{\Psi }_s\in (0,1];\Re \ge 1.$$
   LaTeX

   R = (\beta_{ts})_{m\times n},\quad \beta_{ts} = \langle \mu_{ts}, \eta_{ts}, \nu_{ts}\rangle,\quad \mu_{ts}+\eta_{ts}+\nu_{ts} \le 1;\quad \Psi = (\Psi_1,\ldots,\Psi_n),\quad \sum_{s=1}^{n}\Psi_s = 1,\quad \Psi_s \in (0,1];\quad \Re \ge 1.

2. Seçilen Dombi toplama operatörünü satır-bazlı uygulayarak her alternatif Q_t için genel tercih PFN'si β_t'yi elde et. PFDWA için (Tan.13, Teorem 2, Denk.2) μ Dombi t-konormu, η ve ν Dombi t-normu kullanılır; PFDWG için (Tan.16, Teorem 11, Denk.7) μ Dombi t-normu, η ve ν Dombi t-konormu kullanılır.

   $$\text{PFDWA: }{\beta }_t=\backslash langle1-\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{{\mu }_{ts}}{1-{\mu }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }},\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{1-{\eta }_{ts}}{{\eta }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }},\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{1-{\nu }_{ts}}{{\nu }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }}\backslash rangle.\text{PFDWG: }{\beta }_t=\backslash langle\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{1-{\mu }_{ts}}{{\mu }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }},1-\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{{\eta }_{ts}}{1-{\eta }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }},1-\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{s=1}^n{\Psi }_s(\frac{{\nu }_{ts}}{1-{\nu }_{ts}}{)}^{\Re }{\backslash \}}^{1/\Re }}\backslash rangle.$$
   LaTeX

   \text{PFDWA: }\beta_t = \Bigl\langle 1-\tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{\mu_{ts}}{1-\mu_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}},\ \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{1-\eta_{ts}}{\eta_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}},\ \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{1-\nu_{ts}}{\nu_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}}\Bigr\rangle.\quad \text{PFDWG: }\beta_t = \Bigl\langle \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{1-\mu_{ts}}{\mu_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}},\ 1-\tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{\eta_{ts}}{1-\eta_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}},\ 1-\tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{s=1}^{n}\Psi_s(\tfrac{\nu_{ts}}{1-\nu_{ts}})^{\Re}\bigr\}^{1/\Re}}\Bigr\rangle.

3. Her alternatif için Tanım 6'yı kullanarak skor Ê(β_t) ∈ [0,1]'i hesapla: Ê(β_t) = (1 + μ_t − ν_t)/2 (η koordinatı skora girmez; Atanassov-IFS tarzı PFN skoru). Eşitlik bozucu için L̂(β_t) = μ_t − ν_t ∈ [−1, 1] (Tan.6). Tanım 7 önceliklendirilmiş karşılaştırma: Ê birincil, L̂ ikincil.

   $$\widehat{E}({\beta }_t)=\frac{1+{\mu }_t-{\nu }_t}{2}\in [0,1];\widehat{L}({\beta }_t)={\mu }_t-{\nu }_t\in [-1,1].$$
   LaTeX

   \hat{E}(\beta_t) = \tfrac{1 + \mu_t - \nu_t}{2} \in [0,1];\quad \hat{L}(\beta_t) = \mu_t - \nu_t \in [-1, 1].

4. Alternatifleri Tanım 7'ye göre azalan Ê(β_t) sırasında sırala: Q_t ≻ Q_s ⟺ Ê(β_t) > Ê(β_s); eşitlikler azalan L̂(β_t) ile çözülür. En iyi alternatif en yüksek skor (ve eşitlik durumunda en yüksek doğruluk) sahibidir.

   $$Q_{t_1}⪰Q_{t_2}⪰\dots ⪰Q_{t_m}⟺\widehat{E}({\beta }_{t_1})\ge \widehat{E}({\beta }_{t_2})\ge \dots \ge \widehat{E}({\beta }_{t_m});\text{tie-break: }\widehat{E}({\beta }_t)=\widehat{E}({\beta }_s)\Rightarrow Q_t\succ Q_s⟺\widehat{L}({\beta }_t)>\widehat{L}({\beta }_s).$$
   LaTeX

   Q_{t_1} \succeq Q_{t_2} \succeq \ldots \succeq Q_{t_m} \iff \hat{E}(\beta_{t_1}) \ge \hat{E}(\beta_{t_2}) \ge \ldots \ge \hat{E}(\beta_{t_m});\quad \text{tie-break: }\hat{E}(\beta_t)=\hat{E}(\beta_s) \Rightarrow Q_t \succ Q_s \iff \hat{L}(\beta_t) > \hat{L}(\beta_s).

Sezgi

Sonucu okuma: PIF-DOMBI applies the Jana et al. 2019 Picture Fuzzy Dombi aggregation family. Choose PFDWA (default, arithmetic, Eq.2) for compensatory aggregation or PFDWG (Eq.7) for geometric (less compensatory, low μ values penalized more). The ℜ ≥ 1 parameter controls trade-off: ℜ→1 approaches algebraic t-norm, ℜ→∞ approaches max/min. Score Ê(T)=(1+μ-ν)/2 ignores η (refusal/neutral); if η-sensitivity matters, prefer Wei 2017 PFWA or Cuong-Kreinovich score variants.

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce her giriş hücresinin PFN (μ+η+ν ≤ 1 kesin) koşulunu sağladığından emin olun.
• Sınır kutup (0 veya 1) Dombi'de sıfıra bölmeye neden olur; sert sınırlı veri için (eps, 1-eps) kırp, eps=1e-9.
• PFDWA ≠ PFDWG: aritmetik ve geometrik varyantlar genellikle özellikle çarpık η dağılımlarında farklı sıralamalar üretir. Raporda operator_choice belgelenmeli.
• Bu manifestin B.extensions bloğunda kaynak gösterilen Wei (2017), 'Picture fuzzy aggregation operators...' (DOI 10.3233/JIFS-161798) GERİ ÇEKİLMİŞTİR (RETRACTED); bu kaynağı PFWA/agregasyon gerekçesi olarak KULLANMAYIN.