PF-TOPSIS - TOPSIS yönteminin Pythagorean uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Pisagoryan bulanık karar matrisini R = (C_j(x_i))_{m×n} oluştur; her hücre μ²+ν²≤1 kısıtını sağlayan bir PFS (μ, ν), π = √(1−μ²−ν²).

   $$R=(C_j(x_i){)}_{m\times n},C_j(x_i)=({\mu }_{ij},{\nu }_{ij}),{\mu }_{ij}^2+{\nu }_{ij}^2\le 1,{\pi }_{ij}=\sqrt{1-{\mu }_{ij}^2-{\nu }_{ij}^2}$$
   LaTeX

   R = (C_{j}(x_{i}))_{m \times n},\quad C_{j}(x_{i}) = (\mu_{ij}, \nu_{ij}),\ \mu_{ij}^{2} + \nu_{ij}^{2} \le 1,\ \pi_{ij} = \sqrt{1 - \mu_{ij}^{2} - \nu_{ij}^{2}}

2. Adım 2 — Maliyet kriteri tümleyen normalleştirmesi: fayda kriterleri olduğu gibi kalır; maliyet kriterleri için (μ,ν) → (ν,μ). Not: Zhang & Xu 2014 §4 örneğinde tüm kriterler fayda; tümleyen yaygın benimsenmiş bir PFS uzantısı.

   $${\tilde{r}}_{ij}=\{\begin{array}{cc}({\mu }_{ij},{\nu }_{ij})\hfill & j\in J_B\text{(benefit)}\hfill \\ ({\nu }_{ij},{\mu }_{ij})\hfill & j\in J_C\text{(cost)}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \tilde{r}_{ij} = \begin{cases} (\mu_{ij}, \nu_{ij}) & j \in J_{B}\ \text{(benefit)} \\ (\nu_{ij}, \mu_{ij}) & j \in J_{C}\ \text{(cost)} \end{cases}

3. Adım 3 — Skor fonksiyonu s(p) = μ² − ν² kullanılarak normalleştirilmiş R matrisinden doğrudan PF-PIS A⁺ ve PF-NIS A⁻ çıkar: her sütunda A⁺ en yüksek skorlu, A⁻ en düşük skorlu PFS. Zhang-Xu kanonik yolu ağırlıkları F4 uzaklığının içine alır; PIS/NIS önce ağırlıklandırılmamış R'den çıkarılır.

   $$A^{+}=\{⟨C_j,\mathrm{\backslash arg}{max}_{i}s({\tilde{r}}_{ij})⟩{\}}_{j=1}^n,A^{-}=\{⟨C_j,\mathrm{\backslash arg}{min}_{i}s({\tilde{r}}_{ij})⟩{\}}_{j=1}^n,s(\mu ,\nu )={\mu }^2-{\nu }^2;|\{{\tilde{r}}_{ij}:i\in \mathrm{\backslash arg}{max}_{h}s({\tilde{r}}_{hj})\}|=|\{{\tilde{r}}_{ij}:i\in \mathrm{\backslash arg}{min}_{h}s({\tilde{r}}_{hj})\}|=1$$
   LaTeX

   A^{+} = \{\langle C_{j},\ \arg\max_{i} s(\tilde{r}_{ij}) \rangle\}_{j=1}^{n},\quad A^{-} = \{\langle C_{j},\ \arg\min_{i} s(\tilde{r}_{ij}) \rangle\}_{j=1}^{n},\quad s(\mu,\nu) = \mu^{2} - \nu^{2};\quad \left|\{\tilde r_{ij}:i\in\arg\max_h s(\tilde r_{hj})\}\right|=\left|\{\tilde r_{ij}:i\in\arg\min_h s(\tilde r_{hj})\}\right|=1

4. Adım 4 — Her alternatifin PF-PIS ve PF-NIS'e ağırlıklı Hamming uzaklığını (μ², ν², π²) bileşenleri üzerinden hesapla; kriter ağırlıkları w_j toplam içinde (Zhang-Xu kanonik).

   $$D(x_i,x^{\pm })=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{w}_j(|{\mu }_{ij}^2-{\mu }_j^{\pm 2}|+|{\nu }_{ij}^2-{\nu }_j^{\pm 2}|+|{\pi }_{ij}^2-{\pi }_j^{\pm 2}|),i=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   D(x_{i}, x^{\pm}) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} w_{j} \Bigl( |\mu_{ij}^{2} - \mu_{j}^{\pm 2}| + |\nu_{ij}^{2} - \nu_{j}^{\pm 2}| + |\pi_{ij}^{2} - \pi_{j}^{\pm 2}| \Bigr),\quad i = 1,\ldots,m

5. Adım 5 — Revize yakınlık indeksi ζ'yi hesapla (Zhang-Xu 2014 Eq.3.10, Hadi-Vencheh & Mirjaberi 2014 kaynaklı). ζ ≤ 0; ζ = 0 yalnızca alternatif aynı anda max D⁻ ve min D⁺'a sahipse. Klasik D⁻/(D⁺+D⁻) yerine kullanılır çünkü o eşzamanlı PIS-yakın / NIS-uzak seçimini garanti etmez.

   $$\zeta (x_i)={\displaystyle \frac{D(x_i,x^{-})}{D_{max}(x_i,x^{-})}}-{\displaystyle \frac{D(x_i,x^{+})}{D_{min}(x_i,x^{+})}},D_{max}(x_i,x^{-})={max}_{k}D(x_k,x^{-}),D_{min}(x_i,x^{+})={min}_{k}D(x_k,x^{+}),{max}_{k}D(x_k,x^{-})>0,{min}_{k}D(x_k,x^{+})>0$$
   LaTeX

   \zeta(x_{i}) = \dfrac{D(x_{i}, x^{-})}{D_{\max}(x_{i}, x^{-})} - \dfrac{D(x_{i}, x^{+})}{D_{\min}(x_{i}, x^{+})},\quad D_{\max}(x_{i}, x^{-}) = \max_{k} D(x_{k}, x^{-}),\ D_{\min}(x_{i}, x^{+}) = \min_{k} D(x_{k}, x^{+}),\quad \max_k D(x_k,x^{-})>0,\quad \min_k D(x_k,x^{+})>0

6. Adım 6 — Alternatifleri ζ azalan sırada sırala. En iyi alternatif maksimum ζ'ye sahip olandır; ζ=0 global optimum yalnızca bir alternatif her iki ideal mesafede de baskınsa elde edilir.

   $$rank(x_i)=1+\sum _{h=1}^m\mathbf{1}\{\zeta (x_h)>\zeta (x_i)\},\text{display in descending }\zeta \text{ order}$$
   LaTeX

   \operatorname{rank}(x_i)=1+\sum_{h=1}^{m}\mathbf{1}\{\zeta(x_h)>\zeta(x_i)\},\quad\text{display in descending }\zeta\text{ order}

Sezgi

Pythagorean outranking/ranking - Pythagorean Fuzzy Number (PFN: μ, ν; μ²+ν² ≤ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: PF-TOPSIS preserves native membership and nonmembership ratings. The score μ²−ν² selects native ideal candidates; real criterion weights enter the PF distances. Final alternatives are ranked by revised closeness ζ = D−/max(D−) − D+/min(D+), not by the ideal-selection score. Both denominators must be strictly positive. Distinct native PFNs sharing an extremal score are rejected until a source-verified comparison convention is available.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TOPSIS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Sonlu bileşenleri [0,1] aralığında ve μ²+ν²≤1 koşulunu sağlayan yerel PFN çiftleri temin ediniz.
• Birim basitlik üzerinde gerçek kriter ağırlıkları kullanın. Bu varyant PFN kriter ağırlıklarını kabul etmez.
• Pozitif ideale sıfır minimum uzaklık veya negatif ideale sıfır maksimum uzaklık, revize yakınlığı tanımsız kılar. Epsilon ikameleri ve klasik yakınlık uygulanmaz.
• İdeal seçim skoru ile son revize yakınlık farklı büyüklüklerdir. Son bulanıklaştırma ayarı uygulanmamıştır.