PF-TODIM - TODIM yönteminin Pythagorean uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Pisagoryan bulanık karar matrisini R=(r_ij)_{m×n} oluştur, r_ij=P(μ_ij,ν_ij), μ_ij²+ν_ij²≤1 kısıtı ile (Ren 2016 Eq.3.3); kriter ağırlık vektörü w=(w_1,...,w_n)ᵀ, Σw_j=1 ve prospekt-teorisi sönümleme faktörü θ>0 (tipik θ∈[1,5]; Tversky-Kahneman varsayılan θ=2.25).

   $$R=(r_{i}j{)}_{m\times n},r_{i}j=P({\mu }_{i}j,{\nu }_{i}j),{\mu }_{i}j²+{\nu }_{i}j²\le 1;w_j\in [0,1],{\Sigma }_{j=1}^n{w}_j=1;\theta >0$$
   LaTeX

   R = (r_ij)_{m×n}, r_ij = P(μ_ij, ν_ij), μ_ij²+ν_ij²≤1; w_j∈[0,1], Σ_{j=1}^n w_j = 1; θ > 0

2. Adım 2 — Maliyet kriterlerinde PFN tümleyenini uygulayarak R'yi normalleştirilmiş PFN matrisi L=(l_ij)_{m×n}'ye dönüştür (Ren 2016 Eq.3.4): yarar kriteri C_j için l_ij=r_ij; maliyet kriteri C_j için l_ij=(r_ij)^c=P(ν_ij,μ_ij).

   $$l_{i}j=r_{i}jif{C}_{j}isbenefit{l}_{i}j=(r_{i}j{)}^c=P({\nu }_{i}j,{\mu }_{i}j)if{C}_{j}iscost$$
   LaTeX

   l_ij = r_ij if C_j is benefit l_ij = (r_ij)^c = P(ν_ij, μ_ij) if C_j is cost

3. Adım 3 — Göreli ağırlıkları w_jr = w_j / w_r olarak hesapla; burada w_r = max_j{w_j} en büyük kriter ağırlığıdır; referans kriterin w_jr=1'dir (Ren 2016 Eq.3.5).

   $$w_{j}r=w_j/w_r,w_r=ma{x}_{j\in 1..n}{w}_j,w_{j}r\in (0,1]$$
   LaTeX

   w_jr = w_j / w_r, w_r = max_{j∈{1..n}} w_j, w_jr ∈ (0,1]

4. Adım 4 — A_i alternatifinin A_t üzerindeki ikili prospekt-teorik egemenliği φ_j(A_i,A_t)'yi C_j kriterine göre hesapla (Ren 2016 Eq.3.6). PFN karşılaştırması l_ij vs l_tj skor-sonra-doğruluk kuralı ile (Def 3.2). Büyüklük PFN Öklid uzaklığı d(l_ij,l_tj) Eq.(3.2) ile. Kazanç: φ_j=√(w_jr·d/Σw_jr). Kayıp (sönümleme θ ile): φ_j=−(1/θ)·√(Σw_jr·d/w_jr). Eşitlik: φ_j=0.

   $$d({\beta }_1,{\beta }_2)=\surd (½·[({\mu }_1²-{\mu }_2²)²+({\nu }_1²-{\nu }_2²)²+({\pi }_1²-{\pi }_2²)²])[Eq\mathrm{.3}\mathrm{.2}]{\phi }_j(A_i,A_t)=+\surd (w_{j}r·d(l_{i}j,l_{t}j)/{\Sigma }_{j=1}^n{w}_{j}r),if{l}_{i}j>l_{t}j(gain)0,if{l}_{i}j=l_{t}j-(1/\theta )·\surd (({\Sigma }_{j=1}^n{w}_{j}r)·d(l_{i}j,l_{t}j)/w_{j}r),if{l}_{i}j<l_{t}j(loss)[Eq\mathrm{.3}\mathrm{.6}]PFNcomparisonrule(Def3.2):l_{i}j>l_{t}j\iff s(l_{i}j)>s(l_{t}j),withscores(\beta )=\mu ²-\nu ²[Eq\mathrm{.2}\mathrm{.6}]andaccuracyh(\beta )=\mu ²+\nu ²[Eq\mathrm{.3}\mathrm{.1}]astie-breaker.$$
   LaTeX

   d(β_1, β_2) = √( ½ · [ (μ_1² − μ_2²)² + (ν_1² − ν_2²)² + (π_1² − π_2²)² ] ) [Eq.3.2] φ_j(A_i, A_t) = { + √( w_jr · d(l_ij, l_tj) / Σ_{j=1}^n w_jr ), if l_ij > l_tj (gain) 0, if l_ij = l_tj − (1/θ) · √( (Σ_{j=1}^n w_jr) · d(l_ij, l_tj) / w_jr ), if l_ij < l_tj (loss) } [Eq.3.6] PFN comparison rule (Def 3.2): l_ij > l_tj ⇔ s(l_ij) > s(l_tj), with score s(β)=μ²−ν² [Eq.2.6] and accuracy h(β)=μ²+ν² [Eq.3.1] as tie-breaker.

5. Adım 5 — A_i'nin A_t üzerindeki genel egemenliği δ(A_i,A_t)'yi kriter-başına egemenlikleri toplayarak hesapla (Ren 2016 Eq.3.8): δ(A_i,A_t)=Σ_{j=1}^n φ_j(A_i,A_t). m×m egemenlik matrisi δ üretir.

   $$\delta (A_i,A_t)={\Sigma }_{j=1}^n{\phi }_j(A_i,A_t),fori,t\in 1,...,m$$
   LaTeX

   δ(A_i, A_t) = Σ_{j=1}^n φ_j(A_i, A_t), for i,t ∈ {1,...,m}

6. Adım 6 — Her alternatif A_i için genel prospekt değeri ξ_i'yi satır-toplam egemenliğin max-min normalleştirmesiyle hesapla (Ren 2016 Eq.3.10): ξ_i=(Σ_t δ(A_i,A_t)−min_i{Σ_t δ})/(max_i{Σ_t δ}−min_i{Σ_t δ}). Her ξ_i ∈ [0,1]; en iyi ξ=1, en kötü ξ=0.

   $${\xi }_i=({\Sigma }_{t=1}^m\delta (A_i,A_t)-mi{n}_i{\Sigma }_{t=1}^m\delta (A_i,A_t))/(ma{x}_i{\Sigma }_{t=1}^m\delta (A_i,A_t)-mi{n}_i{\Sigma }_{t=1}^m\delta (A_i,A_t)),i=1,...,m$$
   LaTeX

   ξ_i = ( Σ_{t=1}^m δ(A_i, A_t) − min_{i} { Σ_{t=1}^m δ(A_i, A_t) } ) / ( max_{i} { Σ_{t=1}^m δ(A_i, A_t) } − min_{i} { Σ_{t=1}^m δ(A_i, A_t) } ), i = 1,...,m

7. Adım 7 — Alternatifleri ξ_i'ye göre azalan sırada sırala. ξ_i ne kadar büyükse A_i o kadar iyidir (Ren 2016 §3.3, Eq.3.10 sonrası cümle).

   $$Ranking:sortalternativesbydescending{\xi }_i;A_{(1)}>A_{(2)}>...>A_{(m)}$$
   LaTeX

   Ranking: sort alternatives by descending ξ_i; A_{(1)} > A_{(2)} > ... > A_{(m)}

Sezgi

Pythagorean outranking/ranking - Pythagorean Fuzzy Number (PFN: μ, ν; μ²+ν² ≤ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: pf-todim extends TODIM to handle Pythagorean uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Pythagorean Fuzzy Number (PFN: μ, ν; μ²+ν² ≤ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ² − ν² before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TODIM directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Assumes: Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin PFN: μ ∈ [0,1], ν ∈ [0,1], μ²+ν² ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ² − ν² kanonik seçimdir.