PF-ELECTRE-II - Grup MCDM için Pisagoryan bulanık ELECTRE-II

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Faz I, Adım 1 — Her DM için crisp ağırlık ϕ_f, DM'ye atanan PFN önem (μ_f, ν_f, π_f)'den Eq.15 ile hesaplanır (Σ_f ϕ_f = 1).

   $${\varphi }_f={\displaystyle \frac{{\mu }_f^2+{\pi }_f^2·({\mu }_f^2/({\mu }_f^2+{\nu }_f^2))}{{\sum }_{g=1}^K[{\mu }_g^2+{\pi }_g^2·({\mu }_g^2/({\mu }_g^2+{\nu }_g^2)\left)\right]}},\sum _{f=1}^K{\varphi }_f=1$$
   LaTeX

   \phi_{f} = \dfrac{\mu_{f}^{2} + \pi_{f}^{2} \cdot \bigl(\mu_{f}^{2} / (\mu_{f}^{2} + \nu_{f}^{2})\bigr)}{\sum_{g=1}^{K} \Bigl[ \mu_{g}^{2} + \pi_{g}^{2} \cdot \bigl(\mu_{g}^{2} / (\mu_{g}^{2} + \nu_{g}^{2})\bigr) \Bigr]},\quad \sum_{f=1}^{K} \phi_{f} = 1

2. Faz I, Adım 2 — DM bazlı PFN matrislerini PFWA operatörü (Eq.16) ile tek bir aggregated PFDM Y'ye birleştir; DM ağırlıkları F1'den ϕ_f.

   $$y_{ij}={\mathrm{P}\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{A}}_{\varphi }({\rho }_{ij}^{(1)},\dots ,{\rho }_{ij}^{(K)})=(\sqrt{1-{\prod }_{f=1}^K(1-({\mu }_{ij}^{(f)}{)}^2{)}^{{\varphi }_f}},\prod _{f=1}^K({\nu }_{ij}^{(f)}{)}^{{\varphi }_f})$$
   LaTeX

   y_{ij} = \mathrm{PFWA}_{\phi}(\rho_{ij}^{(1)},\ldots,\rho_{ij}^{(K)}) = \Bigl( \sqrt{1 - \prod_{f=1}^{K}\bigl(1 - (\mu_{ij}^{(f)})^{2}\bigr)^{\phi_{f}}},\ \prod_{f=1}^{K} (\nu_{ij}^{(f)})^{\phi_{f}} \Bigr)

3. Faz I, Adım 3 — Kriterleri fayda R_B ve maliyet R_N olarak ayır. Y → Ỹ Eq.17 ile normalleştir: fayda olduğu gibi kalır, maliyet için (μ,ν) → (ν,μ). Tüm kriterler fayda ise (R_N = ∅), Ỹ = Y.

   $${\tilde{y}}_{ij}=\{\begin{array}{cc}({\mu }_{ij}^Y,{\nu }_{ij}^Y)\hfill & j\in R_B\text{(benefit)}\hfill \\ ({\nu }_{ij}^Y,{\mu }_{ij}^Y)\hfill & j\in R_N\text{(cost)}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \tilde{y}_{ij} = \begin{cases} (\mu_{ij}^{Y}, \nu_{ij}^{Y}) & j \in R_{B}\ \text{(benefit)} \\ (\nu_{ij}^{Y}, \mu_{ij}^{Y}) & j \in R_{N}\ \text{(cost)} \end{cases}

4. Faz I, Adım 4 — Her kriter için DM-bazlı PFN ağırlıkları Eq.18 ile aggregate et (PFWA-style); ardından Eq.19 ile skalar η_j'ye normalize et (Σ_j η_j = 1).

   $${\omega }_j^{PFN}={\mathrm{P}\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{A}}_{\varphi }({\omega }_j^{(1)},\dots ,{\omega }_j^{(K)})\text{(Eq.18)};{\eta }_j={\displaystyle \frac{{\mu }_{{\omega }_j}^2+{\pi }_{{\omega }_j}^2({\mu }_{{\omega }_j}^2/({\mu }_{{\omega }_j}^2+{\nu }_{{\omega }_j}^2))}{{\sum }_{k=1}^n[{\mu }_{{\omega }_k}^2+{\pi }_{{\omega }_k}^2({\mu }_{{\omega }_k}^2/({\mu }_{{\omega }_k}^2+{\nu }_{{\omega }_k}^2))]}}\text{(Eq.19)},\sum _{j=1}^n{\eta }_j=1$$
   LaTeX

   \omega_{j}^{PFN} = \mathrm{PFWA}_{\phi}(\omega_{j}^{(1)},\ldots,\omega_{j}^{(K)})\ \text{(Eq.18)};\quad \eta_{j} = \dfrac{\mu_{\omega_{j}}^{2} + \pi_{\omega_{j}}^{2}\bigl(\mu_{\omega_{j}}^{2}/(\mu_{\omega_{j}}^{2}+\nu_{\omega_{j}}^{2})\bigr)}{\sum_{k=1}^{n}\bigl[\mu_{\omega_{k}}^{2} + \pi_{\omega_{k}}^{2}(\mu_{\omega_{k}}^{2}/(\mu_{\omega_{k}}^{2}+\nu_{\omega_{k}}^{2}))\bigr]}\ \text{(Eq.19)},\quad \sum_{j=1}^{n}\eta_{j} = 1

5. Faz I, Adım 5 — η_j skalarını her Ỹ hücresine PFN scalar-power operatörü (Def 2 op 2) ile uygula; Y* = ağırlıklı normalleştirilmiş aggregated PFDM (Eq.20).

   $$y_{ij}^{*}={\eta }_j\otimes {\tilde{y}}_{ij}=(\sqrt{1-(1-{\tilde{\mu }}_{ij}^2{)}^{{\eta }_j}},{\tilde{\nu }}_{ij}^{{\eta }_j})$$
   LaTeX

   y^{*}_{ij} = \eta_{j} \otimes \tilde{y}_{ij} = \Bigl( \sqrt{1 - \bigl(1 - \tilde{\mu}_{ij}^{2}\bigr)^{\eta_{j}}},\ \tilde{\nu}_{ij}^{\,\eta_{j}} \Bigr)

6. Faz II, Adım 6 — Her (a,b) sıralı ikilisi için üç PF concordance alt-kümesi BΨ/BΨ'/BΨ'' (Eqs.1-3), indifferent küme B= (Eq.4) ve üç PF discordance alt-kümesi BΔ/BΔ'/BΔ'' (Eqs.5-7) kur.

   $$B_{\Psi }(a,b)=\{j:{\mu }_{aj}^2>{\mu }_{bj}^2\wedge {\nu }_{aj}^2<{\nu }_{bj}^2\};B_{{\Psi }^{\prime }}(a,b)=\{j:s(y_{aj}^{*})>s(y_{bj}^{*}),\text{strict on score, weak on accuracy}\};B_{{\Psi }^{″}}(a,b)=\{j:\text{component-wise reverse but score still favors }a\};B_{=}(a,b)=\{j:s(y_{aj}^{*})=s(y_{bj}^{*})\wedge \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}(y_{aj}^{*})=\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}(y_{bj}^{*})\};B_{\Delta },B_{{\Delta }^{\prime }},B_{{\Delta }^{″}}\text{mirror on opposing criteria.}$$
   LaTeX

   B_{\Psi}(a,b) = \{j: \mu_{aj}^{2} > \mu_{bj}^{2}\ \wedge\ \nu_{aj}^{2} < \nu_{bj}^{2}\};\ B_{\Psi'}(a,b) = \{j: s(y^{*}_{aj}) > s(y^{*}_{bj}),\ \text{strict on score, weak on accuracy}\};\ B_{\Psi''}(a,b) = \{j: \text{component-wise reverse but score still favors }a\};\ B_{=}(a,b) = \{j: s(y^{*}_{aj}) = s(y^{*}_{bj})\ \wedge\ \mathrm{acc}(y^{*}_{aj}) = \mathrm{acc}(y^{*}_{bj})\};\ B_{\Delta},B_{\Delta'},B_{\Delta''}\ \text{mirror on opposing criteria.}

7. Faz II, Adım 7 — Her (a,b) için PF concordance indeksi ψ_ab'yi Eq.8 ile hesapla: BΨ/BΨ'/BΨ''/B= üzerinde η_j'lerin küme-bazlı ağırlıklı toplamı.

   $${\psi }_{ab}={\omega }_{B_{\Psi }}\sum _{j\in B_{\Psi }(a,b)}{\eta }_j+{\omega }_{B_{{\Psi }^{\prime }}}\sum _{j\in B_{{\Psi }^{\prime }}(a,b)}{\eta }_j+{\omega }_{B_{{\Psi }^{″}}}\sum _{j\in B_{{\Psi }^{″}}(a,b)}{\eta }_j+{\omega }_{B_{=}}\sum _{j\in B_{=}(a,b)}{\eta }_j$$
   LaTeX

   \psi_{ab} = \omega_{B_{\Psi}}\!\!\sum_{j \in B_{\Psi}(a,b)}\!\eta_{j}\ +\ \omega_{B_{\Psi'}}\!\!\sum_{j \in B_{\Psi'}(a,b)}\!\eta_{j}\ +\ \omega_{B_{\Psi''}}\!\!\sum_{j \in B_{\Psi''}(a,b)}\!\eta_{j}\ +\ \omega_{B_{=}}\!\!\sum_{j \in B_{=}(a,b)}\!\eta_{j}

8. Faz II, Adım 8 — Eq.9 ile PF discordance indeksi δ_ab'yi hesapla: discordance partisyonlarındaki ağırlıklı maksimum normalized Euclidean uzaklığın (Eq.10), tüm j üzerindeki maksimum uzaklığa oranı.

   $${\delta }_{ab}={\displaystyle \frac{max({\omega }_{B_{\Delta }}{max}_{j\in B_{\Delta }}d(y_{aj}^{*},y_{bj}^{*}),{\omega }_{B_{{\Delta }^{\prime }}}{max}_{j\in B_{{\Delta }^{\prime }}}d(·),{\omega }_{B_{{\Delta }^{″}}}{max}_{j\in B_{{\Delta }^{″}}}d(·))}{{max}_{j\in \{1,\dots ,n\}}d(y_{aj}^{*},y_{bj}^{*})}},d({\rho }_1,{\rho }_2)=\sqrt{\frac{1}{2}[({\mu }_1^2-{\mu }_2^2{)}^2+({\nu }_1^2-{\nu }_2^2{)}^2+({\pi }_1^2-{\pi }_2^2{)}^2]}$$
   LaTeX

   \delta_{ab} = \dfrac{\max\!\Bigl( \omega_{B_{\Delta}}\!\max_{j \in B_{\Delta}}\!d(y^{*}_{aj},y^{*}_{bj}),\ \omega_{B_{\Delta'}}\!\max_{j \in B_{\Delta'}}\!d(\cdot),\ \omega_{B_{\Delta''}}\!\max_{j \in B_{\Delta''}}\!d(\cdot) \Bigr)}{\max_{j \in \{1,\ldots,n\}}\! d(y^{*}_{aj}, y^{*}_{bj})},\quad d(\rho_{1},\rho_{2}) = \sqrt{\tfrac{1}{2}\!\bigl[(\mu_{1}^{2}-\mu_{2}^{2})^{2}+(\nu_{1}^{2}-\nu_{2}^{2})^{2}+(\pi_{1}^{2}-\pi_{2}^{2})^{2}\bigr]}

9. Faz II, Adım 9 — ψ_ab/δ_ab değerlerini eşik merdivenleriyle karşılaştırarak güçlü O_s ve zayıf O_w outranking ilişkilerini kur. Güçlü (Eq.11): (ψ≥ψ* ∧ δ≤δ*) ∨ (ψ≥ψ⁰ ∧ δ≤δ⁰). Zayıf (Eq.12): (ψ≥ψ⁻ ∧ δ≤δ⁰).

   $$a{O}_{s}b⟺({\psi }_{ab}\ge {\psi }^{*}\wedge {\delta }_{ab}\le {\delta }^{*})\vee ({\psi }_{ab}\ge {\psi }^0\wedge {\delta }_{ab}\le {\delta }^0);a{O}_{w}b⟺({\psi }_{ab}\ge {\psi }^{-}\wedge {\delta }_{ab}\le {\delta }^0)\wedge \neg (a{O}_{s}b)$$
   LaTeX

   a\,O_{s}\,b\iff \bigl(\psi_{ab}\geq \psi^{*}\ \wedge\ \delta_{ab}\leq \delta^{*}\bigr)\ \vee\ \bigl(\psi_{ab}\geq \psi^{0}\ \wedge\ \delta_{ab}\leq \delta^{0}\bigr);\quad a\,O_{w}\,b\iff \bigl(\psi_{ab}\geq \psi^{-}\ \wedge\ \delta_{ab}\leq \delta^{0}\bigr)\ \wedge\ \neg(a\,O_{s}\,b)

10. Faz II, Adım 10 — Güçlü G_s ve zayıf G_w outranking grafiklerini çiz. İteratif ELECTRE-II distillation: (a) FORWARD φ' — G_s'te girişi olmayan tepe; sonra G_w'nin o kümeye kısıtlanmış altgrafında girişi olmayanlar = bir sonraki sıra; çıkar, tekrarla. (b) REVERSE φ'' — ayna görüntüsünde aynı prosedür, sonra Eq.13 ile pozisyon ters çevir. (c) AVERAGE φ = (φ' + φ'')/2 (Eq.14); kalan eşitlikler stabil kırılır.

    $${\varphi }^{\prime }:\text{forward distillation on }{G}_s,G_w;{\varphi }^{″}(a)=m+1-{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}}(a)\text{(Eq.13)};\varphi (a)={\displaystyle \frac{{\varphi }^{\prime }(a)+{\varphi }^{″}(a)}{2}}\text{(Eq.14)};\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(a)={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}_{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{c}}(\varphi (a))$$
    LaTeX

    \phi'\!: \text{forward distillation on } G_{s},G_{w};\quad \phi''(a) = m + 1 - \mathrm{rank}_{\mathrm{mirror}}(a)\ \text{(Eq.13)};\quad \phi(a) = \dfrac{\phi'(a) + \phi''(a)}{2}\ \text{(Eq.14)};\quad \mathrm{rank}(a) = \mathrm{argsort}_{\mathrm{asc}}\!\bigl(\phi(a)\bigr)

Sezgi

PF-ELECTRE-II'yi şu soruyla düşün: 'Bir grup uzmanın PFN (Pisagoryan bulanık) değerlendirmeleri verildiğinde, hangi alternatif diğer her alternatife karşı yeterince fazla kriterde yeterince güçlü destek görüyor ve aynı zamanda yıkıcı bir muhalefetle karşılaşmıyor?' Yöntem önce iki fazda PFN matrislerini birleştirir (PFWA), sonra her alternatif çifti için 'lehte kriterler' (concordance) ve 'aleyhte kriterler' (discordance) kümelerini üç katmanda (güçlü / orta / zayıf) parçalar; bu kümeler üzerinden ψ ve δ skalarları hesaplanır; ψ yeterince yüksek ve δ yeterince düşükse a → b 'güçlü dışlama' veya 'zayıf dışlama' ilişkisi kurulur; son olarak güçlü ve zayıf grafiklerin ileri/geri/ortalama distillation'ı sıralamayı verir.

Sonucu okuma: PF-ELECTRE-II takes a per-DM stack of Pythagorean fuzzy decision matrices plus per-DM PFN importance and per-criterion per-DM PFN weights, aggregates them in Phase I via PFWA, and then in Phase II constructs three-tier concordance/discordance sets, the concordance/discordance indices ψ and δ, strong and weak outranking relations, and finally a forward/reverse/average distillation of the strong+weak outranking graph to produce a ranking. Smaller φ(a) is a better rank.

Varsayımlar

• All per-DM cells are valid PFNs (μ²+ν²≤1)
• DM importance is available as PFN linguistic ratings (or crisp ϕ override is provided)
• Criteria are independent (additive outranking assumption)
• Threshold ladders are strictly monotone (E-3, E-4)

Ne zaman kullanılmaz

• Pure crisp deterministic data with single DM - use ELECTRE-II directly
• IFS-only data (μ+ν ≤ 1) - IFS-ELECTRE-II Devadoss-Rekha 2017 is the matching method
• Very large alternative sets (m > 25) - graph distillation becomes opaque
• Strongly interactive criteria - outranking assumes additive criterion independence

Sınırlılıklar

• Seven parameters to tune: 3 concordance thresholds + 2 discordance thresholds + 4 concordance set weights + 3 discordance set weights - DM elicitation overhead
• Iterative distillation can produce non-unique rankings under near-symmetric Os/Ow graphs
• Eq.10 normalized Euclidean distance fixes the metric - alternative metrics (Hamming, χ²) require manifest extension
• Rank reversal inherited from ELECTRE-II family (Roy & Bertier 1973, Figueira-Mousseau-Roy 2005 §4.3)
• Block J full §5 reproduction requires image-fidelity table OCR (PARTIAL stamp)

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm DM-bazlı ve aggregated hücrelerin PFN: μ ∈ [0,1], ν ∈ [0,1], μ²+ν² ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Eşik merdiveni ihlali: 0 < ψ⁻ < ψ⁰ < ψ* < 1 ve 1 > δ⁰ > δ* > 0 sıkı uygulanmalı; düz merdiven üç-katmanlı semantiği bozar.
• Küme-ağırlığı dejenerasyonu: tüm ωBΨ'/ωBΨ''/ωB= ve ωBΔ'/ωBΔ'' = 1.0 olursa Eq.8/Eq.9, Devadoss-Rekha 2017 IFS-ELECTRE-II formuna çöker; paper §5 (1, 2/3, 1/3, 1/4) ve (1, 3/4, 2/4) ile dereceli katkı sağlar.