PF-COPRAS - COPRAS yönteminin Pythagorean uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Toplu Pythagorean bulanık karar matrisi N = (μ_ij, ν_ij), μ²+ν²≤1 ile alın. Tek-DM çekirdek, PFWA grup-aggregasyonunu (Eq.9) atlar.

   $$Input:N\in PF{N}^{m\times n},w\in {\Delta }^{n-1},criteri{a}_{t}ypes\in {benefit,cost}^n.Constraint:\mu {²}_{i}j+\nu {²}_{i}j\le 1\forall (i,j).$$
   LaTeX

   Input: N ∈ PFN^{m×n}, w ∈ Δ^{n-1}, criteria_types ∈ {benefit,cost}^n. Constraint: μ²_ij + ν²_ij ≤ 1 ∀(i,j).

2. Adım 2 — ÇİFTLİ normalleştirme yolu (journal-as-published Thakur 2022 replikasyonu). İki normalize matris üretilir ve farklı alt-dallara beslenir: (a) N'_swap (Eq.10 literal): fayda j için (μ,ν) korunur, maliyet j için (ν,μ) ile değişir — BENEFIT-INDEX h(U_i) yolunu besler (Tablo 10 h(d_ij) + Tablo 11 h(U_i) ≤1e-4); (b) N_orig (swap yok, orijinal N): maliyet sütunları (μ,ν) korunur — COST-INDEX h(Y_i) yolunu besler (Tablo 11 h(Y_i) ≤1e-5). Çiftli yol paper'ın gerçek hesap pratiği; tek-N tek-tip Eq.10 swap'i paper'ın yayımladığı h(Y_i) değerleriyle çelişir.

   $$\begin{gathered} \text{Pathway (a) for }h(U_i):n_{ij}^{\prime }=({\mu }_{ij},{\nu }_{ij})\text{ if }j\in B;n_{ij}^{\prime }=({\nu }_{ij},{\mu }_{ij})\text{ if }j\in NB.\text{[Eq.10, literal — feeds benefit-index]} \\ \text{Pathway (b) for }h(Y_i):n_{ij}=({\mu }_{ij},{\nu }_{ij})\forall j\in NB.\text{[paper's actual cost-branch usage; Eq.10 swap NOT applied]} \end{gathered}$$
   LaTeX

   \text{Pathway (a) for } h(U_i): \quad n'_{ij} = (\mu_{ij}, \nu_{ij}) \text{ if } j \in B; \; n'_{ij} = (\nu_{ij}, \mu_{ij}) \text{ if } j \in NB. \quad \text{[Eq.10, literal — feeds benefit-index]} \\ \text{Pathway (b) for } h(Y_i): \quad n_{ij} = (\mu_{ij}, \nu_{ij}) \; \forall j \in NB. \quad \text{[paper's actual cost-branch usage; Eq.10 swap NOT applied]}

3. Adım 3 — Ağırlıklı karar matrisi D = (d_ij). w_j entropy-türevli (Eq.11) ya da harici olabilir. PFN skalar-çarpım: d_ij = w_j ⊙ n_ij.

   $$d_{i}j=w_j\odot n_{i}j=(\surd (1-(1-\mu {²}_{i}j{)}^{w_j}),{\nu }_i{j}^{w_j}).[Thakur2022StepVIIformula]$$
   LaTeX

   d_ij = w_j ⊙ n_ij = (√(1 − (1 − μ²_ij)^{w_j}), ν_ij^{w_j}). [Thakur 2022 Step VII formula]

4. Adım 4 — Skor fonksiyonu h(d_ij) = μ²(d_ij) − ν²(d_ij) (Eq.12). Her ağırlıklı PFN'i reel-değerli skora dönüştürür.

   $$h(d_{i}j)=\mu ²(d_{i}j)-\nu ²(d_{i}j).[Eq.12]$$
   LaTeX

   h(d_ij) = μ²(d_ij) − ν²(d_ij). [Eq. 12]

5. Adım 5 — ORTALAMA Maks/Min indeksleri (Eqs.13-14, çiftli yol journal-as-published replikasyon). h(U_i) benefit sütun j∈B üzerinden h(d_ij^swap) ortalaması (F2 yol (a), Eq.10-swapped N'); h(Y_i) cost sütun j∈NB üzerinden h(d_ij^noswap) ortalaması (F2 yol (b), swap'sız orijinal N). Paper Eqs.13-14 metni iki dal için tek h(d_ij) yazar; çiftli refinement Tablo 11 reproduce için zorunlu.

   $$\begin{gathered} h(U_i)=\frac{1}{|B|}\sum _{j\in B}h(d_{ij}^{\text{swap}})[\text{Eq.13, pathway (a) F2 N'\_swap}] \\ h(Y_i)=\frac{1}{|NB|}\sum _{j\in NB}h(d_{ij}^{\text{noswap}})[\text{Eq.14, pathway (b) F2 N\_orig}] \end{gathered}$$
   LaTeX

   h(U_i) = \frac{1}{|B|} \sum_{j \in B} h(d_{ij}^{\text{swap}}) \quad [\text{Eq.13, pathway (a) F2 N'_swap}] \\ h(Y_i) = \frac{1}{|NB|} \sum_{j \in NB} h(d_{ij}^{\text{noswap}}) \quad [\text{Eq.14, pathway (b) F2 N_orig}]

6. Adım 6 — Eksponansiyel-ağırlıklı göreli önem (Eq.15): S_i = h(U_i) + (Σ_k e^{h(Y_k)}) / (e^{h(Y_i)}·Σ_k 1/e^{h(Y_k)}). NB ≠ ∅ gerekir.

   $$S_i=h(U_i)+({\Sigma }_k{e}^{h(Y_k)})/(e^{h(Y_i)}·{\Sigma }_k(1/e^{h(Y_k)}))[Eq.15]$$
   LaTeX

   S_i = h(U_i) + (Σ_k e^{h(Y_k)}) / (e^{h(Y_i)} · Σ_k (1/e^{h(Y_k)})) [Eq. 15]

7. Adım 7 — Öncelik sırası T_i = S_i / max_k S_k × 100 (Eq.16). NOT: S_i negatif değerli olduğunda (PFN'lerde ν>μ için tipik), max(S) en az negatiftir; T_i ≥ 100 ve daha yüksek T daha iyi alternatif gösterir. T'ye göre azalan sıralama.

   $$T_i=S_i/ma{x}_k{S}_k\times 100[Eq.16];rank=argsor{t}_{d}esc(T)$$
   LaTeX

   T_i = S_i / max_k S_k × 100 [Eq. 16]; rank = argsort_desc(T)

Sezgi

Pythagorean outranking/ranking - Pythagorean Fuzzy Number (PFN: μ, ν; μ²+ν² ≤ 1). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: pf-copras extends COPRAS to handle Pythagorean uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Pythagorean Fuzzy Number (PFN: μ, ν; μ²+ν² ≤ 1) algebra. The final scores are defuzzified via score function S = μ² − ν² before ranking.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base COPRAS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Pythagorean Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin PFN: μ ∈ [0,1], ν ∈ [0,1], μ²+ν² ≤ 1 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: score function S = μ² − ν² kanonik seçimdir.