PCA Ağırlıklandırması - Temel Bileşen Analizine Dayalı Nesnel Ağırlıklandırma

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her kriter sütunu ortalaması ve ÖRNEKLEM standart sapması s_j (bölen m − 1) ile standartlaştırılmaktadır: z_ij = (x_ij − x̄_j) / s_j.

   $$z_{ij}=\frac{x_{ij}-{\overline{x}}_j}{s_j},s_j=\sqrt{\frac{1}{m-1}{\sum }_i(x_{ij}-{\overline{x}}_j{)}^2}$$
   LaTeX

   z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{s_j},\quad s_j=\sqrt{\tfrac{1}{m-1}\sum_{i}(x_{ij}-\bar{x}_j)^2}

2. Adım 2 — Korelasyon matrisi R = Zᵀ Z / (m − 1) (Adım 1 aynı m − 1 bölenini kullandığından birim köşegenli) ve özayrışımı R v_k = λ_k v_k; özdeğerler azalan sırada dizilmektedir.

   $$R=\frac{Z^{\top }Z}{m-1}=[corr(x_j,x_l)];R{v}_k={\lambda }_k{v}_k,{\lambda }_1\ge \dots \ge {\lambda }_n$$
   LaTeX

   R=\frac{Z^{\top}Z}{m-1}=\big[\operatorname{corr}(x_j,x_l)\big];\quad R\,v_k = \lambda_k\,v_k,\ \lambda_1\ge\dots\ge\lambda_n

3. Adım 3 — q bileşen tutulmaktadır: varsayılan olarak korelasyon matrisi R'nin özdeğerlerine uygulanan Kaiser (1960) kuralı λ_k ≥ 1; n_components verildiğinde en büyük q bileşen. j kriteri, özdeğer payıyla ağırlıklandırılmış kare yükleriyle ağırlıklandırılmaktadır: w_j ∝ Σ_{k≤q} (λ_k/Σλ) · v_kj², Σ w_j = 1 olacak biçimde normalize edilmektedir.

   $$q=|\{k:{\lambda }_k\ge 1\}|\text{(Kaiser, default)};w_j=\frac{{\sum }_{k=1}^q\frac{{\lambda }_k}{{\sum }_l{\lambda }_l}{v}_{kj}^2}{{\sum }_{j^{\prime }}{\sum }_{k=1}^q\frac{{\lambda }_k}{{\sum }_l{\lambda }_l}{v}_{k{j}^{\prime }}^2}$$
   LaTeX

   q=\big|\{k:\lambda_k\ge 1\}\big|\ \text{(Kaiser, default)};\quad w_j = \frac{\sum_{k=1}^{q}\frac{\lambda_k}{\sum_l\lambda_l}v_{kj}^2}{\sum_{j'}\sum_{k=1}^{q}\frac{\lambda_k}{\sum_l\lambda_l}v_{kj'}^2}

Sezgi

Weight_Objective (PCA variance explained, eigenvector-based). Output typically weight (higher value = preferred).

Sonucu okuma: PCA weighting extracts weights from the structure of the data itself - criteria that explain more variance (are less redundant) get higher weight. Requires m ≥ n for a non-singular covariance matrix. Results can be sensitive to dataset changes (new alternatives shift weights).

Varsayımlar

• Decision matrix exists with measurable criteria
• Sufficient inter-alternative variation per criterion

Ne zaman kullanılmaz

• No data variation (constant criterion) → weight degenerates
• Expert judgment is the actual driver → use subjective weighting

Sınırlılıklar

• Assumes: Decision matrix exists with measurable criteria
• Assumes: Sufficient inter-alternative variation per criterion

Sık yapılan hatalar

• Tekil kovaryans matrisi (m < n veya mükemmel korelasyonlu kriterler): öz değer ayrışımı başarısız olur.