MPF-PROMETHEE - AHP'den türetilen çözük ağırlıklar, altı Brans-Vincke genelleştirilmiş kriter tercih fonksiyonu ve pozitif/negatif/net üstünlük akışları ile PROMETHEE I/II'nin m-Kutuplu Bulanık (m-PF) uzantısı (Akram, Shumaiza ve Alcantud 2020 / Akram ve Adeel 2023 Bölüm 7)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1a — s adet bağımsız m-PF uzman karar matrisi T^{(ψ)} = [t_{φϕ}^{(ψ)}]_{l×n}, ψ=1,…,s oluştur; her t_{φϕ}^{(ψ)} = (p_1◦ζ_{φϕ}^{(ψ)}, p_2◦ζ_{φϕ}^{(ψ)}, …, p_m◦ζ_{φϕ}^{(ψ)}) girişi, uzman ψ'nin R_φ alternatifinin Q_ϕ kriteri üzerindeki m-kutuplu değerlendirmesidir.

   $$T^{(\psi )}=[t_{\phi \varphi }^{(\psi )}{]}_{l\times n},t_{\phi \varphi }^{(\psi )}=(p_1\circ {\zeta }_{\phi \varphi }^{(\psi )},\dots ,p_m\circ {\zeta }_{\phi \varphi }^{(\psi )}),\psi =1,\dots ,s$$
   LaTeX

   T^{(\psi)}=\bigl[t_{\varphi\phi}^{(\psi)}\bigr]_{l\times n},\;\; t_{\varphi\phi}^{(\psi)}=\bigl(p_{1}\!\circ\!\zeta_{\varphi\phi}^{(\psi)},\,\ldots,\,p_{m}\!\circ\!\zeta_{\varphi\phi}^{(\psi)}\bigr),\;\;\psi=1,\ldots,s

2. Adım 1b — s uzman matrisini, basit ortalama operatörü (Denklem 7.13 / Denklem 13) ile tek bir m-PF karar matrisi T = [t_{φϕ}]_{l×n}'da birleştir: her i kutbu için p_i◦ζ_{φϕ} = (1/s) Σ_{ψ=1}^{s} p_i◦ζ_{φϕ}^{(ψ)}. Örnek olay s=2 uzmanla tekdüze 1/s ağırlıkları kullanır (yani aritmetik ortalama), ancak ortalama, 1/s'yi α_ψ ile değiştirip Σ_ψ α_ψ=1 koşulu altında tekdüze olmayan KV ağırlıklarına doğal olarak genişletilebilir.

   $$p_i\circ {\zeta }_{\phi \varphi }={\displaystyle \frac{1}{s}}\sum _{\psi =1}^s{p}_i\circ {\zeta }_{\phi \varphi }^{(\psi )},i=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   p_{i}\!\circ\!\zeta_{\varphi\phi}\;=\;\dfrac{1}{s}\sum_{\psi=1}^{s} p_{i}\!\circ\!\zeta_{\varphi\phi}^{(\psi)},\quad i=1,\ldots,m

3. Adım 2 — Aggregat edilen T'nin her hücresine m-PF skor fonksiyonunu uygulayarak çözük skor matrisi S = [ŝ_{φϕ}]_{l×n}'i kur: ŝ_{φϕ} = (1/m) Σ_{i=1}^{m} p_i◦ζ_{φϕ} ∈ [0,1]. Bu, m-kutuplu vektörü, sonraki çözük PROMETHEE boru hattına uygun tek bir skaler temsilciye sıkıştırır.

   $${\widehat{s}}_{\phi \varphi }={\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^m{p}_i\circ {\zeta }_{\phi \varphi }$$
   LaTeX

   \hat{s}_{\varphi\phi}\;=\;\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} p_{i}\!\circ\!\zeta_{\varphi\phi}

4. Adım 3 — Her sıralı alternatif çifti (R_φ, R_σ), φ≠σ ve her kriter Q_ϕ için çift-bazlı sapmayı hesapla: d_ϕ(R_φ, R_σ) = ŝ_ϕ(R_φ) − ŝ_ϕ(R_σ). Sapma, Adım 4'teki her genelleştirilmiş tercih fonksiyonunun temel girdisidir.

   $$d_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma })={\widehat{s}}_{\varphi }(R_{\phi })-{\widehat{s}}_{\varphi }(R_{\sigma }),\phi ,\sigma =1,\dots ,l,\phi \ne \sigma$$
   LaTeX

   d_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma})\;=\;\hat{s}_{\phi}(R_{\varphi})-\hat{s}_{\phi}(R_{\sigma}),\quad \varphi,\sigma=1,\ldots,l,\;\varphi\neq\sigma

5. Adım 4 — Her çift için kriter-başı tercih fonksiyonu P_ϕ(R_φ, R_σ) = F_ϕ[d_ϕ(R_φ, R_σ)]'yu hesapla; F_ϕ, altı Brans–Vincke genelleştirilmiş kriterden biridir (Tanım 3–8 / Denklem 2–7): Tip I olağan (0/1 basamak), Tip II yarı-kriter (eşik k), Tip III doğrusal (q), Tip IV seviye (l, m; 0/½/1 basamak), Tip V ilgisizlik-aralıklı doğrusal (u, v), Tip VI Gauss (σ). Minimize edilecek kriterler için, F_ϕ'ye geçirilmeden önce sapma negatiflenir (Denklem 7.17). Tüm tercihler 0 ≤ P_ϕ(R_φ, R_σ) ≤ 1 ve P_ϕ(R_φ, R_σ) > 0 ⇒ P_ϕ(R_σ, R_φ) = 0 sağlar.

   $$P_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma })=F_{\varphi }[d_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma })];\text{Type I: }F(x)=\mathbf{1}[x>0];\text{II: }F(x)=\mathbf{1}[x>k];\text{III: }F(x)=min(x/q,1)\mathbf{1}[x>0];\text{IV: }F(x)=\{0,\frac{1}{2},1\}\text{ for }x\le l,l<x\le l+m,x>l+m;\text{V: }F(x)=\{0,(x-u)/v,1\}\text{ for }x\le u,u<x\le u+v,x>u+v;\text{VI: }F(x)=(1-e^{-x^2/2{\sigma }^2})\mathbf{1}[x>0];\text{minimised criteria: }{P}_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma })=F_{\varphi }[-d_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma })]$$
   LaTeX

   P_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma})\;=\;F_{\phi}\!\bigl[d_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma})\bigr];\quad\text{Type I: }F(x)=\mathbf{1}[x>0];\;\;\text{II: }F(x)=\mathbf{1}[x>k];\;\;\text{III: }F(x)=\min(x/q,1)\,\mathbf{1}[x>0];\;\;\text{IV: }F(x)=\{0,\tfrac12,1\}\text{ for }x\le l,\,l<x\le l+m,\,x>l+m;\;\;\text{V: }F(x)=\{0,(x-u)/v,1\}\text{ for }x\le u,\,u<x\le u+v,\,x>u+v;\;\;\text{VI: }F(x)=\bigl(1-e^{-x^{2}/2\sigma^{2}}\bigr)\mathbf{1}[x>0];\;\;\text{minimised criteria: }P_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma})=F_{\phi}\!\bigl[-d_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma})\bigr]

6. Adım 5 — AHP'den türetilen (veya başka şekilde dışarıdan sağlanan) normalize kriter ağırlıkları w(ϕ) ile kriter-başı tercihlerin ağırlıklı ortalaması olarak çoklu-kriter tercih indeksini (MCPI) Π(R_φ, R_σ) hesapla: Π(R_φ, R_σ) = Σ_{ϕ=1}^{n} w(ϕ) P_ϕ(R_φ, R_σ) (Σ w(ϕ)=1 olduğundan Denklem 18'deki payda kaybolur). Π ∈ [0,1]: Π≈0 ⇒ zayıf küresel tercih, Π≈1 ⇒ güçlü küresel tercih. Π, alternatiflerin köşeler olduğu üstünlük grafiğinin yay ağırlığıdır.

   $$\Pi (R_{\phi },R_{\sigma })=\sum _{\varphi =1}^{n}w(\varphi )P_{\varphi }(R_{\phi },R_{\sigma }),\sum _{\varphi =1}^{n}w(\varphi )=1,\phi \ne \sigma$$
   LaTeX

   \Pi(R_{\varphi},R_{\sigma})\;=\;\sum_{\phi=1}^{n} w(\phi)\,P_{\phi}(R_{\varphi},R_{\sigma}),\quad \sum_{\phi=1}^{n} w(\phi)=1,\;\;\varphi\neq\sigma

7. Adım 6a — PROMETHEE I kısmi ön-sıra. Pozitif (dışa giden/ayrılan) üstünlük akışı χ^+(R_φ) = (1/(l−1)) Σ_{σ≠φ} Π(R_φ, R_σ) ve negatif (içe gelen/giren) üstünlük akışı χ^-(R_φ) = (1/(l−1)) Σ_{σ≠φ} Π(R_σ, R_φ) hesapla. χ^+, R_φ'nin diğerlerine hâkimiyetini ölçer; χ^-, R_φ'nin ne kadar hâkim olunduğunu ölçer. İki ön-sıra türet: P^+/I^+ (χ^+: > / =) ve P^-/I^- (χ^-: < / =). Kesişimleri PROMETHEE I kısmi ön-sırasını (P̂, Î, R̂) üretir (Denklem 24): χ^+(R_φ) > χ^+(R_σ) VE χ^-(R_φ) ≤ χ^-(R_σ) (en az biri kesin) ise R_φ P̂ R_σ; ikisi de eşitse R_φ Î R_σ; aksi takdirde R_φ R̂ R_σ (karşılaştırılamaz).

   $${\chi }^{+}(R_{\phi })={\displaystyle \frac{1}{l-1}}\sum _{\sigma \ne \phi }\Pi (R_{\phi },R_{\sigma });{\chi }^{-}(R_{\phi })={\displaystyle \frac{1}{l-1}}\sum _{\sigma \ne \phi }\Pi (R_{\sigma },R_{\phi });R_{\phi }\widehat{P}{R}_{\sigma }:R_{\phi }{P}^{+}{R}_{\sigma }\wedge R_{\phi }(P^{-}\vee I^{-})R_{\sigma }\vee R_{\phi }{I}^{+}{R}_{\sigma }\wedge R_{\phi }{P}^{-}{R}_{\sigma };R_{\phi }\widehat{I}{R}_{\sigma }:R_{\phi }{I}^{+}{R}_{\sigma }\wedge R_{\phi }{I}^{-}{R}_{\sigma };R_{\phi }\widehat{R}{R}_{\sigma }:\text{otherwise}$$
   LaTeX

   \chi^{+}(R_{\varphi})\;=\;\dfrac{1}{l-1}\!\!\sum_{\sigma\neq\varphi}\!\!\Pi(R_{\varphi},R_{\sigma});\;\; \chi^{-}(R_{\varphi})\;=\;\dfrac{1}{l-1}\!\!\sum_{\sigma\neq\varphi}\!\!\Pi(R_{\sigma},R_{\varphi});\;\; R_{\varphi}\hat{P}R_{\sigma}\!:\,R_{\varphi}P^{+}R_{\sigma}\wedge R_{\varphi}(P^{-}\!\vee\!I^{-})R_{\sigma}\;\vee\; R_{\varphi}I^{+}R_{\sigma}\wedge R_{\varphi}P^{-}R_{\sigma};\;\; R_{\varphi}\hat{I}R_{\sigma}\!:\,R_{\varphi}I^{+}R_{\sigma}\wedge R_{\varphi}I^{-}R_{\sigma};\;\; R_{\varphi}\hat{R}R_{\sigma}\!:\text{otherwise}

8. Adım 6b — PROMETHEE II tam sıralama. Net üstünlük akışını χ(R_φ) = χ^+(R_φ) − χ^-(R_φ) hesapla. χ ∈ [−1, 1]: χ>0 ⇒ R_φ genel olarak üstün; χ<0 ⇒ genel olarak üstün gelinen. Tam ön-sırayı (P̃, Ĩ) elde etmek için alternatifleri azalan χ'a göre sırala: χ(R_φ) > χ(R_σ) ise R_φ P̃ R_σ; χ(R_φ) = χ(R_σ) ise R_φ Ĩ R_σ. En büyük χ'a sahip alternatif seçilir.

   $$\chi (R_{\phi })={\chi }^{+}(R_{\phi })-{\chi }^{-}(R_{\phi });R_{\phi }\tilde{P}{R}_{\sigma }⟺\chi (R_{\phi })>\chi (R_{\sigma });R_{\phi }\tilde{I}{R}_{\sigma }⟺\chi (R_{\phi })=\chi (R_{\sigma });\text{rank}(R_{\phi })=\text{rank of }\chi (R_{\phi })\text{ in descending order}$$
   LaTeX

   \chi(R_{\varphi})\;=\;\chi^{+}(R_{\varphi})-\chi^{-}(R_{\varphi});\quad R_{\varphi}\tilde{P}R_{\sigma}\!\iff\!\chi(R_{\varphi})>\chi(R_{\sigma});\quad R_{\varphi}\tilde{I}R_{\sigma}\!\iff\!\chi(R_{\varphi})=\chi(R_{\sigma});\quad \text{rank}(R_{\varphi})=\text{rank of }\chi(R_{\varphi})\text{ in descending order}

Sezgi

Outranking-flow PROMETHEE - six generalized criteria preference functions (I-VI), AHP-assisted scalar weights, positive/negative/net outranking flows, PROMETHEE I partial pre-order + PROMETHEE II complete order. Output typically net_outranking_flow_χ (higher value = preferred).

Sonucu okuma: MPF-PROMETHEE is an AHP-assisted group decision method that operates on m-polar fuzzy performance ratings. Its three defining advantages are: (1) the six Brans-Vincke generalized preference functions (Types I-VI) let the analyst express, per criterion, exactly how a performance gap should translate into a preference intensity - from binary (Type I) through threshold-step (Types II, IV) to linear-ramp (Types III, V) and Gaussian (Type VI); (2) the multi-criteria preference index Π(R_φ,R_σ) (Eq. 19) is the AHP-weighted average of these preferences, naturally interpretable as the outranking strength of one alternative over another; (3) PROMETHEE I keeps incomparabilities explicit (small differences in χ^+ and χ^- that point in opposite directions yield R̂), while PROMETHEE II compresses χ into a single net flow χ = χ^+ − χ^- for a forced complete ranking. Use PROMETHEE I when transparency about incomparability matters; use PROMETHEE II when a single best-to-worst order is required.

Varsayımlar

• Every alternative-criterion-expert triple is represented by an m-polar fuzzy number ζ ∈ [0,1]^m (m independent positive features); no missing cells, no values outside [0,1]
• External AHP weights w(ϕ) satisfy w(ϕ) ≥ 0, Σ_ϕ w(ϕ) = 1, and the underlying AHP pairwise-comparison matrix has consistency ratio CR < 0.10 (Akram-Shumaiza-Alcantud 2020 Eqs. 11-12; case study CR = 0.087)
• Per-criterion preference function type (Brans-Vincke I-VI) and its parameters (k for Type II; q for III; l,m for IV; u,v for V; σ for VI) have been elicited from the decision makers and are consistent with the m-PF score scale [0,1]
• Criterion direction (max/min) is declared explicitly; for min-direction criteria the deviation argument is negated inside the preference function (Eq. 17) - the implementation does NOT silently treat min as max
• Expert weights α_ψ satisfy α_ψ ≥ 0 and Σ_ψ α_ψ = 1 (uniform α_ψ = 1/s in the canonical case study)
• PROMETHEE rank-reversal sensitivity is acceptable for the use case - adding or removing alternatives may change the partial pre-order P̂/Î/R̂ and the complete order P̃/Ĩ (De Keyser & Peeters 1996 phenomenon, inherited verbatim by MPF-PROMETHEE)
• Decision makers accept the meaning of the six Brans-Vincke generalized preference functions and the AHP-weighted multi-criteria preference index Π(R_φ, R_σ) as the outranking strength of R_φ over R_σ (Eq. 19)

Ne zaman kullanılmaz

• Only one decision maker is involved AND only crisp performance values are available - use crisp PROMETHEE I/II (Brans-Vincke 1985) directly without the m-PF wrapper
• Performance ratings are bipolar fuzzy ⟨μ⁺ ∈ [0,1], μ⁻ ∈ [-1,0]⟩ (counter-properties of a single attribute) rather than m independent positive attributes - use BF-PROMETHEE (Akram-Shumaiza-Al-Kenani 2020, Symmetry 12(1):77) instead
• AHP pairwise-comparison matrix has consistency ratio CR ≥ 0.10 - the weights are unreliable and Π is biased; rebuild AHP comparisons or switch to an objective weighting (Shannon entropy) before running PROMETHEE
• Ranking stability under alternative addition/removal is a hard requirement and cannot be relaxed - PROMETHEE inherits the classical rank-reversal phenomenon; consider methods with set-independent normalisation
• The decision context demands explicit veto thresholds (a concordant outranking should still be vetoed by one criterion exceeding a strong-opposition gap) - use MPF-ELECTRE-III/IV instead; PROMETHEE has no veto mechanism by construction

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: PROMETHEE-De-Keyser-Peeters-1996)
• Assumes: Every alternative-criterion-expert triple is represented by an m-polar fuzzy number ζ ∈ [0,1]^m (m independent positive features); no missing cells, no values outside [0,1]
• Assumes: External AHP weights w(ϕ) satisfy w(ϕ) ≥ 0, Σ_ϕ w(ϕ) = 1, and the underlying AHP pairwise-comparison matrix has consistency ratio CR < 0.10 (Akram-Shumaiza-Alcantud 2020 Eqs. 11-12; case study CR = 0.087)
• Assumes: Per-criterion preference function type (Brans-Vincke I-VI) and its parameters (k for Type II; q for III; l,m for IV; u,v for V; σ for VI) have been elicited from the decision makers and are consistent with the m-PF score scale [0,1]
• Assumes: Criterion direction (max/min) is declared explicitly; for min-direction criteria the deviation argument is negated inside the preference function (Eq. 17) - the implementation does NOT silently treat min as max

Sık yapılan hatalar

• m-kutuplu bulanık ile ikutuplu (bipolar) bulanığı karıştırmak. m-PF üyelik [0,1]^m'dedir (hücre başına m bağımsız pozitif özellik); bipolar bulanık ⟨μ⁺∈[0,1], μ⁻∈[-1,0]⟩ (tek niteliğin karşıt yönleri) kullanır. Akram-Adeel 2023 kitabının Bölüm 7'deki metin-içi [9] m-PF PROMETHEE girişine atıf, BF-PROMETHEE makalesidir (Akram-Shumaiza-Al-Kenani, Symmetry 12(1), 77, 2020), m-PF makalesi DEĞİL. MPF-PROMETHEE'nin seminal kaynağı olarak her zaman Math. Comput. Appl. 25:26 (2020) makalesini atıfla.
• Minimize edilecek kriterlerin yönü. Tercih fonksiyonu P_ϕ pozitif sapmalar üzerinde tanımlıdır; minimize edilecek kriterler için sapma negatiflenir (Denklem 17): P_ϕ(R_φ,R_σ) = F_ϕ[−d_ϕ(R_φ,R_σ)]. Min-yön kriterler için işaret çevirmeyi unutan uygulamalar, maliyet-benzeri kriterlerin (örnek olayda Q_3 Devlet teşvikleri, Q_5 İklim değişiklikleri, Q_6 Maliyet) katkısını sessizce tersine çevirir - Π yanlış olur, hata sinyali olmaz.
• Kriter-başı tercih-fonksiyonu tipleri bağımsızdır. Tek bir PROMETHEE koşusu (örnek olayda olduğu gibi) altı tipi de kriterler arasında karıştırabilir - Q_1 V, Q_2 III, Q_3 VI, Q_4 II, Q_5 IV, Q_6 I. Tüm kriterler için tek bir tip zorlamak (§7.5.1 / Sec. 5.1'deki olağan-kriter analizi), karşılaştırmalı analiz varyantıdır, KANONİK YÖNTEM DEĞİL. Kitabın §7.5.1'i iki yapılandırmayı açıkça karşılaştırır ve tümü-Tip-I sıralamasının altı-tipli sıralamadan üçüncü konumda ayrıldığını gösterir.
• Alternatif ekleme/çıkarmada sıra-tersine-dönmesi. Denklem 20-21'deki (l−1)^{-1} normalizasyonu, bir alternatifi eklemek veya çıkarmanın her χ^+ ve χ^-'nin büyüklüğünü ve dolayısıyla potansiyel olarak kısmi ön-sıra P̂/Î/R̂ ve tam sıra P̃/Ĩ'yi değiştirdiğini ima eder. Bu, De Keyser & Peeters 1996 tarafından belgelenen klasik PROMETHEE sıra-tersine-dönme fenomenidir ve MPF-PROMETHEE tarafından aynen miras alınır. Küme değişikliklerinde sıralama kararlılığı gereken kararlar için PROMETHEE'ye, yöntemi her (l−1)-alt-küme üzerinde yeniden çalıştıran bir duyarlılık testi eşlik etmelidir.
• AHP ağırlıkları dışsaldır; yöntem onları üretmez. MPF-PROMETHEE, normalize ağırlık vektörü w(ϕ) (toplam=1) tüketir ve onu DAHİLEN TÜRETMEZ. Seminal makale w'yi AHP ile hesaplar (Sec. 3) ve onlara güvenmeden önce tutarlılık oranı CR<0.10 kontrol etmeyi uyarır (Akram-Shumaiza-Alcantud 2020 Denklem 11-12; örnek olay CR=0.087). Farklı bir ağırlık-türetme yöntemi (Shannon entropi, BWM, doğrudan elde etme) kullanılıyorsa algoritma doğru kalır ama AHP'ye atıf kaldırılmalıdır; tersine, tutarsız AHP ağırlıklarını (CR>0.10) körü körüne kabul etmek, uyarı olmaksızın Π'ye yanlılık yayar.