MPF-HF-TOPSIS - m-Kutuplu Kararsız Bulanık TOPSIS (Akram, Adeel ve Alcantud 2019, Symmetry 11(6):795) - TOPSIS yönteminin m-kutuplu kararsız bulanık (mHF) küme çerçevesine genişletilmesi yoluyla çoklu-kriterli grup karar verme; kutup-bazlı mHPIS/mHNIS çıkarımı, mHF Öklid mesafesi ve yakınlık katsayısı sıralaması

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. p alternatif, q kriter, m kutup, r kararsızlık uzunluğu ve w=(w_1,…,w_q), Σ w_k = 1 ağırlık vektörünü al (Algoritma 1 Adım 1). mHF karar matrisini H = (h̄_m^{jk})_{p×q} hesapla / al; her hücre h̄_m^{jk} bir mHFE'dir (Algoritma 1 Adım 2, Tablo 1). Bir hücredeki kararsız küme uzunlukları farklı olduğunda, seçilen padding_strategy ile (optimistic → max, pessimistic → min) matris genelinde her kararsız küme r uzunluğuna ulaşana kadar uzat (s. 11'deki Sec. 3 anlatımı, §3.1 Tablo 4'te uygulanır).

   $$H=({\overline{h}}_m^{jk}{)}_{p\times q},{\overline{h}}_m^{jk}(z)=(\{{\zeta }_h|{\zeta }_h\in p_1\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\},\dots ,\{{\zeta }_h|{\zeta }_h\in p_m\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\});w=(w_1,\dots ,w_q),w_k\in (0,1],\sum _{k=1}^q{w}_k=1.$$
   LaTeX

   H = (\bar{h}_m^{jk})_{p \times q}, \quad \bar{h}_m^{jk}(z) = \bigl(\{\zeta_h | \zeta_h \in p_1 \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}, \ldots, \{\zeta_h | \zeta_h \in p_m \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}\bigr); \quad w = (w_1, \ldots, w_q), \ w_k \in (0,1], \ \sum_{k=1}^{q} w_k = 1.

2. Her kutbun kararsız kümesindeki her üyelik değerini kriter ağırlığı w_k ile çarparak ağırlıklandırılmış mHF karar matrisini H' = (h̄_m^{jk'})_{p×q} hesapla (Algoritma 1 Adım 3, Tablo 2). Sonuç, aynı p×q×m×r şekline sahip bir mHF matrisidir.

   $${\overline{h}}_m^{jk\prime }=w_k{\overline{h}}_m^{jk}=(w_k\{{\zeta }_h|{\zeta }_h\in p_1\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\},\dots ,w_k\{{\zeta }_h|{\zeta }_h\in p_m\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\})=(\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_1\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\},\dots ,\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_m\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\}).$$
   LaTeX

   \bar{h}_m^{jk\prime} = w_k\, \bar{h}_m^{jk} = \bigl(w_k \{\zeta_h | \zeta_h \in p_1 \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}, \ldots, w_k \{\zeta_h | \zeta_h \in p_m \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}\bigr) = \bigl(\{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_1 \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}, \ldots, \{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_m \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}\bigr).

3. Kriter başına alternatifler arasında kutup-bazlı maksimizasyonla m-kutuplu kararsız bulanık pozitif ideal çözümü (mHPIS) hesapla (Algoritma 1 Adım 4, Denklem 1). Her kriter k ve kutup r için, mHPIS, kararsızlık endeksi l (l=1,…,r) konumunda alternatifler arasındaki maksimum ağırlıklandırılmış üyelik değerini toplar.

   $$\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{S}=\backslash \{({\overline{h}}_m^{1\prime }{)}^{+},({\overline{h}}_m^{2\prime }{)}^{+},\dots ,({\overline{h}}_m^{q\prime }{)}^{+}\backslash \},({\overline{h}}_m^{k\prime }{)}^{+}={max}_j({\overline{h}}_m^{k\prime })=({max}_j\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_1\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\},\dots ,{max}_j\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_m\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\}).$$
   LaTeX

   \mathrm{mHPIS} = \bigl\{(\bar{h}_m^{1\prime})^{+}, (\bar{h}_m^{2\prime})^{+}, \ldots, (\bar{h}_m^{q\prime})^{+}\bigr\}, \quad (\bar{h}_m^{k\prime})^{+} = \max_{j}(\bar{h}_m^{k\prime}) = \bigl(\max_{j}\{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_1 \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}, \ldots, \max_{j}\{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_m \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}\bigr).

4. Kriter başına alternatifler arasında kutup-bazlı minimizasyonla m-kutuplu kararsız bulanık negatif ideal çözümü (mHNIS) hesapla (Algoritma 1 Adım 5, Denklem 2). F3 ile simetrik fakat her kararsızlık endeksinde min yerine max kullanır.

   $$\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{S}=\backslash \{({\overline{h}}_m^{1\prime }{)}^{-},({\overline{h}}_m^{2\prime }{)}^{-},\dots ,({\overline{h}}_m^{q\prime }{)}^{-}\backslash \},({\overline{h}}_m^{k\prime }{)}^{-}={min}_j({\overline{h}}_m^{k\prime })=({min}_j\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_1\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\},\dots ,{min}_j\{{\zeta }_h^{\prime }|{\zeta }_h^{\prime }\in p_m\circ {\overline{h}}_m^{jk}(z)\}).$$
   LaTeX

   \mathrm{mHNIS} = \bigl\{(\bar{h}_m^{1\prime})^{-}, (\bar{h}_m^{2\prime})^{-}, \ldots, (\bar{h}_m^{q\prime})^{-}\bigr\}, \quad (\bar{h}_m^{k\prime})^{-} = \min_{j}(\bar{h}_m^{k\prime}) = \bigl(\min_{j}\{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_1 \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}, \ldots, \min_{j}\{\zeta_h' | \zeta_h' \in p_m \circ \bar{h}_m^{jk}(z)\}\bigr).

5. Her alternatifin a_j mHPIS'ten (De+) ve mHNIS'ten (De-) mHF Öklid mesafesini Denklem 3–4 ile hesapla (Algoritma 1 Adım 6). Mesafe, kriterler k=1..q ve kutuplar i=1..m üzerinden çift toplam alır (burada kararsızlık endeksleri l=1..r için açıkça yazılmıştır), 1/(r·m) ile normalleştirilir.

   $$D_e^{\prime }(a_j,\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{S})=\sqrt{\frac{1}{rm}{\sum }_{k=1}^q{\sum }_{i=1}^m[({\zeta }_{h1}^{jk\prime }-({\zeta }_{h1}^{k\prime }{)}^{+}{)}^2+({\zeta }_{h2}^{jk\prime }-({\zeta }_{h2}^{k\prime }{)}^{+}{)}^2+\cdots +({\zeta }_{hr}^{jk\prime }-({\zeta }_{hr}^{k\prime }{)}^{+}{)}^2]};D_e^{\prime }(a_j,\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{S})=\sqrt{\frac{1}{rm}{\sum }_{k=1}^q{\sum }_{i=1}^m[({\zeta }_{h1}^{jk\prime }-({\zeta }_{h1}^{k\prime }{)}^{-}{)}^2+({\zeta }_{h2}^{jk\prime }-({\zeta }_{h2}^{k\prime }{)}^{-}{)}^2+\cdots +({\zeta }_{hr}^{jk\prime }-({\zeta }_{hr}^{k\prime }{)}^{-}{)}^2]}.$$
   LaTeX

   D_e'(a_j, \mathrm{mHPIS}) = \sqrt{\tfrac{1}{rm} \sum_{k=1}^{q} \sum_{i=1}^{m} \Bigl[(\zeta_{h1}^{jk\prime} - (\zeta_{h1}^{k\prime})^{+})^2 + (\zeta_{h2}^{jk\prime} - (\zeta_{h2}^{k\prime})^{+})^2 + \cdots + (\zeta_{hr}^{jk\prime} - (\zeta_{hr}^{k\prime})^{+})^2\Bigr]}; \quad D_e'(a_j, \mathrm{mHNIS}) = \sqrt{\tfrac{1}{rm} \sum_{k=1}^{q} \sum_{i=1}^{m} \Bigl[(\zeta_{h1}^{jk\prime} - (\zeta_{h1}^{k\prime})^{-})^2 + (\zeta_{h2}^{jk\prime} - (\zeta_{h2}^{k\prime})^{-})^2 + \cdots + (\zeta_{hr}^{jk\prime} - (\zeta_{hr}^{k\prime})^{-})^2\Bigr]}.

6. Her alternatif a_j için göreli mHF yakınlık katsayısı E_j' ∈ [0,1]'i Denklem 5 ile hesapla: E_j' = De'(a_j, mHNIS) / (De'(a_j, mHPIS) + De'(a_j, mHNIS)) (Algoritma 1 Adım 7). Daha yüksek E_j' mHPIS'e daha yakın ve mHNIS'ten daha uzak demektir — dolayısıyla daha iyi.

   $$E_j^{\prime }=\frac{D_e^{\prime }(a_j,\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{S})}{D_e^{\prime }(a_j,\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{S})+D_e^{\prime }(a_j,\mathrm{m}\mathrm{H}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{S})},j=1,2,\dots ,p.$$
   LaTeX

   E_j' = \frac{D_e'(a_j, \mathrm{mHNIS})}{D_e'(a_j, \mathrm{mHPIS}) + D_e'(a_j, \mathrm{mHNIS})}, \quad j = 1, 2, \ldots, p.

7. Alternatifleri E_j''ye göre azalan sırada sırala (Algoritma 1 Adım 8). En yüksek mHF yakınlık katsayısına sahip alternatif en iyisidir. E_j' eşitlikleri (gerektiğinde) altta yatan toplulaştırılmış mHFE'ye uygulanan Tanım 3'ün sapma derecesi ∆(h̄_m) ile çözülür; seminal §3.1/§3.2 vaka çalışmalarında eşitlik yoktur.

   $$a_{j_1}⪰a_{j_2}⪰\dots ⪰a_{j_p}⟺E_{j_1}^{\prime }\ge E_{j_2}^{\prime }\ge \dots \ge E_{j_p}^{\prime };\text{tie-break (if }{E}_j^{\prime }=E_{j^{\prime }}^{\prime }\text{): use }\Delta ({\overline{h}}_m)\text{ (Def. 3)}.$$
   LaTeX

   a_{j_1} \succeq a_{j_2} \succeq \ldots \succeq a_{j_p} \iff E_{j_1}' \ge E_{j_2}' \ge \ldots \ge E_{j_p}'; \quad \text{tie-break (if } E_{j}' = E_{j'}' \text{): use } \Delta(\bar{h}_m) \text{ (Def. 3)}.

Sezgi

Distance-based ranking - m-polar hesitant fuzzy TOPSIS - pole-wise max/min ideals on a weighted mHF decision matrix (Eqs. 1-2), mHF Euclidean distance (Eqs. 3-4), closeness coefficient E_j' (Eq. 5). Output typically closeness_coefficient (higher value = preferred).

Sonucu okuma: Read the result as a complete descending ranking of alternatives a_j by the closeness coefficient E_j' ∈ [0,1] (Eq. 5). E_j' near 1 means the alternative is close to the m-polar hesitant fuzzy positive ideal (mHPIS) and far from the negative ideal (mHNIS); E_j' near 0 means the opposite. The §3.1 case study yields Bn_1 ≻ Bn_3 ≻ Bn_4 ≻ Bn_5 ≻ Bn_2 - Bn_1 is the perfect brand name. To interpret WHY one alternative dominates, inspect the pole-wise membership polygons (viz H4) and the mHPIS/mHNIS per criterion (viz H1).

Varsayımlar

• Every cell of H carries exactly m hesitant fuzzy elements (one per pole) and m is fixed across the matrix (§3.1 m=4, §3.2 m=5)
• After optimistic/pessimistic padding every HFE has equal length r across the matrix (Sec. 3 narrative on p. 11, Table 4 of §3.1)
• Criterion weights w_k ∈ (0,1] and Σ_k w_k = 1 (Step 2 of Algorithm 1, Eq. 6 of §3.1)
• All criteria interpreted as benefit-direction - the seminal paper does NOT handle cost-direction via complement
• Group-decision aggregation occurs BEFORE normalisation/weighting: r DMs jointly produce ONE mHF matrix upstream (mHF-TOPSIS does not define the aggregation operator itself)

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TOPSIS (Hwang-Yoon 1981) directly to avoid unnecessary m-polar+hesitancy layer
• Single-pole (m=1) - degenerates to standard HF-TOPSIS; use HF-TOPSIS directly
• Criteria mix cost and benefit direction - seminal paper handles benefit-only, cost-complement is out of scope
• Decision-makers cannot agree on a common padding strategy (optimistic vs pessimistic): the ranking can flip between the two strategies and the result becomes ambiguous

Sınırlılıklar

• Assumes: Every cell of H carries exactly m hesitant fuzzy elements (one per pole) and m is fixed across the matrix (§3.1 m=4, §3.2 m=5)
• Assumes: After optimistic/pessimistic padding every HFE has equal length r across the matrix (Sec. 3 narrative on p. 11, Table 4 of §3.1)
• Assumes: Criterion weights w_k ∈ (0,1] and Σ_k w_k = 1 (Step 2 of Algorithm 1, Eq. 6 of §3.1)
• Assumes: All criteria interpreted as benefit-direction - the seminal paper does NOT handle cost-direction via complement

Sık yapılan hatalar

• Kararsızlık-uzunluğu paritesi: Denklem 3-4, sabit kararsızlık endeksleri l=1..r üzerinden toplam alır; hücreler eşit olmayan kararsız küme uzunluklarına sahipse toplam tanımsızdır. Zorunlu doldurma adımı (Sec. 3 s. 11, §3.1 Tablo 4) F3'ten önce uygulanmalıdır ve algoritmanın parçasıdır - atlamak yanlış mesafeler üretir.
• İyimser ve kötümser doldurma sıralamayı yeniden düzenleyebilir. Seminal §3.1, açıkça 'optimistic' (maks-doldurma) kullanır çünkü 'şirket mükemmel marka adını iyimser ruhla seçmek ister' (s. 14). 'pessimistic' (min-doldurma)'ya geçiş, her HFE'nin minimum değeriyle yeniden doldurur ve farklı bir sıralama üretebilir - stratejiyi her zaman sonuçla birlikte belgele.
• Kutup-sayısı tekdüzeliği: H'nin her hücresi tam olarak m kararsız bulanık eleman taşımalıdır; bazı hücrelerde m=3, diğerlerinde m=4 karıştırılması tanımsızdır. §3.1 vaka çalışması her yerde m=4; §3.2 her yerde m=5 kullanır.
• Ağırlıklar w_k ∈ (0,1] ile 1'e toplanmalıdır (§3.1 Adım 2, Denklem 6). Seminal makale, ağırlık elde etmek için HERHANGİ bir yönteme izin verir (AHP, entropi, BWM, doğrudan uzman girdisi, bilgi yoksa eşit ağırlıklar) - fakat normalleştirilmemiş bir vektör sessizce yakınlık katsayısını saptırır.
• mHF mesafesi her kararsızlık endeksine eşit davranır: Denklem 3-4'te bir hücrenin l. değeri idealin l. değeriyle eşleştirilir (pozisyonel eşleştirme), kararsız kümeler üzerinde Hausdorff/toplam ile değil. Bu nedenle doldurma adımının kararsız değerleri uzatma sırası matematiksel olarak önemlidir - seminal makale doldurmadan önce artan sıralar (Tablo 3-4 bunu yansıtır).
• Grup-karar toplama anı: §3.1'in üç karar vericisi ortaklaşa TEK bir mHF matrisi üretir (karar verici başına matrisler raporlanmaz); toplama, normalleştirme/ağırlıklandırmadan ÖNCE gerçekleşir. İş akışınızda karar verici başına matrisler varsa, bunları yukarıda tek bir mHF matrisine ortalamanız gerekir - mHF-TOPSIS toplama operatörünün KENDİSİNİ tanımlamaz.