MPF-ELECTRE-IV - Ağırlıksız sözde-kriter üstünlüğü, beş dominans sınıfı (quasi/kanonik/pseudo/alt/veto), Vallée-Zielniewicz güvenilirlik düzeyleri ve Belton-Stewart yükselen+azalan distilasyonu ile ELECTRE-IV'ün m-Kutuplu Bulanık (m-PF) uzantısı (Akram ve Adeel 2023)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her uzman e_u için bağımsız m-PF karar matrisleri Z^{(u)} oluştur (u=1,…,v). z_{ij}^{(u)} = (z_{ij}^{(u),1},…,z_{ij}^{(u),m}), x_i alternatifinin t_j kriteri üzerindeki m-kutuplu değerlendirmesidir.

   $$Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\dots ,z_{ij}^{(u),m}),u=1,\dots ,v$$
   LaTeX

   Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),\;\; z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\ldots,z_{ij}^{(u),m}),\;\; u=1,\ldots,v

2. Adım 2 — v uzman matrisini, α_u uzman ağırlıkları ile m-PF ağırlıklı ortalama operatörü (mFWAO_α) kullanarak tek bir m-PF karar matrisi Z'de birleştir. Her kutup, üstel uzman ağırlıkları ile kaldırılan olasılıksal toplam olarak bağımsız birleştirilir (§5.2 Adım 2 / Denklem 5.3 operatörü ile aynı).

   $$z_{ij}^k=1-\prod _{u=1}^v(1-z_{ij}^{(u),k}{)}^{{\alpha }_u},k=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   z_{ij}^{k}\;=\;1-\prod_{u=1}^{v}\bigl(1-z_{ij}^{(u),k}\bigr)^{\alpha_{u}},\quad k=1,\ldots,m

3. Adım 3 — Aggregat matris Z üzerinde doğrudan skor derecelerini s(z_{ij}) = (1/m)Σ_h z_{ij}^h hesapla (ağırlıklandırma yok). Her sıralı çift (p,q), p≠q ve her kriter t_j için, (q_j, p_j) eşiklerine karşı çift-kriter ikilisini üç sözde-kriter tercih ilişkisinden birine sınıfla: kesin tercih x_p P x_q eğer s(x_p) > s(x_q) + p_j ise (Denklem 6.5); zayıf tercih x_p Q x_q eğer s(x_q) + q_j < s(x_p) ≤ s(x_q) + p_j ise (Denklem 6.4); ilgisizlik x_p I x_q eğer s(x_q) < s(x_p) ≤ s(x_q) + q_j ise (Denklem 6.3). Eşitlik x_p E x_q dördüncü bir ilişkidir (s(x_p) = s(x_q)) ve P/Q/I ile birlikte izlenir. Not: MPF-ELECTRE-IV ağırlıklandırılmamış Z üzerinde çalışır (§5.2 Adım 4'ün ağırlıklı Y'si değil) — §6.3'teki eşikler (Tablo 6.7) ham skor dereceleri ile aynı ölçekte kalibre edilmiştir.

   $$s(z_{ij})=\frac{1}{m}\sum _{h=1}^m{z}_{ij}^h;x_p𝐏x_q:s(x_p)>s(x_q)+p_j;x_p𝐐x_q:s(x_q)+q_j<s(x_p)\le s(x_q)+p_j;x_p𝐈x_q:s(x_q)<s(x_p)\le s(x_q)+q_j$$
   LaTeX

   s(z_{ij})=\tfrac{1}{m}\sum_{h=1}^{m}z_{ij}^{h};\quad x_{p}\mathbf{P}x_{q}\!:\,s(x_{p})>s(x_{q})+p_{j};\;\; x_{p}\mathbf{Q}x_{q}\!:\,s(x_{q})+q_{j}<s(x_{p})\le s(x_{q})+p_{j};\;\; x_{p}\mathbf{I}x_{q}\!:\,s(x_{q})<s(x_{p})\le s(x_{q})+q_{j}

4. Adım 4 — Her sıralı çift (p,q) için, her tercih modundaki kriter sayısını say: NP(x_p, x_q) (güçlü), NQ(x_p, x_q) (zayıf), NI(x_p, x_q) (ilgisiz), NE(x_p, x_q) (eşit); bölme kısıtı s = NP(p,q)+NQ(p,q)+NI(p,q)+NE(p,q)+NP(q,p)+NQ(q,p)+NI(q,p). Sonra her çifti aşağıdaki ağırlıksız kurallarla en fazla beş dominans sınıfından birine ata: (i) Quasi dominans Dq — NP(q,p)+NQ(q,p) = 0 VE NI(q,p) < NI(p,q)+NQ(p,q)+NP(p,q); (ii) Kanonik dominans Dc — NP(q,p)=0 VE NQ(q,p) ≤ NP(p,q) VE NQ(q,p)+NI(q,p) < NP(p,q)+NQ(p,q)+NI(p,q); (iii) Pseudo dominans Dp — NP(q,p)=0 VE NQ(q,p) ≤ NP(p,q)+NQ(p,q); (iv) Alt-dominans Ds — NP(q,p)=0; (v) Veto dominans Dv — birincil: NP(q,p)=0; YA DA alternatif: NP(q,p)=1 VE o tek güçlü-tercih kriteri için s(x_q) − s(x_p) ≤ ν_{j*} olan tam bir j* kriteri var VE NP(p,q) ≥ s/2. Bir çift birden fazla sınıfı sağlayabilir; F5'teki güvenilirlik ataması için en güçlüsünü (Dq > Dc > Dp > Ds > Dv) raporla.

   $$s=N_P(p,q)+N_Q(p,q)+N_I(p,q)+N_E(p,q)+N_P(q,p)+N_Q(q,p)+N_I(q,p);x_p{D}_q{x}_q\iff N_P(q,p)+N_Q(q,p)=0\wedge N_I(q,p)<N_I(p,q)+N_Q(p,q)+N_P(p,q);x_p{D}_c{x}_q\iff N_P(q,p)=0\wedge N_Q(q,p)\le N_P(p,q)\wedge N_Q(q,p)+N_I(q,p)<N_P(p,q)+N_Q(p,q)+N_I(p,q);x_p{D}_p{x}_q\iff N_P(q,p)=0\wedge N_Q(q,p)\le N_P(p,q)+N_Q(p,q);x_p{D}_s{x}_q\iff N_P(q,p)=0;x_p{D}_v{x}_q\iff N_P(q,p)=0\vee (N_P(q,p)=1\wedge s(x_q)-s(x_p)\le {\nu }_{j^{*}}\wedge N_P(p,q)\ge s/2)$$
   LaTeX

   s=N_{P}(p,q)+N_{Q}(p,q)+N_{I}(p,q)+N_{E}(p,q)+N_{P}(q,p)+N_{Q}(q,p)+N_{I}(q,p);\quad x_{p}D_{q}x_{q}\!\Leftrightarrow\! N_{P}(q,p)+N_{Q}(q,p)=0\,\wedge\,N_{I}(q,p)<N_{I}(p,q)+N_{Q}(p,q)+N_{P}(p,q);\quad x_{p}D_{c}x_{q}\!\Leftrightarrow\! N_{P}(q,p)=0\,\wedge\,N_{Q}(q,p)\le N_{P}(p,q)\,\wedge\,N_{Q}(q,p)+N_{I}(q,p)<N_{P}(p,q)+N_{Q}(p,q)+N_{I}(p,q);\quad x_{p}D_{p}x_{q}\!\Leftrightarrow\! N_{P}(q,p)=0\,\wedge\,N_{Q}(q,p)\le N_{P}(p,q)+N_{Q}(p,q);\quad x_{p}D_{s}x_{q}\!\Leftrightarrow\! N_{P}(q,p)=0;\quad x_{p}D_{v}x_{q}\!\Leftrightarrow\! N_{P}(q,p)=0\,\vee\,\bigl(N_{P}(q,p)=1\,\wedge\,s(x_{q})-s(x_{p})\le\nu_{j^{*}}\,\wedge\,N_{P}(p,q)\ge s/2\bigr)

5. Adım 5 — Her sıralı çifte en güçlü dominans sınıfına göre Vallée–Zielniewicz güvenilirlik düzeyleri ata: ζ(x_p, x_q) = 1 eğer x_p Dq x_q ise; 0.8 eğer Dc; 0.6 eğer Dp; 0.4 eğer Ds; 0.2 eğer Dv (yalnızca alternatif koşul — birincil Dv koşulu NP(q,p)=0 sağlandığında, çift zaten Dq/Dc/Dp/Ds'in daha güçlüsü altında sınıflandırılmıştır ve karşılık gelen ζ kullanılır); 0 eğer hiçbir dominans ilişkisi sağlanmıyorsa. ζ matrisi (r×r, köşegen tanımsız), F6'daki distilasyon prosedürü için güvenilirlik-indeksli üstünlük matrisidir.

   $$\zeta (x_p,x_q)=\{\begin{array}{cc}1,\hfill & x_p{D}_q{x}_q\hfill \\ 0.8,\hfill & x_p{D}_c{x}_q\hfill \\ 0.6,\hfill & x_p{D}_p{x}_q\hfill \\ 0.4,\hfill & x_p{D}_s{x}_q\hfill \\ 0.2,\hfill & x_p{D}_v{x}_q\text{ (alternate)}\hfill \\ 0,\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \zeta(x_{p},x_{q})=\begin{cases}1,&x_{p}D_{q}x_{q}\\0.8,&x_{p}D_{c}x_{q}\\0.6,&x_{p}D_{p}x_{q}\\0.4,&x_{p}D_{s}x_{q}\\0.2,&x_{p}D_{v}x_{q}\text{ (alternate)}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}

6. Adım 6 — İki yönlü Belton–Stewart distilasyon. Ayırt-edici eşik s(ζ_λ) = α·ζ_λ + β (Vallée–Zielniewicz genel α=-0.15, β=0.30; ELECTRE-IV-spesifik α=0, β=0.1 — ayırt-edici eşik sabit 0.1, kitabın varsayılanı), eşik-değeri ζ_{λ+1} = ζ_λ − s(ζ_λ) ve eşik-değerinde-üstünlük ilişkisi x_p D_A^{ζ_λ} x_q ⇔ ζ(x_p, x_q) > ζ_λ VE ζ(x_p, x_q) − ζ(x_q, x_p) > s(ζ(x_p, x_q)) tanımla. Her alternatif x_p için kuvvet S_A^{ζ_λ}(x_p) = Σ_{x_q ∈ M⁺} ζ(x_p, x_q) (Denklem 6.6), zayıflık S̄_A^{ζ_λ}(x_p) = Σ_{x_q ∈ M⁻} ζ(x_q, x_p) (Denklem 6.7) ve nitelik Q_A^{ζ_λ}(x_p) = S_A^{ζ_λ}(x_p) − S̄_A^{ζ_λ}(x_p) (Denklem 6.8) hesapla. Yükselen distilasyon: alternatifler kümesini, azalan eşik-değerlerinde EN AZ nitelik kümesini iteratif olarak seç, A tükenene kadar; çıkarma sırası (son-çıkan = en iyi) yükselen ön-sıralamayı verir. Azalan distilasyon: aynı iterasyon ama EN BÜYÜK nitelik kümesini seç; çıkarma sırası (ilk-çıkan = en iyi) azalan ön-sıralamayı verir. NİHAİ ön-sıralama iki ön-sıralamanın kesişimidir: nihai ön-sırada x_p ≻ x_q ancak ve ancak HEM yükselen HEM azalan ön-sıralamalarda x_p ≻ x_q ise (Akram ve Adeel 2023 §6.2 son cümle, s.324).

   $$s({\zeta }_{\lambda })=\alpha {\zeta }_{\lambda }+\beta [\text{ELECTRE-IV: }\alpha =0,\beta =0.1];{\zeta }_{\lambda +1}={\zeta }_{\lambda }-s({\zeta }_{\lambda });x_p{D}_A^{{\zeta }_{\lambda }}{x}_q\iff \zeta (x_p,x_q)>{\zeta }_{\lambda }\wedge \zeta (x_p,x_q)-\zeta (x_q,x_p)>s(\zeta (x_p,x_q));S_A^{{\zeta }_{\lambda }}(x_p)=\sum _{x_q\in M^{+}}\zeta (x_p,x_q);{\overline{S}}_A^{{\zeta }_{\lambda }}(x_p)=\sum _{x_q\in M^{-}}\zeta (x_q,x_p);Q_A^{{\zeta }_{\lambda }}(x_p)=S_A^{{\zeta }_{\lambda }}(x_p)-{\overline{S}}_A^{{\zeta }_{\lambda }}(x_p);\text{final pre-order}=\text{ascending pre-order}\cap \text{descending pre-order}$$
   LaTeX

   s(\zeta_{\lambda})=\alpha\,\zeta_{\lambda}+\beta\;\;[\text{ELECTRE-IV: }\alpha=0,\beta=0.1];\;\; \zeta_{\lambda+1}=\zeta_{\lambda}-s(\zeta_{\lambda});\;\; x_{p}D_{A}^{\zeta_{\lambda}}x_{q}\!\Leftrightarrow\!\zeta(x_{p},x_{q})>\zeta_{\lambda}\,\wedge\,\zeta(x_{p},x_{q})-\zeta(x_{q},x_{p})>s\bigl(\zeta(x_{p},x_{q})\bigr);\;\; S_{A}^{\zeta_{\lambda}}(x_{p})=\!\!\sum_{x_{q}\in M^{+}}\!\!\zeta(x_{p},x_{q});\;\; \bar{S}_{A}^{\zeta_{\lambda}}(x_{p})=\!\!\sum_{x_{q}\in M^{-}}\!\!\zeta(x_{q},x_{p});\;\; Q_{A}^{\zeta_{\lambda}}(x_{p})=S_{A}^{\zeta_{\lambda}}(x_{p})-\bar{S}_{A}^{\zeta_{\lambda}}(x_{p});\;\;\text{final pre-order}=\text{ascending pre-order}\,\cap\,\text{descending pre-order}

Sezgi

Weight-free pseudo-criterion outranking - q/p/ν thresholds, dominance-class counts (NP, NQ, NI, NE), Vallée-Zielniewicz ζ ∈ {1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0} credibility, two-way distillation pre-orders intersected to a final pre-order. Output typically preorder_rank (lower value = preferred).

Sonucu okuma: MPF-ELECTRE-IV is the weight-free sibling of MPF-ELECTRE-III. Three innovations distinguish it from MPF-ELECTRE-III: (1) it requires NO criterion weights at all - Shannon entropy and the weighted matrix Y are removed; criteria importance is encoded implicitly in the five dominance-class definitions (Dq stricter than Dc stricter than Dp stricter than Ds stricter than Dv); (2) it classifies each ordered pair into at most one of five dominance classes via counts NP/NQ/NI/NE of criteria in each preference mode, then assigns Vallée-Zielniewicz credibility levels ζ ∈ {1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0} (Dq=1, Dc=0.8, Dp=0.6, Ds=0.4, Dv=0.2, none=0); (3) it ranks via two-way Belton-Stewart distillation (ascending = iteratively remove min-qualification alternatives; descending = iteratively remove max-qualification) and intersects the two pre-orders to obtain the final pre-order. The discrimination threshold is the constant 0.1 (α=0, β=0.1). Use this method when criterion weights are unavailable or unwanted, when the decision maker prefers an interpretable dominance-class hierarchy over a continuous credibility index, and when a pre-order output (with possible incomparabilities) is acceptable.

Varsayımlar

• Each cell of every expert's decision matrix is a valid m-Polar Fuzzy tuple z_{ij}^{(u),k} ∈ [0,1]^m with a fixed pole count m across the whole problem (§6.2 Step 1)
• Expert weights α_u ≥ 0 satisfy Σ_u α_u = 1 (Eq. 6.1 aggregation requires a stochastic α-vector; §6.3 uses α=(0.33, 0.33, 0.34))
• All criteria are benefit-oriented (or cost criteria have been transformed via componentwise complement 1 − z prior to Step 1); Eq. 6.1 probabilistic-sum aggregation assumes monotone-up semantics
• Per-criterion thresholds satisfy 0 ≤ q_j ≤ p_j ≤ ν_j (book §6.2 Step 3 prints non-strict ordering; q_j = p_j collapses weak preference Q to empty and is legal - DO NOT enforce strict q_j < p_j as in §5.2 MPF-ELECTRE-III)
• Discrimination threshold is the ELECTRE-IV-specific constant 0.1 via α=0, β=0.1 (Akram & Adeel 2023 §6.2 last paragraph, p.322); deviating to α=-0.15, β=0.30 reverts to the ELECTRE-III ramp and is not the canonical ELECTRE-IV configuration
• Group inputs are aggregated at the m-PF matrix level (Eq. 6.1) before any downstream step - per-expert ranking aggregation is not part of the §6.2 algorithm
• User accepts a PRE-ORDER (not a strict linear order) as output: distillation can leave ties within a distillate, and ascending/descending disagreement yields legitimate incomparabilities

Ne zaman kullanılmaz

• External criterion weights are available, trusted and must be honoured - use MPF-ELECTRE-II (consumes external m-PF weights) or MPF-ELECTRE-III (internal Shannon entropy) instead; MPF-ELECTRE-IV will ignore weights by design
• A strict linear ranking is required for downstream automation - MPF-ELECTRE-IV may return a partial pre-order with incomparable pairs (Akram & Adeel 2023 §6.4 Qazvin case happens to be a linear pre-order, but this is not guaranteed)
• Best-alternative selection only (Pα problematic) - use MPF-ELECTRE-I (kernel of non-dominated alternatives, no distillation overhead)
• Single-decision-maker problem with m=1 (crisp) - the method reduces algebraically to Roy & Hugonnard (1982) ELECTRE-IV; use the crisp pipeline directly

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: ELECTRE-family-Roy-1968)
• Assumes: Each cell of every expert's decision matrix is a valid m-Polar Fuzzy tuple z_{ij}^{(u),k} ∈ [0,1]^m with a fixed pole count m across the whole problem (§6.2 Step 1)
• Assumes: Expert weights α_u ≥ 0 satisfy Σ_u α_u = 1 (Eq. 6.1 aggregation requires a stochastic α-vector; §6.3 uses α=(0.33, 0.33, 0.34))
• Assumes: All criteria are benefit-oriented (or cost criteria have been transformed via componentwise complement 1 − z prior to Step 1); Eq. 6.1 probabilistic-sum aggregation assumes monotone-up semantics
• Assumes: Per-criterion thresholds satisfy 0 ≤ q_j ≤ p_j ≤ ν_j (book §6.2 Step 3 prints non-strict ordering; q_j = p_j collapses weak preference Q to empty and is legal - DO NOT enforce strict q_j < p_j as in §5.2 MPF-ELECTRE-III)

Sık yapılan hatalar

• m-kutuplu bulanık ile ikutuplu (bipolar) bulanığı karıştırmak. m-PF üyelik [0,1]^m'dedir (bağımsız özellikler); bipolar bulanık ⟨μ⁺∈[0,1], μ⁻∈[-1,0]⟩ (tek niteliğin karşıt yönleri) kullanır. Farklı değer uzayları - BF-* manifestleri MPF-* manifestlerinin m=2 özel durumu DEĞİLDİR.
• Eşik sıralaması - MPF-ELECTRE-IV'te kesin olmayan. Kitap §6.2 Adım 3 'q ≤ p ≤ ν' yazar (Bölüm 6, s.318), §5.2'nin 'q < p ≤ ν'sinden (Bölüm 5, s.289) açıkça daha zayıf. MPF-ELECTRE-IV, q_j = p_j'yi kabul eder (zayıf-tercih aralığı boşa düşer ve yalnızca kesin P / ilgisizlik I hayatta kalır). Qazvin örneği q_j < p_j ≤ ν_j'yi her zaman korur (Tablo 6.7), ancak uygulamalar MPF-ELECTRE-IV girdisinde kesin q < p'yi DAYATMAMALI - bu, kitabın belirtimine uyan yasal girdileri reddederdi. E-3, ≤ kullanır.
• ζ = 0, 'dominans ilişkisi yok' anlamına gelir, ek bir dominans sınıfı değildir. Kitap altı ζ değeri (1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0) listeler ancak yalnızca BEŞ dominans sınıfı (Dq, Dc, Dp, Ds, Dv) listeler. Altıncı değer 0, her dominans koşulunu başarısız kılan sıralı çiftleri kapsar - yani sıralı çiftin güvenilirliği sıfırdır ve çift, herhangi bir eşik-değerinde x_p'nin kuvvetine hiçbir katkı sağlamaz. 'D_0' dominans sınıfı UYDURMAYIN.
• Veto dominans Dv'nin İKİ alternatif koşulu vardır. Birincil: NP(q,p) = 0 (Ds ile aynı - Ds'yi sağlayan her alternatif birincil Dv koşulunu da sağlar; en güçlü-sınıf kuralı önce Dq/Dc/Dp/Ds'yi seçer). Alternatif: NP(q,p) = 1 VE o tek güçlü-tercih kriteri j* için s(x_q) − s(x_p) ≤ ν_{j*} VE NP(p,q) ≥ s/2. Alternatif koşulu atlayan uygulamalar gerçek Dv atamalarını kaçırır - ve ζ=0 olması gereken çiftlere ζ=0.2'yi (en DÜŞÜK sıfır-olmayan güvenilirlik düzeyi) atar. Alternatif Dv koşulu, algoritmada veto eşiği ν_j'nin gerçekten girdiği tek yerdir.
• Ayırt-edici eşik: ELECTRE-IV sabit 0.1'i kullanır, ELECTRE-III rampasını değil. Akram ve Adeel 2023 §6.2 (s.322): 'ELECTRE IV prosedüründe, ayırt-edici eşik değeri α = 0 ve β = 0.1 alınarak 0.1 olarak sabitlenir ve her dominans düzeyi yakalanır.' ELECTRE-III varsayılanını (α=-0.15, β=0.30) yeniden kullanmak eşik aralığını sessizce artırır ve distilasyonun daha kaba ön-sıralamalarla daha erken sonlanmasına neden olabilir. ELECTRE-III ayırt-etme davranışını kasıtlı olarak yeniden üretmiyorsanız her zaman discrimination_alpha=0 ve discrimination_beta=0.1 ayarlayın.
• Ön-sıralamaların kesişimi, birleşimi veya ortalaması değil. Nihai ön-sıralama, yükselen ve azalan distilasyon ön-sıralamalarının KESİŞİMİdir. Bu, nihai ön-sıralamada x_p ≻ x_q'nun HEM distilasyonlarda kesin uyum gerektirdiği anlamına gelir. Birleşim (herhangi birinde ≻) veya ortalama sıra (iki sıranın ortalaması) almak sık karşılaşılan bir uygulama hatasıdır ve farklı - genellikle yanlış - bir çıktı üretir. Kitap §6.2 son cümle (s.324): 'Nihai sıralama her iki sıralama listesinin kesişiminden türetilir.'