MPF-ELECTRE-III - Sözde-kriter eşikleri, Shannon-entropi nesnel ağırlıklar ve Li-Wang net güvenilirlik sıralaması ile ELECTRE-III'ün m-Kutuplu Bulanık (m-PF) uzantısı (Akram ve Adeel 2023)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her uzman e_u için bağımsız m-PF karar matrisleri Z^{(u)} oluştur (u=1,…,v). z_{ij}^{(u)} = (z_{ij}^{(u),1},…,z_{ij}^{(u),m}), x_i alternatifinin t_j kriteri üzerindeki m-kutuplu değerlendirmesidir.

   $$Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\dots ,z_{ij}^{(u),m}),u=1,\dots ,v$$
   LaTeX

   Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),\;\; z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\ldots,z_{ij}^{(u),m}),\;\; u=1,\ldots,v

2. Adım 2 — v uzman matrisini, α_u uzman ağırlıkları ile m-PF ağırlıklı ortalama operatörü (mFWAO_α) kullanarak tek bir m-PF karar matrisi Z'de birleştir. Her kutup, üstel uzman ağırlıkları ile kaldırılan olasılıksal toplam olarak bağımsız birleştirilir.

   $$z_{ij}^k=1-\prod _{u=1}^v(1-z_{ij}^{(u),k}{)}^{{\alpha }_u},k=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   z_{ij}^{k}\;=\;1-\prod_{u=1}^{v}\bigl(1-z_{ij}^{(u),k}\bigr)^{\alpha_{u}},\quad k=1,\ldots,m

3. Adım 3 — Shannon entropi formülü ile nesnel skaler kriter ağırlıkları w_j'yi türet. (i) Aggregat hücreleri skorla: s_{ij} = (1/m)Σ_h z_{ij}^h. (ii) Sütun-bazlı projeksiyon: k_{ij} = s_{ij} / Σ_i s_{ij}. (iii) Entropi: e_j = −(1/log r) Σ_i k_{ij} log(k_{ij}). (iv) Sapma: ∂_j = 1 − e_j. (v) Normalize: w_j = ∂_j / Σ_j ∂_j. Ağırlıklar skalerdir (kriter başına tek sayı).

   $$s_{ij}=\frac{1}{m}\sum _{h=1}^m{z}_{ij}^h;k_{ij}={\displaystyle \frac{s_{ij}}{{\sum }_{i=1}^r{s}_{ij}}};e_j=-{\displaystyle \frac{1}{\log r}}\sum _{i=1}^r{k}_{ij}\log (k_{ij});{\partial }_j=1-e_j;w_j={\displaystyle \frac{{\partial }_j}{{\sum }_{j=1}^s{\partial }_j}}$$
   LaTeX

   s_{ij}=\tfrac{1}{m}\sum_{h=1}^{m}z_{ij}^{h};\;\; k_{ij}=\dfrac{s_{ij}}{\sum_{i=1}^{r}s_{ij}};\;\; e_{j}=-\dfrac{1}{\log r}\sum_{i=1}^{r}k_{ij}\log(k_{ij});\;\; \partial_{j}=1-e_{j};\;\; w_{j}=\dfrac{\partial_{j}}{\sum_{j=1}^{s}\partial_{j}}

4. Adım 4 — Aggregat edilen her hücrenin her kutbunu sütununun skaler kriter ağırlığı w_j ile çarparak ağırlıklı m-PF karar matrisi Y'yi oluştur: y_{ij}^k = z_{ij}^k · w_j. (Not: w_j skalerdir — aynı çarpan her kutbu çarpar — MPF-ELECTRE-II'de m-PF ağırlığının vektör olup kutup-bazlı çarpılmasının aksine.)

   $$Y=(y_{ij}),y_{ij}=(z_{ij}^1{w}_j,z_{ij}^2{w}_j,\dots ,z_{ij}^m{w}_j)$$
   LaTeX

   Y=(y_{ij}),\;\; y_{ij}=(z_{ij}^{1}\,w_{j},\,z_{ij}^{2}\,w_{j},\,\ldots,\,z_{ij}^{m}\,w_{j})

5. Adım 5 — Her sıralı çift (p,q) p≠q ve her kriter t_j için, s(y_{pj}) ve s(y_{qj}) skor derecelerini (q_j, p_j) eşiklerine karşı karşılaştır ve çift-kriter ikilisini üç sözde-kriter tercih modundan birine sınıfla: kesin tercih P (s(y_{pj}) − s(y_{qj}) > p_j), zayıf tercih Q (q_j < s(y_{pj}) − s(y_{qj}) ≤ p_j) veya ilgisizlik I (|s(y_{pj}) − s(y_{qj})| ≤ q_j).

   $$s(y_{ij})=\frac{1}{m}\sum _h{y}_{ij}^h;x_p𝐏x_q:s(y_{pj})-s(y_{qj})>p_j;x_p𝐐x_q:q_j<s(y_{pj})-s(y_{qj})\le p_j;x_p𝐈x_q:|s(y_{pj})-s(y_{qj})|\le q_j$$
   LaTeX

   s(y_{ij})=\tfrac{1}{m}\sum_{h}y_{ij}^{h};\;\; x_{p}\mathbf{P}x_{q}\!:\,s(y_{pj})-s(y_{qj})>p_{j};\;\; x_{p}\mathbf{Q}x_{q}\!:\,q_{j}<s(y_{pj})-s(y_{qj})\le p_{j};\;\; x_{p}\mathbf{I}x_{q}\!:\,|s(y_{pj})-s(y_{qj})|\le q_{j}

6. Adım 6 — Kriter-başı kısmi uyum indeksi C_j(x_p,x_q)'yu hesapla (Denklem 5.14): j∈ℝ^P_{pq} (x_p P x_q VEYA x_p I x_q VEYA x_p Q x_q ve fark en fazla q_j olan kriterler kümesi) ise 1; doğrusal rampa j∈ℝ^Q_{pq} (fark (q_j, p_j] aralığında) için (p_j − (s(y_{qj}) − s(y_{pj})))/(p_j − q_j); aksi takdirde 0. Kapsamlı uyum indeksi C_{pq} = Σ_j w_j · C_j(x_p,x_q) (Denklem 5.15), Adım 3'ten gelen Shannon-entropi ağırlıkları w_j ile kısmi indeksleri birleştirir.

   $$C_j(x_p,x_q)=\{\begin{array}{cc}1,\hfill & j\in {ℝ}_{pq}^{𝐏}\hfill \\ {\displaystyle \frac{p_j-(s(y_{qj})-s(y_{pj}))}{p_j-q_j}},\hfill & j\in {𝕋}_{pq}^{𝐐}\hfill \\ 0,\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array};C_{pq}=\sum _{j=1}^s{w}_j{C}_j(x_p,x_q)$$
   LaTeX

   C_{j}(x_{p},x_{q})=\begin{cases}1, & j\in\mathbb{R}^{\mathbf{P}}_{pq}\\ \dfrac{p_{j}-(s(y_{qj})-s(y_{pj}))}{p_{j}-q_{j}}, & j\in\mathbb{T}^{\mathbf{Q}}_{pq}\\ 0,&\text{otherwise}\end{cases};\quad C_{pq}=\sum_{j=1}^{s}w_{j}\,C_{j}(x_{p},x_{q})

7. Adım 7 — Kriter-başı kısmi uyumsuzluk indeksi D_j(x_p,x_q)'yu hesapla (Denklem 5.16): fark s(y_{qj}) − s(y_{pj}) ≥ ν_j ise 1 (tam veto); fark ≤ p_j ise 0 (uyumsuzluk yok); p_j < fark < ν_j olduğunda doğrusal enterpolasyon (s(y_{qj}) − s(y_{pj}) − p_j)/(ν_j − p_j). MPF-ELECTRE-III'te kapsamlı uyumsuzluk matrisi yoktur: kısmi uyumsuzluklar D_j doğrudan Adım 8'deki güvenilirlik indeksine girer.

   $$D_j(x_p,x_q)=\{\begin{array}{cc}1,\hfill & s(y_{qj})-s(y_{pj})\ge {\nu }_j\hfill \\ 0,\hfill & s(y_{qj})-s(y_{pj})\le p_j\hfill \\ {\displaystyle \frac{(s(y_{qj})-s(y_{pj}))-p_j}{{\nu }_j-p_j}},\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   D_{j}(x_{p},x_{q})=\begin{cases}1, & s(y_{qj})-s(y_{pj})\ge\nu_{j}\\ 0, & s(y_{qj})-s(y_{pj})\le p_{j}\\ \dfrac{(s(y_{qj})-s(y_{pj}))-p_{j}}{\nu_{j}-p_{j}}, & \text{otherwise}\end{cases}

8. Adım 8 — Güvenilirlik indeksi β(x_p, x_q)'yu hesapla (Denklem 5.17). 𝕁̄(x_p, x_q) = {j : D_j(x_p,x_q) > C_{pq}} olsun. 𝕁̄ boş ise (hiçbir kriterin kısmi uyumsuzluğu kapsamlı uyumdan büyük değil), β(x_p, x_q) = C_{pq}. Aksi takdirde kapsamlı uyum, güçlü uyumsuz her kriter tarafından küçültülür: β(x_p, x_q) = C_{pq} · Π_{j∈𝕁̄}(1 − D_j(x_p,x_q))/(1 − C_{pq}).

   $$\beta (x_p,x_q)=\{\begin{array}{cc}{C}_{pq},\hfill & \overline{𝕁}(x_p,x_q)=\varnothing \hfill \\ C_{pq}{\displaystyle }\prod _{j\in \overline{𝕁}(x_p,x_q)}{\displaystyle \frac{1-D_j(x_p,x_q)}{1-C_{pq}}},\hfill & \text{otherwise}\hfill \end{array};\overline{𝕁}(x_p,x_q)=\{j:D_j(x_p,x_q)>C_{pq}\}$$
   LaTeX

   \beta(x_{p},x_{q})=\begin{cases}C_{pq}, & \bar{\mathbb{J}}(x_{p},x_{q})=\varnothing\\ C_{pq}\displaystyle\prod_{j\in\bar{\mathbb{J}}(x_{p},x_{q})}\dfrac{1-D_{j}(x_{p},x_{q})}{1-C_{pq}}, & \text{otherwise}\end{cases};\;\; \bar{\mathbb{J}}(x_{p},x_{q})=\{j:D_{j}(x_{p},x_{q})>C_{pq}\}

9. Adım 9 — Li & Wang net güvenilirlik sıralaması. Uyum güvenilirlik γ^+(x_p) = Σ_{q≠p} β(x_p, x_q), x_p'nin diğer her alternatife üstünlük kuvvetidir. Uyumsuzluk güvenilirlik γ^-(x_p) = Σ_{q≠p} β(x_q, x_p), diğer alternatiflerin x_p'yi geçtiği kuvvettir. Net güvenilirlik γ(x_p) = γ^+(x_p) − γ^-(x_p). Alternatifleri γ'ya göre azalan sırada sırala: en yüksek γ, en iyi alternatiftir.

   $${\gamma }^{+}(x_p)=\sum _{q\ne p}\beta (x_p,x_q);{\gamma }^{-}(x_p)=\sum _{q\ne p}\beta (x_q,x_p);\gamma (x_p)={\gamma }^{+}(x_p)-{\gamma }^{-}(x_p);\text{rank}(x_p)=\text{rank of }\gamma (x_p)\text{ in descending order}$$
   LaTeX

   \gamma^{+}(x_{p})=\!\!\sum_{q\neq p}\!\beta(x_{p},x_{q});\;\; \gamma^{-}(x_{p})=\!\!\sum_{q\neq p}\!\beta(x_{q},x_{p});\;\; \gamma(x_{p})=\gamma^{+}(x_{p})-\gamma^{-}(x_{p});\;\; \text{rank}(x_{p})=\text{rank of }\gamma(x_{p})\text{ in descending order}

Sezgi

Pseudo-criterion outranking - q/p/ν thresholds, Shannon-entropy objective weights, partial concordance/discordance and Li-Wang credibility-based net ranking. Output typically net_credibility_score (higher value = preferred).

Sonucu okuma: MPF-ELECTRE-III is a group decision method with three innovations over MPF-ELECTRE-II: (1) it derives objective scalar criterion weights internally via Shannon's entropy formula (Eqs. 5.4-5.8), so no externally elicited weights are required; (2) it replaces binary concordance/discordance with pseudo-criterion partial indices governed by three per-criterion thresholds - indifference q_j, preference p_j and veto ν_j (Table 5.9 in the case study); (3) it ranks via the Li-Wang net credibility γ(x_p) = γ^+(x_p) − γ^-(x_p) in descending order - no Belton-Stewart distillation. The pseudo-criterion model is appropriate when small performance differences should not count as strict preference, and when an analyst wants explicit, criterion-specific veto power.

Varsayımlar

• Each cell of every expert's decision matrix is a valid m-Polar Fuzzy tuple z_{ij}^{(u),k} ∈ [0,1]^m with a fixed pole count m across the whole problem (§5.2 Step 1)
• Expert weights α_u ≥ 0 satisfy Σ_u α_u = 1 (Eq. 5.3 aggregation requires a stochastic α-vector; §5.3 uses α=(0.3654, 0.2885, 0.3462))
• All criteria are benefit-oriented (or cost criteria have been transformed prior to Step 1 via componentwise complement 1 − z); Eq. 5.3 probabilistic-sum aggregation assumes monotone-up semantics
• Pseudo-criterion thresholds satisfy 0 ≤ q_j < p_j ≤ ν_j and are commensurate with the score-degree scale s(y_{ij}) ∈ [0,1] (Eqs. 5.10-5.13, §5.3 Table 5.9 uses q ∈ [0.0005, 0.02], p ∈ [0.0015, 0.08], ν ∈ [0.003, 0.1])
• Score function s(y_{ij}) = (Σ_h y_{ij}^h)/m and the column-projection k_{ij} = s_{ij}/Σ_i s_{ij} are non-degenerate (i.e. at least one criterion j has Σ_i s_{ij} > 0, otherwise Shannon entropy in Step 3 collapses)
• Group inputs are aggregated at the m-PF matrix level (Eq. 5.3) before any downstream step - per-expert ranking aggregation is not part of the §5.2 algorithm and would invalidate Steps 3-9

Ne zaman kullanılmaz

• Single-decision-maker problem with no need for pseudo-criterion semantics - use MPF-ELECTRE-I for choice or MPF-ELECTRE-II for ranking without q/p/ν machinery
• Best-alternative selection only (Pα problematic) - MPF-ELECTRE-I returns the kernel directly without the credibility-index overhead
• External criterion weights must be honoured (e.g. ANP/AHP/BWM elicitation already exists) - MPF-ELECTRE-III's Step 3 overrides external weights with internal Shannon entropy; pair MPF-ELECTRE-II with external weighting instead
• Classical (m=1) data with no fuzziness - Akram & Adeel (2023) §5.2 reduces algebraically to Roy (1978) ELECTRE-III with Shannon-entropy weighting; use the crisp ELECTRE-III pipeline directly

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: ELECTRE-family-Roy-1968)
• Assumes: Each cell of every expert's decision matrix is a valid m-Polar Fuzzy tuple z_{ij}^{(u),k} ∈ [0,1]^m with a fixed pole count m across the whole problem (§5.2 Step 1)
• Assumes: Expert weights α_u ≥ 0 satisfy Σ_u α_u = 1 (Eq. 5.3 aggregation requires a stochastic α-vector; §5.3 uses α=(0.3654, 0.2885, 0.3462))
• Assumes: All criteria are benefit-oriented (or cost criteria have been transformed prior to Step 1 via componentwise complement 1 − z); Eq. 5.3 probabilistic-sum aggregation assumes monotone-up semantics
• Assumes: Pseudo-criterion thresholds satisfy 0 ≤ q_j < p_j ≤ ν_j and are commensurate with the score-degree scale s(y_{ij}) ∈ [0,1] (Eqs. 5.10-5.13, §5.3 Table 5.9 uses q ∈ [0.0005, 0.02], p ∈ [0.0015, 0.08], ν ∈ [0.003, 0.1])

Sık yapılan hatalar

• m-kutuplu bulanık ile ikutuplu (bipolar) bulanığı karıştırmak. m-PF üyelik [0,1]^m'dedir (bağımsız özellikler); bipolar bulanık ⟨μ⁺∈[0,1], μ⁻∈[-1,0]⟩ (tek niteliğin karşıt yönleri) kullanır. Farklı değer uzayları - BF-* manifestleri MPF-* manifestlerinin m=2 özel durumu DEĞİLDİR.
• Eşik sıralaması. Sözde-kriter modeli her kriter t_j için 0 ≤ q_j < p_j ≤ ν_j gerektirir. Kitabın Denklem 5.10 dipnotu 'p_j ≥ q_j' yazar; bu zayıfça doğrudur ancak dejeneredir: q_j = p_j olduğunda zayıf tercih aralığı (q_j, p_j] boştur ve kısmi uyum C_j 0/1 göstergeyle çöker (doğrusal rampa yok). Uygulamalar, kasıtlı bir sert-eşik modeli amaçlanmadıkça kesin q_j < p_j zorlamalıdır.
• Adım 4 alıntı hatası örnek olay metninde. §5.3 anlatım 4. madde (kitap s.298) şöyle der: 'Aggregat ağırlıklı m-PF karar matrisi, Denklem 4.7 ışığında hesaplanır, Tablo 5.8 ile gösterilir.' Referans bir bölümler-arası yazım hatasıdır: doğru denklem Denklem 5.9'dur (y_{ij}^k = z_{ij}^k · w_j). Uygulamalar Denklem 5.9'u takip etmeli, Denklem 4.7'yi değil (Bölüm 4'teki farklı bir operatöre atıfta bulunur).
• MPF-ELECTRE-II ve MPF-ELECTRE-III arasında skaler ve vektör ağırlıkları. MPF-ELECTRE-II'de kriter ağırlığı w_j kendisi bir m-PF vektörüdür - ağırlıklı Y matrisi kutup-bazlı kurulur: y_{ij}^k = z_{ij}^k · w_j^k. MPF-ELECTRE-III'te entropi ağırlığı w_j skalerdir - aynı çarpan her kutbu çarpar: y_{ij}^k = z_{ij}^k · w_j. İki sözleşmeyi karıştırmak yanlış Y değerleri ve sonraki uyum/uyumsuzluk indekslerini sessizce üretir.
• Dahili ağırlıklar - dış ağırlıklar. MPF-ELECTRE-III, ağırlıkları veriden kasıtlı olarak türetir (skor-derecesi projeksiyonu üzerinde Shannon entropi) ve dışarıdan elde edilen tercihleri TÜKETMEZ. Yönteme öznel ağırlıklar vermek Adım 3'ü atlatır ve MPF-ELECTRE-II'ye karşı ana avantajını kaldırır (kitap §5.4.3 5. madde). Tersine, çok düz veri (tekdüze skor projeksiyonu k_{ij}) entropi e_j'yi 1'e ve sapma ∂_j'yi 0'a sürer, dejenerasyon ağırlık üretir - sıralamaya güvenmeden önce Tablo 5.6'nın entropi ve sapma satırlarını her zaman inceleyin.