MPF-ELECTRE-II - Çoklu kriter grup karar verme için ELECTRE-II yönteminin m-Kutuplu Bulanık (m-PF) uzantısı (Akram ve Adeel 2023)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her uzman e_u için bağımsız m-PF karar matrisleri Z^{(u)} oluştur (u=1,…,v). z_{ij}^{(u)} = (z_{ij}^{(u),1},…,z_{ij}^{(u),m}), x_i alternatifinin t_j kriteri üzerindeki m-kutuplu değerlendirmesidir.

   $$Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\dots ,z_{ij}^{(u),m}),u=1,\dots ,v$$
   LaTeX

   Z^{(u)}=(z_{ij}^{(u)}),\;\; z_{ij}^{(u)}=(z_{ij}^{(u),1},\ldots,z_{ij}^{(u),m}),\;\; u=1,\ldots,v

2. Adım 2 — v uzman matrisini, α_u uzman ağırlıkları ile m-PF ağırlıklı ortalama operatörü kullanarak tek bir m-PF karar matrisi Z'de birleştir. Her kutup, olasılıksal-toplam biçiminde bağımsız olarak birleştirilir.

   $$z_{ij}^k=1-\prod _{u=1}^v(1-z_{ij}^{(u),k}{)}^{{\alpha }_u},k=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   z_{ij}^{k}\;=\;1-\prod_{u=1}^{v}\bigl(1-z_{ij}^{(u),k}\bigr)^{\alpha_{u}},\quad k=1,\ldots,m

3. Adım 3 — Uzman-başı m-PF kriter ağırlıkları w_j^{(u)}'yi Denklem 4.23 ile (Adım 2 ile aynı operatör) tek bir m-PF kriter ağırlığı w_j'ye birleştir. Skor fonksiyonu s(w_j) = (Σ_h w_j^h)/m kullanılarak skaler normalize ağırlıklar γ_j = s(w_j) / Σ s(w_j) hesapla.

   $$w_j^k=1-\prod _{u=1}^v(1-w_j^{(u),k}{)}^{{\alpha }_u};s(w_j)=\frac{1}{m}\sum _{h=1}^m{w}_j^h;{\gamma }_j={\displaystyle \frac{s(w_j)}{{\sum }_{j=1}^{s}s(w_j)}}$$
   LaTeX

   w_{j}^{k}=1-\prod_{u=1}^{v}\bigl(1-w_{j}^{(u),k}\bigr)^{\alpha_{u}};\;\; s(w_{j})=\tfrac{1}{m}\sum_{h=1}^{m}w_{j}^{h};\;\; \gamma_{j}=\dfrac{s(w_{j})}{\sum_{j=1}^{s}s(w_{j})}

4. Adım 4 — Aggregat edilen Z'yi m-PF kriter ağırlıkları w_j ile kutup-bazlı çarparak ağırlıklı m-PF karar matrisi Y'yi oluştur: y_{ij}^k = z_{ij}^k · w_j^k.

   $$Y=(y_{ij}),y_{ij}=(z_{ij}^1{w}_j^1,z_{ij}^2{w}_j^2,\dots ,z_{ij}^m{w}_j^m)$$
   LaTeX

   Y=(y_{ij}),\;\; y_{ij}=(z_{ij}^{1}w_{j}^{1},\,z_{ij}^{2}w_{j}^{2},\ldots,z_{ij}^{m}w_{j}^{m})

5. Adım 5 — Her sıralı çift (p,q), p≠q için kriter indekslerini, skor s(y_{ij})=(Σ_h y_{ij}^h)/m kullanarak üç kesişmeyen kümeye ayır: uyum F_{pq}={j: s(y_{pj})>s(y_{qj})}, uyumsuzluk G_{pq}={j: s(y_{pj})<s(y_{qj})}, ilgisiz I_{pq}={j: s(y_{pj})=s(y_{qj})}.

   $$s(y_{ij})=\frac{1}{m}\sum _{h=1}^m{y}_{ij}^h;F_{pq}=\{j:s(y_{pj})>s(y_{qj})\};G_{pq}=\{j:s(y_{pj})<s(y_{qj})\};I_{pq}=\{j:s(y_{pj})=s(y_{qj})\}$$
   LaTeX

   s(y_{ij})=\tfrac{1}{m}\sum_{h=1}^{m}y_{ij}^{h};\;\; F_{pq}=\{j:s(y_{pj})>s(y_{qj})\};\;\; G_{pq}=\{j:s(y_{pj})<s(y_{qj})\};\;\; I_{pq}=\{j:s(y_{pj})=s(y_{qj})\}

6. Adım 6 — m-PF uyum matrisi F=[f_{pq}] kur: f_{pq} = γ^c · Σ_{j∈F_{pq}} γ_j + γ^i · Σ_{j∈I_{pq}} γ_j. γ^c ve γ^i, uyum ve ilgisiz kümelerinin kullanıcı tarafından sağlanan göreli ağırlıklarıdır.

   $$f_{pq}={\gamma }^c\sum _{j\in F_{pq}}{\gamma }_j+{\gamma }^i\sum _{j\in I_{pq}}{\gamma }_j$$
   LaTeX

   f_{pq}=\gamma^{c}\!\sum_{j\in F_{pq}}\gamma_{j}+\gamma^{i}\!\sum_{j\in I_{pq}}\gamma_{j}

7. Adım 7 — m-PF uyumsuzluk matrisi G=[g_{pq}] kur. g_{pq}, G_{pq}'ye kısıtlı kutup-başı Öklit uzaklığı küresel maksimum uzaklığa bölünür: g_{pq} = max_{j∈G_{pq}} d(y_{pj},y_{qj}) / max_{j} d(y_{pj},y_{qj}); d(y_{pj},y_{qj}) = √((1/m)Σ_k(y_{pj}^k−y_{qj}^k)²). G_{pq}=∅ ise g_{pq}=0 al.

   $$g_{pq}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {max}_{j\in G_{pq}}d(y_{pj},y_{qj})}}{{\displaystyle {max}_{j}d(y_{pj},y_{qj})}}},d(y_{pj},y_{qj})=\sqrt{\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m(y_{pj}^k-y_{qj}^k{)}^2}$$
   LaTeX

   g_{pq}=\dfrac{\displaystyle\max_{j\in G_{pq}}d(y_{pj},y_{qj})}{\displaystyle\max_{j}d(y_{pj},y_{qj})},\;\; d(y_{pj},y_{qj})=\sqrt{\tfrac{1}{m}\sum_{k=1}^{m}(y_{pj}^{k}-y_{qj}^{k})^{2}}

8. Adım 8 — Beş eşikli (c⁻, c°, c*) ve (d°, d*) güçlü (R^s) ve zayıf (R^w) üstünlük ilişkileri kur. Güçlü: x_p R^s x_q ⟺ [f_{pq}≥c* ∧ g_{pq}≤d* ∧ f_{pq}>f_{qp}] VEYA [f_{pq}≥c° ∧ g_{pq}≤d° ∧ f_{pq}>f_{qp}]. Zayıf: x_p R^w x_q ⟺ [f_{pq}≥c⁻ ∧ g_{pq}≤d° ∧ f_{pq}>f_{qp}].

   $$R^s:(f_{pq}\ge c^{*}\wedge g_{pq}\le d^{*}\wedge f_{pq}>f_{qp})\vee (f_{pq}\ge c^{\circ }\wedge g_{pq}\le d^{\circ }\wedge f_{pq}>f_{qp});R^w:f_{pq}\ge c^{-}\wedge g_{pq}\le d^{\circ }\wedge f_{pq}>f_{qp}$$
   LaTeX

   R^{s}:\;\bigl(f_{pq}\ge c^{*}\wedge g_{pq}\le d^{*}\wedge f_{pq}>f_{qp}\bigr)\vee\bigl(f_{pq}\ge c^{\circ}\wedge g_{pq}\le d^{\circ}\wedge f_{pq}>f_{qp}\bigr);\quad R^{w}:\;f_{pq}\ge c^{-}\wedge g_{pq}\le d^{\circ}\wedge f_{pq}>f_{qp}

9. Adım 9 — İleri β^F ve geri β^R sıralamaların ortalaması olarak nihai β sıralamasını hesapla. İleri sıralama yineler: V(k)={G^s'de öncül kenarı olmayan düğümler}; Ẽ(k)={her iki ucu V(k)'da olan G^w yayları}; G̃(k)=(V(k), Ẽ(k)); S(k)={G̃(k)'da öncül yayı olmayan düğümler}; x_p∈S(k) ise x_p'yi k konumunda sırala; S(k)'yi sil ve A(k+1)=∅ olana dek tekrarla. Geri sıralama tüm yay yönleri ters çevrilmiş grafiğe aynı prosedürü uygular, sonra β^R(x_p)=1+max_p β'(x_p)−β'(x_p). Ortalama: β(x_p)=(β^F(x_p)+β^R(x_p))/2.

   $${\beta }^R(x_p)=1+{max}_{x_p\in A}{\beta }^{\prime }(x_p)-{\beta }^{\prime }(x_p);\beta (x_p)={\displaystyle \frac{{\beta }^F(x_p)+{\beta }^R(x_p)}{2}}$$
   LaTeX

   \beta^{R}(x_{p})=1+\max_{x_{p}\in A}\beta'(x_{p})-\beta'(x_{p});\;\; \beta(x_{p})=\dfrac{\beta^{F}(x_{p})+\beta^{R}(x_{p})}{2}

Sezgi

Outranking - m-PF strong/weak relations with five concordance & discordance thresholds and forward/reverse/average iterative ranking. Output typically ranking_position (lower value = preferred).

Sonucu okuma: MPF-ELECTRE-II is a group decision method: it expects v independent expert decision matrices Z^(1),…,Z^(v) plus expert weights α and per-expert m-PF criterion weights w_j^(u). Step 2 aggregates these via a probabilistic-sum operator BEFORE normalisation. The final result is a complete ranking via the forward+reverse+average iterative procedure on strong and weak outranking graphs. Five thresholds tune the strict/lenient mix: three concordance levels (c⁻, c°, c*) and two discordance levels (d°, d*). The relative weights γ^c, γ^i in Eq. 4.31 control how strongly the indifferent set contributes to concordance - the nuclear-plant case study uses γ^c=1, γ^i=0 (because every indifferent set is empty for distinct alternatives in that dataset).

Varsayımlar

• Each criterion is uniformly m-polar across all alternatives and experts (constant pole count m)
• Expert weights α=(α_1,…,α_v) satisfy Σα_u=1 (probabilistic-sum aggregation Eq.4.22)
• All m-PF tuples are benefit-oriented (algorithm assumes higher pole value = better; cost criteria must be pre-transformed)
• Five threshold values satisfy 0 < c⁻ < c° < c* < 1 and 0 < d° < d* < 1 (paper p.264, Step 8)
• Concordance/indifference set weights γ^c, γ^i are non-negative (Eq.4.31)
• Group decisions are aggregated at the matrix-level moment (per-expert Z^(u) merged via Eq.4.22 BEFORE outranking is computed)

Ne zaman kullanılmaz

• Only a single decision-maker is available - MPF-ELECTRE-I or MPF-TOPSIS is simpler when v=1
• Best-alternative selection is sufficient and a full ranking is not required - MPF-ELECTRE-I avoids the iterative graph-ranking overhead
• Pseudo-criteria with explicit indifference/preference thresholds (q, p) are needed - use MPF-ELECTRE-III instead
• All criteria are crisp (m=1) - fallback to classical Grolleau-Tergny 1971 ELECTRE-II to avoid spurious pole averaging

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: ELECTRE-family-Roy-1968)
• Assumes: Each criterion is uniformly m-polar across all alternatives and experts (constant pole count m)
• Assumes: Expert weights α=(α_1,…,α_v) satisfy Σα_u=1 (probabilistic-sum aggregation Eq.4.22)
• Assumes: All m-PF tuples are benefit-oriented (algorithm assumes higher pole value = better; cost criteria must be pre-transformed)
• Assumes: Five threshold values satisfy 0 < c⁻ < c° < c* < 1 and 0 < d° < d* < 1 (paper p.264, Step 8)

Sık yapılan hatalar

• m-kutuplu bulanık ile ikutuplu (bipolar) bulanığı karıştırmak. m-PF üyelik [0,1]^m'dedir (bağımsız özellikler); bipolar bulanık ⟨μ⁺∈[0,1], μ⁻∈[-1,0]⟩ (tek niteliğin karşıt yönleri) kullanır. Farklı değer uzayları - BF-* manifestleri MPF-* manifestlerinin m=2 özel durumu DEĞİLDİR.
• Eşik sıralaması. Algoritma 0 < c⁻ < c° < c* < 1 ve 0 < d° < d* < 1 (Adım 8, s.264) varsayar. Akram & Adeel (2023) örnek metni s.277'de '(d*, d°) = (0.50, 0.60)' yazar; bu bir gösterim hatasıdır: değerler, d° < d*'yi sağlamak ve yayımlanan üstünlük matrisini (Tablo 4.26) yeniden üretmek için d°=0.50 (daha sıkı veto) ve d*=0.60 (daha gevşek veto) olarak eşleştirilmelidir. Eşik sıralamasını girişte doğrulayın.
• Zayıf-ilişki eşiği belirsizliği. Yazıldığı haliyle Denklem 4.35, zayıf üstünlük ilişkisi için 'g_{pq} ≤ d°' kullanır, fakat Tablo 4.26'yı (x3 R^w x2 ile g_{32}=0.5376 > d°=0.50 listeler) yeniden üretmek d*'nin kullanılmasını gerektirir. Klasik Grolleau-Tergny ELECTRE-II, zayıf ilişki için daha büyük uyumsuzluk eşiğini kullanır. Yayımlanan örneği hedefleyen uygulamalar, Denklem 4.35'i 'g_{pq} ≤ d*' olarak ele almalıdır.
• Uzman birleştirme zamanı önemlidir. Adım 2'nin m-PF ağırlıklı ortalaması (Denklem 4.22), herhangi bir kriter ağırlıklandırmasından önce HAM uzman matrisleri üzerinde çalışır. Bu sırayı tersine çevirmek (önce uzman-başı ağırlıklandırma, sonra birleştirme) operatörün simetrisini bozar ve hem F hem de G matrislerini sessizce değiştirir.