MPF-ELECTRE-I - ELECTRE-I yönteminin m-Kutuplu Bulanık (m-PF) uzantısı (Akram, Waseem ve Liu 2019)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — m-PF karar matrisi Z=(z_{ij}) oluştur; z_{ij}=(z_{ij}^1, z_{ij}^2, …, z_{ij}^m).

   $$Z=(z_{ij}),z_{ij}=(z_{ij}^1,z_{ij}^2,\dots ,z_{ij}^m)$$
   LaTeX

   Z=(z_{ij}),\;\; z_{ij}=(z_{ij}^{1}, z_{ij}^{2}, \ldots, z_{ij}^{m})

2. Adım 2 — Ağırlıklı m-PF karar matrisi Y=(y_{ij}), y_{ij}=w_j·z_{ij}=(w_j z_{ij}^1, …, w_j z_{ij}^m).

   $$Y=(y_{ij})=(y_{ij}^1,y_{ij}^2,\dots ,y_{ij}^m),y_{ij}^k=w_j{z}_{ij}^k$$
   LaTeX

   Y=(y_{ij})=(y_{ij}^{1}, y_{ij}^{2}, \ldots, y_{ij}^{m}),\;\; y_{ij}^{k}=w_{j}\,z_{ij}^{k}

3. Adım 3 — m-PF uyum kümesi F_{pq}={j : v_{pj} ≥ v_{qj}}; burada v_{ij}=Σ_{k=1}^m y_{ij}^k, ağırlıklı hücrenin m kutbunu toplar.

   $$F_{pq}=\{1\le j\le n:v_{pj}\ge v_{qj},p\ne q\},v_{ij}=\sum _{k=1}^m{y}_{ij}^k$$
   LaTeX

   F_{pq}=\{1\le j\le n : v_{pj}\ge v_{qj},\; p\ne q\},\;\; v_{ij}=\sum_{k=1}^{m} y_{ij}^{k}

4. Adım 4 — m-PF uyumsuzluk kümesi G_{pq}={j : v_{pj} ≤ v_{qj}}.

   $$G_{pq}=\{1\le j\le n:v_{pj}\le v_{qj},p\ne q\}$$
   LaTeX

   G_{pq}=\{1\le j\le n : v_{pj}\le v_{qj},\; p\ne q\}

5. Adım 5 — m-PF uyum indeksleri f_{pq}=Σ_{j∈F_{pq}} w_j ve uyum matrisi F.

   $$f_{pq}=\sum _{j\in F_{pq}}{w}_j,F=[f_{pq}{]}_{r\times r}$$
   LaTeX

   f_{pq}=\sum_{j\in F_{pq}} w_{j},\;\; F=[f_{pq}]_{r\times r}

6. Adım 6 — m-PF uyumsuzluk indeksleri g_{pq} (kutuplar üzerinden normalize Öklit uzaklık oranı) ve uyumsuzluk matrisi G.

   $$g_{pq}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {max}_{j\in G_{pq}}\sqrt{\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m(y_{pj}^k-y_{qj}^k{)}^2}}}{{\displaystyle {max}_j\sqrt{\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m(y_{pj}^k-y_{qj}^k{)}^2}}}},G=[g_{pq}{]}_{r\times r}$$
   LaTeX

   g_{pq}=\dfrac{\displaystyle\max_{j\in G_{pq}}\sqrt{\tfrac{1}{m}\sum_{k=1}^{m}(y_{pj}^{k}-y_{qj}^{k})^{2}}}{\displaystyle\max_{j}\sqrt{\tfrac{1}{m}\sum_{k=1}^{m}(y_{pj}^{k}-y_{qj}^{k})^{2}}},\;\; G=[g_{pq}]_{r\times r}

7. Adım 7 — Uyum seviyesi f̄ ve uyumsuzluk seviyesi ḡ (F ve G köşegen-dışı indekslerinin ortalaması).

   $$\overline{f}={\displaystyle \frac{1}{r(r-1)}}\sum _{p=1}^r\sum _{\begin{array}{c}q=1\\ q\ne p\end{array}}^r{f}_{pq},\overline{g}={\displaystyle \frac{1}{r(r-1)}}\sum _{p=1}^r\sum _{\begin{array}{c}q=1\\ q\ne p\end{array}}^r{g}_{pq}$$
   LaTeX

   \bar f=\dfrac{1}{r(r-1)}\sum_{p=1}^{r}\sum_{\substack{q=1\\q\ne p}}^{r} f_{pq},\;\; \bar g=\dfrac{1}{r(r-1)}\sum_{p=1}^{r}\sum_{\substack{q=1\\q\ne p}}^{r} g_{pq}

8. Adım 8 — Uyum baskınlık H ve uyumsuzluk baskınlık L (eşik-temelli ikili matrisler).

   $$h_{pq}=\mathbb{1}[f_{pq}\ge \overline{f}],l_{pq}=\mathbb{1}[g_{pq}<\overline{g}]$$
   LaTeX

   h_{pq}=\mathbb{1}[f_{pq}\ge \bar f],\;\; l_{pq}=\mathbb{1}[g_{pq}<\bar g]

9. Adım 9 — Toplu baskınlık matrisi M = H ⊙ L (eleman-bazlı çarpım).

   $$M=H\odot L,m_{pq}=h_{pq}·l_{pq}$$
   LaTeX

   M=H\odot L,\;\; m_{pq}=h_{pq}\cdot l_{pq}

10. Adım 10 — Üstünlük yönlü grafiği kur: kenar p→q ⇔ m_{pq}=1. Tercihleri oku (tek yönlü kenar ⇒ x_p ≻ x_q; iki yönlü ⇒ ilgisiz; kenar yok ⇒ karşılaştırılamaz).

    $$p\to q⟺m_{pq}=1$$
    LaTeX

    p\to q \iff m_{pq}=1

Sezgi

Outranking - m-PF concordance/discordance with aggregate dominance graph. Output typically outranking_graph (lower value = preferred).

Sonucu okuma: MPF-ELECTRE-I produces a directed outranking graph over alternatives, not a complete numerical ranking. Read the graph: a node with high out-degree and zero in-degree dominates the field. Cells of the input matrix are m-polar tuples - each pole represents one independent criterion-attribute (e.g. sub-criteria of Infrastructure: fuel/water/transport). The pole aggregation v_{ij}=Σ y_{ij}^k preserves the multi-polar information until the final concordance comparison.

Varsayımlar

• Each decision cell is a true m-polar tuple in [0,1]^m (NOT a scalar fuzzy number).
• Number of poles m is uniform across all cells.
• Criterion weights w_j sum to 1 and are externally supplied (MPF-ELECTRE-I consumes weights, does not produce them).
• User accepts graph-valued output (incomparability and indifference are first-class outcomes; no forced linear ranking).

Ne zaman kullanılmaz

• User requires a complete linear ranking with scalar scores (use MPF-TOPSIS-LING or MPF-HF-TOPSIS instead).
• Number of alternatives r < 3 (outranking graph degenerates).
• Decision cells are scalar / interval / single-pole fuzzy (use crisp ELECTRE-I or a different fuzzy ELECTRE variant).

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: ELECTRE-family-Roy-1968)
• Assumes: Each decision cell is a true m-polar tuple in [0,1]^m (NOT a scalar fuzzy number).
• Assumes: Number of poles m is uniform across all cells.
• Assumes: Criterion weights w_j sum to 1 and are externally supplied (MPF-ELECTRE-I consumes weights, does not produce them).
• Assumes: User accepts graph-valued output (incomparability and indifference are first-class outcomes; no forced linear ranking).

Sık yapılan hatalar

• m-PF hücrelerini skaler gibi işlemek. Her hücre m-demet bir tupledır; v_{ij} toplamı yalnızca uyum/uyumsuzluk kümesi testi için kullanılan ara agregasyondur, hücre değerinin kendisi DEĞİL.
• m-kutuplu bulanık ile ikutuplu (bipolar) bulanığı karıştırmak. m-PF üyelik [0,1]^m'dedir (bağımsız özellikler); bipolar bulanık ⟨μ⁺∈[0,1], μ⁻∈[-1,0]⟩ (tek niteliğin karşıt yönleri) kullanır. Farklı değer uzayları - BF-* manifestleri MPF-* manifestlerinin m=2 özel durumu DEĞİLDİR.
• Boş üstünlük grafiği (hiçbir yerde kenar yok): ağırlıklar çok homojen veya kutup değerleri çok benzer. Yöntemin başarısızlığını varsaymadan önce Y matrisini ve v_{ij} toplamlarını inceleyin.