MPF-DOMBI-WA - m-Kutuplu Bulanık Dombi Ağırlıklı Ortalama / Geometrik MCDM (Akram, Yaqoob, Ali ve Chammam 2020 / Akram ve Adeel 2023 Bölüm 8) - Dombi t-konorm/t-normuna dayalı toplama operatörleriyle (mFDWA birincil, mFDWG eşlik eden) tek-karar-vericili m-PF MCDM sıralaması ve sonrasında m-PF skoruna göre azalan sıralama

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. m-PF karar matrisini S = (s_{ij})_{t×n} (s_{ij} bir m-PF sayısı), kriter ağırlık vektörünü Θ ile (Σ_j Θ_j = 1, Θ_j ∈ (0,1]), Dombi parametresi k ≥ 1 ve operatör seçimini ∈ {mFDWA, mFDWG} al. E-1 ila E-6 alan kısıtlarını doğrula.

   $$S=(s_{ij}{)}_{t\times n},s_{ij}=(p_1\circ {\zeta }_{ij},\dots ,p_m\circ {\zeta }_{ij}),p_r\circ {\zeta }_{ij}\in [0,1];\Theta =({\Theta }_1,\dots ,{\Theta }_n),\sum _{j=1}^n{\Theta }_j=1,{\Theta }_j\in (0,1];k\ge 1.$$
   LaTeX

   S = (s_{ij})_{t \times n}, \quad s_{ij} = (p_1 \circ \zeta_{ij}, \ldots, p_m \circ \zeta_{ij}), \quad p_r \circ \zeta_{ij} \in [0,1]; \quad \Theta = (\Theta_1,\ldots,\Theta_n), \quad \sum_{j=1}^n \Theta_j = 1, \quad \Theta_j \in (0,1]; \quad k \ge 1.

2. Seçilen Dombi toplama operatörünü satır-bazlı uygulayarak her alternatif Y_i (i=1,…,t) için tercih değeri s_i'yi elde et. mFDWA için (Tanım 5, Teorem 2, Denklem 6), s_i'nin r-kutup koordinatı 1 − 1/(1 + {Σ_j Θ_j ((p_r◦ζ_{ij})/(1 − p_r◦ζ_{ij}))^k}^{1/k}). mFDWG için (Tanım 8, Teorem 9), s_i'nin r-kutup koordinatı 1/(1 + {Σ_j Θ_j ((1 − p_r◦ζ_{ij})/(p_r◦ζ_{ij}))^k}^{1/k}). Her ikisi de m-PF sayıları s_i = (p_1◦ζ_{i·}, …, p_m◦ζ_{i·}) ∈ [0,1]^m üretir.

   $$\text{mFDWA: }{s}_i={\mathrm{m}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{A}}_{\Theta }(s_{i1},\dots ,s_{in})={\oplus }_{j=1}^n\left({\Theta }_j{s}_{ij}\right)=(1-\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{j=1}^n{\Theta }_j(\frac{p_1\circ {\zeta }_{ij}}{1-p_1\circ {\zeta }_{ij}}{)}^k{\backslash \}}^{1/k}},\dots ,1-\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{j=1}^n{\Theta }_j(\frac{p_m\circ {\zeta }_{ij}}{1-p_m\circ {\zeta }_{ij}}{)}^k{\backslash \}}^{1/k}}).\text{mFDWG: }{s}_i={\mathrm{m}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{G}}_{\Theta }(s_{i1},\dots ,s_{in})={\otimes }_{j=1}^n((s_{ij}{)}^{{\Theta }_j})=(\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{j=1}^n{\Theta }_j(\frac{1-p_1\circ {\zeta }_{ij}}{p_1\circ {\zeta }_{ij}}{)}^k{\backslash \}}^{1/k}},\dots ,\frac{1}{1+\backslash \{{\sum }_{j=1}^n{\Theta }_j(\frac{1-p_m\circ {\zeta }_{ij}}{p_m\circ {\zeta }_{ij}}{)}^k{\backslash \}}^{1/k}}).$$
   LaTeX

   \text{mFDWA: } s_i = \mathrm{mFDWA}_{\Theta}(s_{i1}, \ldots, s_{in}) = \oplus_{j=1}^{n}\bigl(\Theta_j\, s_{ij}\bigr) = \Bigl(1 - \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{j=1}^{n}\Theta_j\,(\tfrac{p_1\circ\zeta_{ij}}{1-p_1\circ\zeta_{ij}})^k\bigr\}^{1/k}},\ \ldots,\ 1 - \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{j=1}^{n}\Theta_j\,(\tfrac{p_m\circ\zeta_{ij}}{1-p_m\circ\zeta_{ij}})^k\bigr\}^{1/k}}\Bigr). \quad \text{mFDWG: } s_i = \mathrm{mFDWG}_{\Theta}(s_{i1}, \ldots, s_{in}) = \otimes_{j=1}^{n}\bigl((s_{ij})^{\Theta_j}\bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{j=1}^{n}\Theta_j\,(\tfrac{1-p_1\circ\zeta_{ij}}{p_1\circ\zeta_{ij}})^k\bigr\}^{1/k}},\ \ldots,\ \tfrac{1}{1+\bigl\{\sum_{j=1}^{n}\Theta_j\,(\tfrac{1-p_m\circ\zeta_{ij}}{p_m\circ\zeta_{ij}})^k\bigr\}^{1/k}}\Bigr).

3. Tanım 2 / Denklem 1 kullanarak her alternatif Y_i için m-PF skor değerini S(s_i) ∈ [0,1] hesapla: S(s_i) = (1/m) Σ_{r=1}^{m} p_r◦ζ_{i·}. Skor, kutup üyeliklerinin ağırlıksız aritmetik ortalamasıdır ve sıralama değişkenidir. İki alternatif aynı skora sahipse, doğruluk fonksiyonu H(s_i) = (1/m) Σ_{r=1}^{m} (−1)^{r+1} (p_r◦ζ_{i·} − 1) ∈ [−1, 1] (Tanım 3 / Denklem 2) tie-break olarak kullanılır.

   $$S(s_i)=\frac{1}{m}\sum _{r=1}^m{p}_r\circ {\zeta }_{i·}\in [0,1];H(s_i)=\frac{1}{m}\sum _{r=1}^m(-1{)}^{r+1}(p_r\circ {\zeta }_{i·}-1)\in [-1,1].$$
   LaTeX

   S(s_i) = \frac{1}{m} \sum_{r=1}^{m} p_r \circ \zeta_{i\cdot} \in [0,1]; \quad H(s_i) = \frac{1}{m} \sum_{r=1}^{m} (-1)^{r+1} (p_r \circ \zeta_{i\cdot} - 1) \in [-1, 1].

4. Alternatifleri S(s_i)'ye göre azalan sırada sırala. Eşitlikleri (S(s_i)=S(s_{i'})) seminal makalenin Tanım 4'üne göre azalan H(s_i) ile çöz. En iyi alternatif, en yüksek skora (ve eşitlik durumunda en yüksek doğruluğa) sahip olandır.

   $$Y_{i_1}⪰Y_{i_2}⪰\dots ⪰Y_{i_t}⟺S(s_{i_1})\ge S(s_{i_2})\ge \dots \ge S(s_{i_t});\text{tie-break: if }S(s_i)=S(s_{i^{\prime }})\text{ then }{Y}_i\succ Y_{i^{\prime }}⟺H(s_i)>H(s_{i^{\prime }}).$$
   LaTeX

   Y_{i_1} \succeq Y_{i_2} \succeq \ldots \succeq Y_{i_t} \iff S(s_{i_1}) \ge S(s_{i_2}) \ge \ldots \ge S(s_{i_t}); \quad \text{tie-break: if } S(s_i) = S(s_{i'}) \text{ then } Y_i \succ Y_{i'} \iff H(s_i) > H(s_{i'}).

Sezgi

MPF-DOMBI-WA, Chen-Li-Ma (2014) tarafından önerilen m-Polar Fuzzy Set (mFS) kavramı üzerine, Dombi (1982) t-norm/t-konormunun parametre-kontrollü yumuşaklık esnekliği eklenmiş bir ağırlıklandırılmış aggregation operatörüdür. mFS'in özü şudur: tek bir alternatife AYNI ANDA m bağımsız kriterden gelen üyelik dereceleri (p₁∘ζ(u), ..., pₘ∘ζ(u)) ∈ [0,1]^m tanımlanır - multi-source / multi-agent değerlendirme tek bir yapısal nesnede tutulur (örn. m=4 → 4 farklı uzmanın 4 alternatif kriter üzerine üyelik dereceleri tek mFN olarak temsil edilir). Dombi t-normu D(a,b) = 1/(1+{(a/(1-a))^k+(b/(1-b))^k}^(1/k)) k≥1 parametresi ile AGGREGATION FİLTRESİNİN sertliğini kontrol eder: k→1 algebraic-toplam benzeri (yumuşak konsensüs), k→∞ minimum benzeri (en sert/pessimist). Bu manifestte yalnız mFDWA (Definition/Eq.6: weighted averaging) ele alınır - paper'da ayrıca tanımlı mFDOWA (ordered, Eq.16) ve mFDHA (hybrid, Eq.22) varianti F.steps kapsam dışıdır.

Sonucu okuma: Read the result as a complete descending ranking of alternatives Y_i. The alternative with the highest m-PF score S(s_i) = (1/m) Σ_{r=1}^{m} p_r◦ζ_{i·} is the best choice. The aggregated m-PF preference value s_i (visible as a polygon in H3) shows the per-pole strength profile of each alternative - useful for interpreting WHY one alternative dominates. When two alternatives have identical scores, the accuracy H(s_i) (held internally) breaks ties: higher H wins. Switching operator_choice from mFDWA (arithmetic, default) to mFDWG (geometric) can reorder the ranking - Sec. 5/6 of the seminal paper shows a complete reversal on the agriculture case, so document the operator alongside the result.

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Akram-Yaqoob-Ali-Chammam-2020-Sec-6.1-Wang-Triantaphyllou-tests)

Sık yapılan hatalar

• Sınır değerler 0 ve 1: Denklem 4'ün Dombi işlemleri (p_r◦ζ)/(1−p_r◦ζ) (mFDWA) ve (1−p_r◦ζ)/(p_r◦ζ) (mFDWG) içerir. p_r◦ζ=1 (mFDWA) veya p_r◦ζ=0 (mFDWG) olduğunda terim ıraksar. Seminal makale örtük olarak açık (0,1) aralığına kısıtlanır. Çağıran ya bu matrisleri reddetmeli ya da küçük bir clamp (ör. ε=1e-6) uygulamalı.
• Operatör-seçim duyarlılığı (§6 Tablo 6-7): mFDWA ve mFDWG aynı matris üzerinde farklı sıralamalar üretir (tarım vakası mFDWA altında Y_2≻Y_5≻Y_4≻Y_1≻Y_3 verirken mFDWG altında Y_3≻Y_1≻Y_4≻Y_2≻Y_5 verir). İki operatör eşdeğer değildir; aritmetik büyük kutup üyeliklerini tercih ederken geometrik daha temkinlidir. Seçimi açıkça belgele.
• Dombi parametresi k ≥ 1 olmalı: Dombi (1982) tüm k>0'ı kabul etse de seminal makale k≥1'e kısıtlanır çünkü 0<k<1 için operatör düzensiz davranır; vaka çalışmaları k=3 kullanır. k üzerinde duyarlılık analizi önerilir.
• Kriter-yön işleme yok: seminal makale tüm kriterlerin fayda-yönlü olduğunu varsayar. Maliyet kriterleri (ör. fiyat) doğrudan m-PF sayıları olarak kodlanır, tümlenmez. Çağıran min-yön işleme (ör. fiyat-as-maliyet) istiyorsa, MPF-DOMBI-WA'ya geçmeden önce yukarıda (1 − p_r◦ζ) tümlemeyi uygulamalıdır - bu yöntemin KAPSAMI DIŞINDADIR.
• Yalnızca tek-karar-vericili: Algoritma 1, tek bir uzmandan tek bir karar matrisi alır. Çoklu-karar-vericili grup karar verme (MCGDM) kanonik makale tarafından DESTEKLENMEZ. MCGDM için, MPF-DOMBI-WA uygulanmadan önce yukarıda bir m-PF ortalama operatörü, karar-verici-başı matrisleri tek bir matrise indirgemelidir.