MHF-TOPSIS - TOPSIS yönteminin m-Polar Kararsız Bulanık (mHF) uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 (Akram et al. 2019, s.10) — mHF karar matrisini H = (ℏ_m^{jk})_{p×q} oluştur; girişler mHFE'dir. j alternatifleri (j=1,…,p), k kriterleri (k=1,…,q) indeksler.

   $$H=({\hslash }_m^{jk}{)}_{p\times q},{\hslash }_m^{jk}(z)=(\{{\zeta }_h\mid {\zeta }_h\in p_1\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\},\dots ,\{{\zeta }_h\mid {\zeta }_h\in p_m\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\})$$
   LaTeX

   H = \big( \hbar_{m}^{jk} \big)_{p \times q}, \quad \hbar_{m}^{jk}(z) = \Big( \{\zeta_{h} \mid \zeta_{h} \in p_{1} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\}, \ldots, \{\zeta_{h} \mid \zeta_{h} \in p_{m} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\} \Big)

2. Adım 1, devam (Akram et al. 2019, s.11 + §3.1 s.14 + §3.2 s.17) — H içindeki tüm HFE'lerin aynı r kardinalitesini paylaşması için her kutup-HFE'yi uzat. prolongation_mode='optimistic' ise her HFE'nin maksimumunu, 'pessimistic' ise minimumunu tekrarla. r = H'deki en uzun kutup-HFE kardinalitesi.

   $$r={max}_{j,k,i}|p_i\circ {\hslash }_m^{jk}(z)|;\text{optimistic: }{p}_i\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\leftarrow p_i\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\cup \{max{p}_i\circ {\hslash }_m^{jk}(z){\}}^{r-|p_i\circ {\hslash }_m^{jk}(z)|};\text{pessimistic: }\text{repeat }min\text{ instead}$$
   LaTeX

   r = \max_{j,k,i} |p_{i} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)|; \quad \text{optimistic: } p_{i} \circ \hbar_{m}^{jk}(z) \leftarrow p_{i} \circ \hbar_{m}^{jk}(z) \cup \{\max p_{i} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\}^{r - |p_{i} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)|}; \quad \text{pessimistic: } \text{repeat } \min \text{ instead}

3. Adım 3 (Akram et al. 2019, s.11 Tablo 2) — Ağırlıklı mHF karar matrisini H′; her hücreyi kriter ağırlığı w_k ile skaler çarp (DHFE'deki n·d kuvvet operatörü değil; her ζ_h ∈ p_i ∘ ℏ_m^{jk} ile birebir skaler çarpım).

   $${\hslash }_m^{j{k}^{\prime }}=w_k{\hslash }_m^{jk}=(w_k\{{\zeta }_h\mid {\zeta }_h\in p_1\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\},\dots ,w_k\{{\zeta }_h\mid {\zeta }_h\in p_m\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\})=(\{{\zeta }_h^{{}^{\prime }}\mid {\zeta }_h^{{}^{\prime }}\in p_1\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\},\dots ,\{{\zeta }_h^{{}^{\prime }}\mid {\zeta }_h^{{}^{\prime }}\in p_m\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\})$$
   LaTeX

   \hbar_{m}^{jk'} = w_{k} \hbar_{m}^{jk} = \Big( w_{k}\{\zeta_{h} \mid \zeta_{h} \in p_{1} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\}, \ldots, w_{k}\{\zeta_{h} \mid \zeta_{h} \in p_{m} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\} \Big) = \Big( \{\zeta_{h}^{'} \mid \zeta_{h}^{'} \in p_{1} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\}, \ldots, \{\zeta_{h}^{'} \mid \zeta_{h}^{'} \in p_{m} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\} \Big)

4. Adım 4–5 (Akram et al. 2019, s.11–12 Eş.(1)–(2)) — mHF pozitif-ideal çözüm mHP_IS'i H′'nin her kutup bileşeninde sütun-bazlı maksimumla; mHF negatif-ideal çözüm mHN_IS'i her kutup bileşeninde sütun-bazlı minimumla hesapla.

   $$mH{P}_{IS}=\{({\hslash }_m^{1^{\prime }}{)}^{+},({\hslash }_m^{2^{\prime }}{)}^{+},\dots ,({\hslash }_m^{q^{\prime }}{)}^{+}\},({\hslash }_m^{k^{\prime }}{)}^{+}={max}_j({\hslash }_m^{j{k}^{\prime }})=(\{({\zeta }_h^{{}^{\prime }}{)}^{+}\mid ({\zeta }_h^{{}^{\prime }}{)}^{+}\in p_1\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\},\dots ,\{({\zeta }_h^{{}^{\prime }}{)}^{+}\mid ({\zeta }_h^{{}^{\prime }}{)}^{+}\in p_m\circ {\hslash }_m^{jk}(z)\});mH{N}_{IS}=\{({\hslash }_m^{1^{\prime }}{)}^{-},\dots ,({\hslash }_m^{q^{\prime }}{)}^{-}\},({\hslash }_m^{k^{\prime }}{)}^{-}={min}_j({\hslash }_m^{j{k}^{\prime }})$$
   LaTeX

   mHP_{IS} = \{(\hbar_{m}^{1'})^{+}, (\hbar_{m}^{2'})^{+}, \ldots, (\hbar_{m}^{q'})^{+}\}, \quad (\hbar_{m}^{k'})^{+} = \max_{j}(\hbar_{m}^{jk'}) = \Big( \{(\zeta_{h}^{'})^{+} \mid (\zeta_{h}^{'})^{+} \in p_{1} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\}, \ldots, \{(\zeta_{h}^{'})^{+} \mid (\zeta_{h}^{'})^{+} \in p_{m} \circ \hbar_{m}^{jk}(z)\} \Big); \quad mHN_{IS} = \{(\hbar_{m}^{1'})^{-}, \ldots, (\hbar_{m}^{q'})^{-}\}, \quad (\hbar_{m}^{k'})^{-} = \min_{j}(\hbar_{m}^{jk'})

5. Adım 6 (Akram et al. 2019, s.12 Eş.(3)–(4)) — Her a_j alternatifinin mHP_IS ve mHN_IS'e mHF Öklid uzaklığını hesapla. Uzaklık q kriter, m kutup ve r uzatılmış HFE pozisyonu üzerinden ortalanır; 1/(rm) normalleştirme faktörü paperdan birebir.

   $$D_e^{{}^{\prime }}(a_j,mH{P}_{IS})=\sqrt{\frac{1}{rm}{\sum }_{k=1}^q[{\sum }_{i=1}^m\backslash \{({\zeta }_{h1}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{h1}^{k^{\prime }}{)}^{+}{)}^2+({\zeta }_{h2}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{h2}^{k^{\prime }}{)}^{+}{)}^2+\cdots +({\zeta }_{hr}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{hr}^{k^{\prime }}{)}^{+}{)}^2\backslash \}]};D_e^{{}^{\prime }}(a_j,mH{N}_{IS})=\sqrt{\frac{1}{rm}{\sum }_{k=1}^q[{\sum }_{i=1}^m\backslash \{({\zeta }_{h1}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{h1}^{k^{\prime }}{)}^{-}{)}^2+({\zeta }_{h2}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{h2}^{k^{\prime }}{)}^{-}{)}^2+\cdots +({\zeta }_{hr}^{j{k}^{\prime }}-({\zeta }_{hr}^{k^{\prime }}{)}^{-}{)}^2\backslash \}]}$$
   LaTeX

   D_{e}^{'}(a_{j}, mHP_{IS}) = \sqrt{ \tfrac{1}{rm} \sum_{k=1}^{q} \Big[ \sum_{i=1}^{m} \big\{ (\zeta_{h1}^{jk'} - (\zeta_{h1}^{k'})^{+})^{2} + (\zeta_{h2}^{jk'} - (\zeta_{h2}^{k'})^{+})^{2} + \cdots + (\zeta_{hr}^{jk'} - (\zeta_{hr}^{k'})^{+})^{2} \big\} \Big] }; \quad D_{e}^{'}(a_{j}, mHN_{IS}) = \sqrt{ \tfrac{1}{rm} \sum_{k=1}^{q} \Big[ \sum_{i=1}^{m} \big\{ (\zeta_{h1}^{jk'} - (\zeta_{h1}^{k'})^{-})^{2} + (\zeta_{h2}^{jk'} - (\zeta_{h2}^{k'})^{-})^{2} + \cdots + (\zeta_{hr}^{jk'} - (\zeta_{hr}^{k'})^{-})^{2} \big\} \Big] }

6. Adım 7–8 (Akram et al. 2019, s.12 Eş.(5)) — Göreli mHF yakınlık katsayısı E_j′; alternatifleri E_j′ azalan sırasına göre sırala. En yüksek E_j′ değerine sahip alternatif en iyisidir.

   $$E_j^{{}^{\prime }}={\displaystyle \frac{D_e^{{}^{\prime }}(a_j,mH{N}_{IS})}{D_e^{{}^{\prime }}(a_j,mH{P}_{IS})+D_e^{{}^{\prime }}(a_j,mH{N}_{IS})}},j=1,2,\dots ,p;0\le E_j^{{}^{\prime }}\le 1$$
   LaTeX

   E_{j}^{'} = \dfrac{D_{e}^{'}(a_{j}, mHN_{IS})}{D_{e}^{'}(a_{j}, mHP_{IS}) + D_{e}^{'}(a_{j}, mHN_{IS})}, \quad j = 1, 2, \ldots, p; \quad 0 \le E_{j}^{'} \le 1

Sezgi

MHF-TOPSIS, Akram, Adeel ve Alcantud (2019, Symmetry) tarafından önerilen m-POLAR HESITANT FUZZY TOPSIS yaklaşımıdır; m-polar fuzzy set (Chen et al. 2014) ile hesitant fuzzy set (Torra 2010) füzyonuyla doğan mHF-set kavramına dayanır. Bir mHF-element ℏ_m(z) = (P_1, P_2, ..., P_m) şeklinde m-tuple HFE'dir; her pole (boyut) için ayrı bir hesitant fuzzy değer kümesi tutulur. Bunun sezgisi şudur: tek bir kriter çoğu zaman TEK boyutlu (skalar) değil çok-kutuplu (örn. marka ismi: 'Articulate Core Identity' = Vision + Mission + Value + Direction, 4-pole 3HFE); her pole için DM hesitancy gösterir. Paper TWO fundamental novelty getirir: (i) Score Def.2 - pole-bazlı aritmetik ortalama (m-tuple skor); Deviation Def.3 - pole-bazlı standart sapma (tie-breaker); (ii) PIS/NIS pole-bazlı max/min ile tanımlanır - klasik TOPSIS'in 'closeness coefficient' fikri korunur, ama uzaklık Eq.3 m×r ÇİFTLİ TOPLAMA dönüşür (m pole × r hesitancy değeri). Brand-name uygulamasında DM 'optimistic spirit' seçer (eksik değerler MAX ile uzatılır); product-design'da 'pessimistic spirit' (MIN ile uzatılır).

Sonucu okuma: MHF-TOPSIS (Akram et al. 2019) extends classical TOPSIS to m-Polar Hesitant Fuzzy multi-criteria group decision-making (MCGDM). Each cell of the decision matrix is an m-tuple of HFEs, one per pole/sub-feature of the criterion; the m poles are independent (no DHF-style γ⁺+η⁺ constraint). The DM-chosen prolongation_mode (optimistic = repeat max, pessimistic = repeat min) equalises pole-HFE lengths to a common r. Weighting is literal scalar multiplication (H′ = w·H). Ideals mHP_IS and mHN_IS are pole-wise column extrema on the weighted matrix; distances average over q criteria × m poles × r positions with the 1/(rm) factor; rank by descending E_j′ = D⁻/(D⁺+D⁻).

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Multi-Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TOPSIS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Multi-Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Kutup sayısı m tüm matris hücrelerinde aynı olmalı; m=3 ile m=4 hücreleri karıştırmak mHF-set tanımını (Akram et al. 2019 Tanım 1) ihlal eder ve mHP_IS / mHN_IS çıkarımını anlamsızlaştırır.
• prolongation_mode bilgi-füzyon ağırlıklıdır: 'optimistic' (max tekrar) kutup-HFE skorlarını yukarı çeker, 'pessimistic' (min tekrar) aşağı çeker. İki mod aynı ham matriste farklı sıralama üretebilir - karar bağlamına göre sabitle (§3.1 marka seçimi için optimistic; §3.2 ürün tasarımı için pessimistic).
• Ağırlıklandırma birebir skaler çarpımdır H′_{jk} = w_k · ℏ_m^{jk} (her ζ_h ölçeklenir); Zhu et al. 2012'deki DHFE n·d kuvvet operatörü DEĞİL. Burada n·d uygulamak üyelik değerlerini aşırı düşürür ve Akram'ın sayısal örneğini bozar (Tablo 5/Tablo 8 doğrulanmaz).
• Eş.(3)-(4)'teki 1/(rm) faktörü ortalama-tipidir, Σ-tipi değil; göz ardı etmek uzaklıkları √(rm) kat şişirir ama sıralamayı değiştirmez (E_j′ bir orandır). Engine uygulamaları yeniden üretilebilirlik için paperin formülünü birebir izlemeli.