Kemeny-Young - Kendall τ uyuşmazlığını minimize eden optimal sıralama birleştirme

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — K uzman sıralaması topla.

   $$ℛ=\{R_1,\dots ,R_K\}$$
   LaTeX

   \mathcal{R} = \{R_{1}, \ldots, R_{K}\}

2. Adım 2 — Her aday konsensus σ için ikili uyuşmazlık.

   $$d(\sigma ,R_k)=\#\{(i,l):{\sigma }_i<{\sigma }_l\text{but}{R}_{k,i}>R_{k,l}\}$$
   LaTeX

   d(\sigma, R_{k}) = \#\{(i,l): \sigma_{i}<\sigma_{l}\ \text{but}\ R_{k,i}>R_{k,l}\}

3. Adım 3 — Toplam Kemeny mesafesini minimize eden σ*.

   $${\sigma }^{*}=\mathrm{\backslash arg}{min}_{\sigma \in S_m}\sum _{k=1}^{K}d(\sigma ,R_k)$$
   LaTeX

   \sigma^{*} = \arg\min_{\sigma\in S_{m}} \sum_{k=1}^{K} d(\sigma, R_{k})

4. Adım 4 — Kemeny konsensüsü σ*.

   $$\text{ranking}={\sigma }^{*}$$
   LaTeX

   \text{ranking} = \sigma^{*}

Sezgi

Rank aggregation (Kemeny consensus, NP-hard optimisation). Output typically rank_position (lower value = preferred).

Sonucu okuma: Kemeny-Young finds the ranking σ* minimising total Kendall τ distance from all individual rankings (equivalently maximising the Kemeny score). It always elects the Condorcet winner if one exists. Computing the exact solution is NP-hard for large m - use branch-and-bound or genetic algorithm heuristics for m > 8.

Varsayımlar

• Input is a rank matrix (1=best, m=worst per voter)
• Each voter ranks all alternatives

Ne zaman kullanılmaz

• Cardinal preferences important → use a MAUT method

Sınırlılıklar

• Assumes: Input is a rank matrix (1=best, m=worst per voter)
• Assumes: Each voter ranks all alternatives

Sık yapılan hatalar

• Kemeny-Young NP-zordur: tam hesaplama yalnızca m ≤ 8 alternatif için uygulanabilir. Daha büyük m için sezgisel yöntemler kullanın.