Aralık-Sayı Gri İlişki Analizi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Aralık-sayı karar matrisi A = ([a_{ij}^-, a_{ij}^+])_{m×n} oluştur.

   LaTeX

   A = \begin{bmatrix}[a_{11}^-,a_{11}^+] & \cdots & [a_{1n}^-,a_{1n}^+]\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ [a_{m1}^-,a_{m1}^+] & \cdots & [a_{mn}^-,a_{mn}^+]\end{bmatrix}

2. Adım 2 — Her ters (küçük iyidir) indeks j'yi pozitif indekse çevir: [b_{ij}^-, b_{ij}^+] = [-a_{ij}^+, -a_{ij}^-].

   $$[b_{ij}^{-},b_{ij}^{+}]=[-a_{ij}^{+},-a_{ij}^{-}]\text{for contrary index }j$$
   LaTeX

   [b_{ij}^-, b_{ij}^+] = [-a_{ij}^+, -a_{ij}^-] \quad \text{for contrary index } j

3. Adım 3 — Her sütunu aralık-vektör normu ‖A_j‖ = max_i max(|a_{ij}^-|, |a_{ij}^+|) ile standardize et; eleman [r_{ij}^-, r_{ij}^+] = [a_{ij}^-, a_{ij}^+] / ‖A_j‖.

   $$\Vert A_j\Vert ={max}_{i}max(|a_{ij}^{-}|,|a_{ij}^{+}|);[r_{ij}^{-},r_{ij}^{+}]=[\frac{a_{ij}^{-}}{\Vert A_j\Vert },\frac{a_{ij}^{+}}{\Vert A_j\Vert }]$$
   LaTeX

   \|A_j\| = \max_i \max(|a_{ij}^-|, |a_{ij}^+|); \quad [r_{ij}^-, r_{ij}^+] = \left[\frac{a_{ij}^-}{\|A_j\|}, \frac{a_{ij}^+}{\|A_j\|}\right]

4. Adım 4 — Aralık (veya skaler) ağırlıkları aralık-çarpımı ile uygula: [c_{ij}^-, c_{ij}^+] = [c_j, d_j] · [r_{ij}^-, r_{ij}^+]. Pozitif aralıklar ve r_{ij}^+ > 0 için Def.4 [c_j · r_{ij}^-, d_j · r_{ij}^+] verir; skaler ağırlık w_j için c_j = d_j = w_j.

   $$[c_{ij}^{-},c_{ij}^{+}]=[c_j,d_j]·[r_{ij}^{-},r_{ij}^{+}]$$
   LaTeX

   [c_{ij}^-, c_{ij}^+] = [c_j, d_j] \cdot [r_{ij}^-, r_{ij}^+]

5. Adım 5 — Her sütunda her iki uç-noktanın maksimumlarıyla referans (ideal) diziyi U_0 oluştur: u_0^-(j) = max_i c_{ij}^-, u_0^+(j) = max_i c_{ij}^+.

   $$U_0=([u_0^{-}(1),u_0^{+}(1)],\dots ,[u_0^{-}(n),u_0^{+}(n)]),u_0^{-}(j)={max}_i{c}_{ij}^{-},u_0^{+}(j)={max}_i{c}_{ij}^{+}$$
   LaTeX

   U_0 = \big([u_0^-(1), u_0^+(1)], \ldots, [u_0^-(n), u_0^+(n)]\big), \quad u_0^-(j) = \max_i c_{ij}^-, \quad u_0^+(j) = \max_i c_{ij}^+

6. Adım 6 — Aralık uzaklığını d_{ik} = max(|u_0^-(k) - c_{ik}^-|, |u_0^+(k) - c_{ik}^+|) hesapla, ardından çözücü katsayı ρ ile gri ilişki katsayısı ξ_i(k).

   $$d_{ik}=max(|u_0^{-}(k)-c_{ik}^{-}|,|u_0^{+}(k)-c_{ik}^{+}|);{\xi }_i(k)=\frac{{min}_i{min}_k{d}_{ik}+\rho {max}_i{max}_k{d}_{ik}}{d_{ik}+\rho {max}_i{max}_k{d}_{ik}}$$
   LaTeX

   d_{ik} = \max\big(|u_0^-(k) - c_{ik}^-|,\, |u_0^+(k) - c_{ik}^+|\big); \quad \xi_i(k) = \frac{\min_i \min_k d_{ik} + \rho \max_i \max_k d_{ik}}{d_{ik} + \rho \max_i \max_k d_{ik}}

7. Adım 7 — Gri ilişki derecesi r_i = (1/n) Σ_k ξ_i(k); en iyi plan r_i^* = max_i r_i; azalan sıralama final sıralamadır.

   $$r_i=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_i(k);i^{\star }=\mathrm{\backslash arg}{max}_i{r}_i$$
   LaTeX

   r_i = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \xi_i(k); \quad i^{\star} = \arg\max_i r_i

Sezgi

INTERVAL-GRA (Interval Grey-Related Analysis), Olson-Wu (2008, Ch.11 in Kahraman ed. Fuzzy MCDM Springer) tarafından Deng (1982) GRA'nın interval-number bilgi altında uyarlanmış halidir. Klasik GRA'nın temel sezgisi şudur: her alternatif için GREY RELATIONAL COEFFICIENT ξ_i(k) hesaplanır - bu coefficient (Eq.9), kriter-bazlı sapmaları (alternatif - ideal referans) min-max normalize edilmiş bir benzerlik skorudur (1'e yakın = ideal'e yakın). Olson-Wu uzantısı bu yapıyı interval-valued bilgiye taşır: input matrix A_{ij} = [a⁻_ij, a⁺_ij] (Eq.5), kontrast endeksleri (smaller-is-better) Eq.6 ile [b⁻,b⁺] = [-a⁺,-a⁻] dönüşümüyle pozitif endekse çevrilir, sonra Eq.7 norm-tabanlı standardize ‖A_j‖ = max(max(|a⁻|,|a⁺|)) ile bölünür. Weighted matrix [c⁻,c⁺] = [c_j,d_j]·[r⁻,r⁺] Eq.8 interval scalar-interval product (Def 4: b⁺>0 Eq.3 vs b⁺<0 Eq.4) ile elde edilir. Reference sequence U_0 her kriter için max coordinate-wise alınır. Connection coefficient ξ_i(k) Eq.9 resolving coefficient ρ ∈ (0,+∞) tipik ρ ∈ [0,1] (Deng kanonik ρ=0.5) ile hesaplanır - ρ küçük → distinguishing power yüksek (küçük farklar abartılır).

Sonucu okuma: Higher grey relational grade r_i means closer to the ideal (reference) sequence U_0 in interval-distance. Inputs are intervals [a^-, a^+] per criterion; smaller-is-better criteria must be flagged contrary_index and are auto-converted via Eq.(6). Weights may be scalar or interval-valued; ρ controls distinguishing power (smaller ρ = sharper ranking, default 0.5). The deterministic core can be wrapped in Monte Carlo simulation (Olson & Wu §3) for trapezoidal-fuzzy inputs.

Varsayımlar

• Each cell is a valid interval (a^- ≤ a^+)
• Column norms ‖A_j‖ are strictly positive
• Criterion directions are correctly tagged positive_index / contrary_index
• Weights are non-negative and (for scalar form) sum to 1

Ne zaman kullanılmaz

• Inputs are point-valued (use crisp GRA directly - no benefit from interval machinery)
• Inputs are triangular or trapezoidal fuzzy numbers (use a TFN-fuzzy GRA manifest, or wrap this method in MC-TRAPEZOIDAL extension)
• Decision-maker prefers probability-distribution outputs (use Monte Carlo wrapper or Bayesian methods instead)

Sınırlılıklar

• Assumes: Each cell is a valid interval (a^- ≤ a^+)
• Assumes: Column norms ‖A_j‖ are strictly positive
• Assumes: Criterion directions are correctly tagged positive_index / contrary_index
• Assumes: Weights are non-negative and (for scalar form) sum to 1

Sık yapılan hatalar

• Maliyet-tipi kriterler için contrary_index dönüşümünü (Eq.(6)) unutmak - sıralama sessizce tersine döner.
• Bu yöntemi TFN-tabanlı fuzzy GRA (Lin-Yeh 1997, Wei 2010) ile karıştırmak: buradaki girdiler aralık, üçgen-bulanık-sayı değildir; aritmetik aralık-çarpımıdır (Olson & Wu Def.3-4), TFN genişletme ilkesi değil.
• ρ'yu (0,1] dışına ayarlamak Eq.(9) tarafından izin verilir ama nadiren kullanılır; ρ > 1 ayırt edici gücü zayıflatır; ρ → 0 en yakın olan dışında her alternatifi ortak değere yaklaştırır.