IF-PROMETHEE - Sezgisel Bulanık PROMETHEE

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — IFN karar matrisi R = (r_ij)'yi oluştur; r_ij = (μ_ij, ν_ij), A_i alternatifinin C_j kriterindeki IFN değerlendirmesidir. Grup kararı için (K≥2 KV) K adet matris IFWA ile hücre bazında λ_k ağırlıkları kullanılarak agrege edilir.

   $$R=(r_{ij}{)}_{m\times n},r_{ij}=({\mu }_{ij},{\nu }_{ij}),{\mu }_{ij}+{\nu }_{ij}\le 1;\text{IFWA aggregation if }K\ge 2$$
   LaTeX

   R = (r_{ij})_{m \times n},\ r_{ij} = (\mu_{ij}, \nu_{ij}),\ \mu_{ij}+\nu_{ij} \le 1;\quad \text{IFWA aggregation if } K \ge 2

2. Adım 2 — Maliyet kriteri ayarı: j ∈ J_c (maliyet kriterleri) için r_ij = (μ_ij, ν_ij) yerine IF tümleyeni r_ij* = (ν_ij, μ_ij) konulur; fayda kriterleri değişmez. Bu, matrisi ikili karşılaştırma için tekdüze fayda yönlü gösterime dönüştürür.

   $$j\in J_c:r_{ij}^{*}=({\nu }_{ij},{\mu }_{ij});j\in J_b:r_{ij}^{*}=r_{ij}$$
   LaTeX

   j \in J_c: r_{ij}^* = (\nu_{ij}, \mu_{ij});\quad j \in J_b: r_{ij}^* = r_{ij}

3. Adım 3 — Kriter başına ikili işaretli sapma: d_j(a, b) = s(r_aj*) − s(r_bj*); burada s(·) IF skor fonksiyonudur (varsayılan Chen-Tan 1994: s(α) = μ − ν ∈ [−1, 1]). Pozitif d_j(a, b), a'nın j'de b'yi geçtiğini; negatif değer ise tersini gösterir. Sapma [−2, 2] aralığındadır.

   $$d_j(a,b)=s(r_{aj}^{*})-s(r_{bj}^{*})=({\mu }_{aj}^{*}-{\nu }_{aj}^{*})-({\mu }_{bj}^{*}-{\nu }_{bj}^{*})$$
   LaTeX

   d_j(a, b) = s(r_{aj}^*) - s(r_{bj}^*) = (\mu_{aj}^* - \nu_{aj}^*) - (\mu_{bj}^* - \nu_{bj}^*)

4. Adım 4 — İşaretli sapmaya kriter başına tercih fonksiyonu P_j(d) uygula. Varsayılan Tip V (eşikli doğrusal): d ≤ q_j ise 0; q_j < d < p_j ise (d − q_j)/(p_j − q_j); d ≥ p_j ise 1. Çıktı P_j(d_j(a, b)) ∈ [0, 1], a'nın j kriterinde b'ye olan tercih gücüdür.

   $$P_j(d)=\{\begin{array}{cc}0,\hfill & d\le q_j\hfill \\ {\displaystyle \frac{d-q_j}{p_j-q_j}},\hfill & q_j<d<p_j\hfill \\ 1,\hfill & d\ge p_j\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   P_j(d) = \begin{cases} 0, & d \le q_j \\ \dfrac{d - q_j}{p_j - q_j}, & q_j < d < p_j \\ 1, & d \ge p_j \end{cases}

5. Adım 5 — Çok-kriterli tercih indeksi: π(a, b) = Σ_j w_j · P_j(d_j(a, b)) ∈ [0, 1]. π asimetriktir (π(a, b) ve π(b, a) bağımsızdır) ve a'nın b'yi tüm kriterler boyunca w_j ile ağırlıklandırılmış olarak ne kadar güçlü geçtiğini temsil eder.

   $$\pi (a,b)=\sum _{j=1}^n{w}_j·P_j(d_j(a,b)),\pi (a,b)\in [0,1]$$
   LaTeX

   \pi(a, b) = \sum_{j=1}^{n} w_j \cdot P_j(d_j(a, b)),\quad \pi(a, b) \in [0, 1]

6. Adım 6 — Üstünlük akışları. Çıkan (pozitif) akış φ⁺(a) = (1/(m−1)) Σ_{b ≠ a} π(a, b), a'nın kümenin geri kalanını ne kadar geçtiğini ölçer. Giren (negatif) akış φ⁻(a) = (1/(m−1)) Σ_{b ≠ a} π(b, a), a'nın geri kalan tarafından ne kadar geçildiğini ölçer. Her ikisi [0, 1] aralığındadır.

   $${\varphi }^{+}(a)=\frac{1}{m-1}\sum _{b\ne a}\pi (a,b);{\varphi }^{-}(a)=\frac{1}{m-1}\sum _{b\ne a}\pi (b,a)$$
   LaTeX

   \phi^+(a) = \frac{1}{m-1}\sum_{b \ne a} \pi(a, b);\quad \phi^-(a) = \frac{1}{m-1}\sum_{b \ne a} \pi(b, a)

7. Adım 7 — Net üstünlük akışı φ(a) = φ⁺(a) − φ⁻(a) ∈ [−1, 1]. PROMETHEE II konvansiyonuna göre bu, her alternatif için tek defuzzy edilmiş skordur. Σ_a φ(a) = 0 her zaman geçerlidir (cebirsel özdeşlik).

   $$\varphi (a)={\varphi }^{+}(a)-{\varphi }^{-}(a),\varphi (a)\in [-1,1],\sum _a\varphi (a)=0$$
   LaTeX

   \phi(a) = \phi^+(a) - \phi^-(a),\quad \phi(a) \in [-1, 1],\quad \sum_{a} \phi(a) = 0

8. Adım 8 — PROMETHEE II tam sıralama: alternatifleri φ(a)'nın azalan sırasına göre sırala; en büyük φ(a) en iyisidir. PROMETHEE I kısmi sıralama (a P b ⇔ φ⁺(a) ≥ φ⁺(b) ve φ⁻(a) ≤ φ⁻(b), en az biri kesin; aksi halde karşılaştırılamaz) ikincil çıktı olarak sunulur.

   $$\text{rank}(A_i)={\text{argsort}}_{\downarrow }(\varphi (A_i))$$
   LaTeX

   \text{rank}(A_i) = \text{argsort}_{\downarrow}(\phi(A_i))

Sezgi

Pairwise outranking under Intuitionistic Fuzzy uncertainty. Output typically preference_flow (higher value = preferred).

Sonucu okuma: IF-PROMETHEE extends crisp PROMETHEE to settings where each rating is an Intuitionistic Fuzzy Number (μ, ν). The algorithm (i) optionally aggregates K DMs via IFWA, (ii) complements cost columns to unify direction, (iii) computes pairwise signed deviation via the IF score function s = μ − ν, (iv) applies a preference function P_j (default Type V linear with thresholds q_j, p_j), (v) builds the multi-criteria preference index π(a, b) = Σ w_j P_j, (vi) derives leaving/entering flows φ⁺, φ⁻, (vii) the PROMETHEE II net flow φ = φ⁺ − φ⁻ ∈ [−1, 1]. Higher φ = better. Algorithm is INVARIANT across pure IF-PROMETHEE application papers (Liao-Xu 2014, Krishankumar et al. 2017); the preference function family and thresholds (q, p) are the parametric choices.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid IFN tuples (μ, ν) with μ+ν ≤ 1
• All decision-makers use the same linguistic-to-IFN scale
• Criterion directions (benefit/cost) are explicitly labelled
• Criterion weights form a simplex
• Per-criterion thresholds (q_j, p_j) calibrated to the data's deviation scale

Ne zaman kullanılmaz

• Small dataset (m<3) - outranking machinery underutilised; use IF-EDAS or IF-TOPSIS instead
• Compensatory utility ranking is preferred (use IF-EDAS or IF-TOPSIS)
• Hesitation degree π must be modelled explicitly with μ+ν > 1 raw judgements - consider Pythagorean Fuzzy PROMETHEE or q-ROF PROMETHEE

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp PROMETHEE base (Brans-Vincke 1985; Wang-Luo 2009): outranking flows are pairwise normalised by (m−1), so adding/removing an alternative rebalances every φ⁺/φ⁻ and may invert the net-flow order.)
• Assumes: Decision matrix entries are valid IFN tuples (μ, ν) with μ+ν ≤ 1
• Assumes: All decision-makers use the same linguistic-to-IFN scale
• Assumes: Criterion directions (benefit/cost) are explicitly labelled
• Assumes: Criterion weights form a simplex

Sık yapılan hatalar

• IFN (μ, ν ikili) ile TFN (a, b, c üçlü) karıştırmak: IF-PROMETHEE değerleri μ+ν ≤ 1 koşulunu sağlayan IFN ikilileri OLMALIDIR, üçgensel bulanık sayılar DEĞİL.
• F2'de maliyet kriteri tümlemesini unutmak: ikili karşılaştırmadan önce maliyet sütunları (ν, μ) ile değiştirilmelidir; aksi halde yön ters döner ve sıralama yanlış çıkar.
• F3'te işaretli farkın yerine mutlak sapma |d_j(a, b)| kullanmak: PROMETHEE'nin tercih fonksiyonu P_j, negatif sapmalarda sıfır olacak şekilde tasarlanmıştır. Mutlak değer almak π(a, b) ile π(b, a) arasındaki asimetriyi yok eder.
• p_j'yi çok küçük seçmek (örn. p_j = q_j): doğrusal rampa çöker ve P_j basamak fonksiyonuna döner - büyüklükten bağımsız olarak tercih eden her çift 1 ağırlık alır. p_j'yi verinizin gerçek sapma ölçeğine kalibre edin (örn. ~max d_j).
• Kısmi sıralama PROMETHEE I uyumsuz olduğunda yalnızca PROMETHEE II net akışı raporlamak: φ_net iki alternatifi sıralayabilir ama φ⁺/φ⁻ çifti onları karşılaştırılamaz olarak işaretleyebilir. Motor çıktısında her iki görüntüyü de göster.