HFEA

HFEA - Tereddütlü Bulanık Zarflama Analizi (DHFEA / SHFEA, Zhou-Chen-Xu-Meng 2018)

Tereddütlü Bulanık Kümelere DEA uzantısı - verimlilik m_e = Σp_i·s_{ie} / Σq_i·d_{ie} ağırlıklı skor/sapma oranı olarak ölçülür; doğrusallaştırılmış DHFEA (sapma-normalize) veya SHFEA (skor-normalize) formunda LP ile çözülür; hem sıralama hem etkin-olmayan alternatifler için iyileştirme planı sunar.

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — Tereddütlü bulanık değerlendirme matrisini H = {H_k = (h_{1k}, …, h_{nk})}_{1×K} topla ve birleştir. Birden fazla uzman ayrı HFE sağladıysa HFWA/HFWG gibi birleştirme operatörleriyle tek HFE'ye dönüştür. Tek unified matris verilmişse Adım 2'ye geç.

$H = {H_{k} = (h_{1 k}, h_{2 k}, \dots, h_{n k})}_{1 \times K}, h_{i k} \subseteq [0, 1], # h_{i k} \geq 1$

LaTeX
H = \{H_k = (h_{1k}, h_{2k}, \ldots, h_{nk})\}_{1 \times K},\quad h_{ik} \subseteq [0,1],\; \#h_{ik} \geq 1
Adım 2 — Her HFE h_{ik} için skor s_{ik} ve sapma d_{ik} hesapla. Skor = üyelik değerlerinin ortalaması. Sapma = skordan ortalama mutlak sapma (her eleman için kare sapmanın karekökü kullanılarak).

$s_{i k} = \frac{1}{# h_{i k}} \sum_{c \in h_{i k}} c, d_{i k} = \frac{1}{# h_{i k}} \sum_{c \in h_{i k}} \sqrt{(c - s_{i k})^{2}}$

LaTeX
s_{ik} = \frac{1}{\#h_{ik}} \sum_{c \in h_{ik}} c,\qquad d_{ik} = \frac{1}{\#h_{ik}} \sum_{c \in h_{ik}} \sqrt{(c - s_{ik})^2}
Adım 3 — Her e alternatifi için HFEA kesirli programını formüle et: Zarflama verimliliği m_e = Σp_i·s_{ie} / Σq_i·d_{ie} maksimize et, K alternatifin tamamının oranı ≤ 1 kısıtı altında. Charnes-Cooper ikamesiyle (DHFEA: f = (Σq_i·d_{ie})^{-1}, n_i = f·p_i, s_i = f·q_i) doğrusal forma dönüştür.

$max m_{e} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{i} s_{i e}}{\sum_{i = 1}^{n} q_{i} d_{i e}} s.t. \frac{\sum_{i} p_{i} s_{i k}}{\sum_{i} q_{i} d_{i k}} \leq 1 \forall k, p_{i} \geq 0, q_{i} \geq 0$

LaTeX
\max\; m_e = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i s_{ie}}{\sum_{i=1}^{n} q_i d_{ie}} \quad \text{s.t.}\quad \frac{\sum_i p_i s_{ik}}{\sum_i q_i d_{ik}} \leq 1 \;\forall k,\; p_i \geq 0,\; q_i \geq 0
Adım 4 — Her e için doğrusallaştırılmış DHFEA LP'yi çöz. DHFEA formu: max Σn_i·s_{ie}, kısıt (i) Σn_i·s_{ik} − Σs_i·d_{ik} ≤ 0 ∀k, (ii) Σs_i·d_{ie} = 1, (iii) n_i, s_i ≥ 0. Verimlilik m_e = optimal amaç değeri.

$max \sum_{i = 1}^{n} n_{i} s_{i e} s.t. \sum_{i} n_{i} s_{i k} - \sum_{i} σ_{i} d_{i k} \leq 0 \forall k, \sum_{i} σ_{i} d_{i e} = 1, n_{i}, σ_{i} \geq 0$

LaTeX
\max\; \sum_{i=1}^{n} n_i s_{ie} \quad \text{s.t.}\quad \sum_i n_i s_{ik} - \sum_i \sigma_i d_{ik} \leq 0\; \forall k,\quad \sum_i \sigma_i d_{ie} = 1,\quad n_i, \sigma_i \geq 0
Adım 5 — Alternatifleri sınıflandır: m_e = 1 → etkin (HFS sınırında); m_e < 1 → etkin değil. m_e azalan sırayla sırala.

$ℱ = {e : m_{e}^{*} = 1}, rank (e) \propto - m_{e}^{*}$

LaTeX
\mathcal{F} = \{e : m_e^* = 1\},\quad \text{rank}(e) \propto -m_e^*
Adım 6 (isteğe bağlı) — Etkin olmayan alternatifler (m_e < 1) için LP aylak değişkenlerinden iyileştirme planlarını hesapla. İki yöntem: (A) skor-hedefli: d*_{ie} = p_e·d_{ie} − γ⁺_i, s*_{ie} = s_{ie} + γ⁻_i; (B) sapma-hedefli: d*_{ie} = d_{ie} − γ⁺_i, s*_{ie} = p_e·s_{ie} + γ⁻_i. Bu değerler etkin sınıra ulaşmak için gereken minimum değişikliği gösterir.

$d_{i e}^{*} = p_{e} d_{i e} - γ_{i}^{+}, s_{i e}^{*} = s_{i e} + γ_{i}^{-} (method A); d_{i e}^{*} = d_{i e} - γ_{i}^{+}, s_{i e}^{*} = p_{e} s_{i e} + γ_{i}^{-} (method B)$

LaTeX
d^*_{ie} = p_e d_{ie} - \gamma^+_i,\quad s^*_{ie} = s_{ie} + \gamma^-_i \quad (\text{method A});\\ d^*_{ie} = d_{ie} - \gamma^+_i,\quad s^*_{ie} = p_e s_{ie} + \gamma^-_i \quad (\text{method B})

Yöntem ayrıntıları kaynak kütüphanedeki özgün (İngilizce) metindir.

Sezgi

Sonucu okuma: Efficiency score m_e = 1 means the alternative lies on the HFS efficient frontier (cannot be improved given the current set). Scores below 1 indicate how far the alternative is from the frontier. The improvement schedules (Block G: improvement_schedule_scores / deviations) show the minimum required score increases and deviation decreases to become efficient.

Sık yapılan hatalar

Treating all criteria as benefit-type without pre-converting cost criteria via complement (1 - h).
Using fewer alternatives than criteria (K ≤ n) - leads to all alternatives being efficient (LP trivially satisfied), analogous to DEA's n/3 rule of thumb.
Interpreting tied efficient alternatives (m_e = 1) as identical in quality - switch to HFPE/HFGPE for full discrimination.