HF-TODIM - Yeni Z_δ ölçü fonksiyonu üzerinden Kararsız Bulanık TODIM (Zhang-Xu 2016 ITOR)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 (Zhang-Xu 2016 s.752 Eş.(1)) — Maliyet kriterlerinde HFE tümleyenini alarak karar matrisini düzgün 'büyük daha iyi' yönüne normalleştir. Fayda kriterleri (j ∈ Ω_b) için h_ij'yi değiştirme. Maliyet kriterleri (j ∈ Ω_c) için h_ij'yi tümleyeni ile değiştir h_ij^c = {1 − γ | γ ∈ h_ij}. Sonuç tüm sütunların fayda olarak yorumlandığı yeni HFE matrisi H = (h_ij)_{n×m}.

   $$h_{ij}^{\prime }=\{\begin{array}{cc}{h}_{ij},\hfill & j\in {\Omega }_b(\text{benefit})\hfill \\ h_{ij}^c=\{1-\gamma \mid \gamma \in h_{ij}\},\hfill & j\in {\Omega }_c(\text{cost})\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   h_{ij}' = \begin{cases} h_{ij}, & j \in \Omega_b \ (\text{benefit}) \\ h_{ij}^{c} = \{ 1 - \gamma \mid \gamma \in h_{ij} \}, & j \in \Omega_c \ (\text{cost}) \end{cases}

2. Adım 2 (Zhang-Xu 2016 s.757 Tablo 5 sonrası ¶) — Her sütun içinde uzunluk eşitleme. l_j* = max_i l(h_ij') olsun. l(h_ij') < l_j* olan her hücre için HFE'yi risk_averse kuralı (varsayılan) altında l_j*'ya genişlet: en küçük eleman γ_{ij}^σ(1)'i l_j* elemana ulaşıncaya kadar tekrarla. Alternatif kural risk_seeking en büyük elemanı tekrarlar. Elde edilen HFE'ler azalmayan sırada yazılır γ^σ(1) ≤ … ≤ γ^σ(l_j*) (Eş.(2),(5) için zorunlu).

   $$l_j^{*}={max}_{i}l(h_{ij}^{\prime });{\tilde{h}}_{ij}=h_{ij}^{\prime }\cup \underset{l_j^{*}-l(h_{ij}^{\prime })\text{copies}}{\underbrace{\{{\gamma }_{ij}^{\sigma (1)},\dots ,{\gamma }_{ij}^{\sigma (1)}\}}}(\text{risk-averse});\text{sort ascending}$$
   LaTeX

   l_{j}^{*} = \max_{i} l(h_{ij}'); \quad \tilde{h}_{ij} = h_{ij}' \cup \underbrace{\{ \gamma_{ij}^{\sigma(1)}, \ldots, \gamma_{ij}^{\sigma(1)} \}}_{l_{j}^{*} - l(h_{ij}') \ \text{copies}} \ (\text{risk-averse}); \quad \text{sort ascending}

3. Adım 3 (Zhang-Xu 2016 s.752 Eş.(2)) — Her hücre için yeni ölçü fonksiyonu Z_δ'yı hesapla. δ ∈ (0,1] ve artan sıralı HFE h̃_ij = {γ^σ(1),…,γ^σ(l_j*)} için Z_δ(h̃_ij) = ((1/l_j*) Σ_q (γ^σ(q))^δ)^(1/δ). Ölçü fonksiyonu HFE'leri sıralayan skaler bir vekildir ve erken HF-TODIM varyantlarında kullanılan kesin skor fonksiyonunun yerini alır (Qian-Wang-Feng 2013 aritmetik ortalama = δ=1 kullandı).

   $$Z_{\delta }({\tilde{h}}_{ij})={\left({\displaystyle \frac{1}{l_j^{*}}}{\sum }_{q=1}^{l_j^{*}}\right({\gamma }_{ij}^{\sigma (q)}{)}^{\delta })}^{1/\delta },\delta \in (0,1]$$
   LaTeX

   Z_{\delta}(\tilde{h}_{ij}) = \left( \dfrac{1}{l_{j}^{*}} \sum_{q=1}^{l_{j}^{*}} \bigl( \gamma_{ij}^{\sigma(q)} \bigr)^{\delta} \right)^{1/\delta}, \quad \delta \in (0, 1]

4. Adım 4 (Zhang-Xu 2016 s.753 Eş.(3)) — Referans kriter R = argmax_j w_j (eşitlik en küçük indeksle bozulur) ve göreli ağırlıkları w_jR = w_j / w_R, j = 1,…,m hesapla. w_RR = 1.

   $$w_R={max}_j{w}_j;w_{jR}={\displaystyle \frac{w_j}{w_R}},j=1,\dots ,m$$
   LaTeX

   w_{R} = \max_{j} w_{j}; \quad w_{jR} = \dfrac{w_{j}}{w_{R}}, \quad j = 1, \ldots, m

5. Adım 5 (Zhang-Xu 2016 s.761 Eş.(5); Xu-Xia 2011b) — Aynı sütundaki her hücre çifti arasında kararsız bulanık Öklid mesafesini hesapla. Ortak l_j* uzunluğunda artan sıralı uzunluk-eşitlenmiş HFE'ler h̃_ij, h̃_kj için d_E(h̃_ij, h̃_kj) = sqrt( (1/l_j*) Σ_q (γ_ij^σ(q) − γ_kj^σ(q))² ).

   $$d_E({\tilde{h}}_{ij},{\tilde{h}}_{kj})=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{l_j^{*}}}{\sum }_{q=1}^{l_j^{*}}({\gamma }_{ij}^{\sigma (q)}-{\gamma }_{kj}^{\sigma (q)}{)}^2}$$
   LaTeX

   d_{E}(\tilde{h}_{ij}, \tilde{h}_{kj}) = \sqrt{ \dfrac{1}{l_{j}^{*}} \sum_{q=1}^{l_{j}^{*}} \bigl( \gamma_{ij}^{\sigma(q)} - \gamma_{kj}^{\sigma(q)} \bigr)^{2} }

6. Adım 6 (Zhang-Xu 2016 s.753 Eş.(4)) — Her sıralı (R_i, R_k) çifti ve her gösterge x_j için gösterge-bazlı prospect-değer fonksiyonu (PVF) φ_j(R_i, R_k)'yi hesapla. Z_δ(h̃_ij) ile Z_δ(h̃_kj)'yi karşılaştır ve üç-durumlu parçalı formülü uygula: KAZANÇ (Z_δ(h̃_ij) > Z_δ(h̃_kj)) — φ_j = +sqrt( w_jR · d_E² / Σ_j w_jR ); KAYITSIZLIK (=) — φ_j = 0; KAYIP (<) — φ_j = −(1/θ) · sqrt( (Σ_j w_jR) · d_E² / w_jR ). Kazanç ve kayıp dalları arasındaki asimetri prospect-teorisinin kayıp aversiyonunu kodlar (Kahneman-Tversky 1979).

   $${\phi }_j(R_i,R_k)=\{\begin{array}{cc}+\sqrt{{\displaystyle \frac{w_{jR}·d_E^2({\tilde{h}}_{ij},{\tilde{h}}_{kj})}{{\sum }_{j=1}^m{w}_{jR}}}},\hfill & Z_{\delta }({\tilde{h}}_{ij})>Z_{\delta }({\tilde{h}}_{kj})(\text{gain})\hfill \\ [\mathrm{8pt}]0,\hfill & Z_{\delta }({\tilde{h}}_{ij})=Z_{\delta }({\tilde{h}}_{kj})\hfill \\ [\mathrm{6pt}]-{\displaystyle \frac{1}{\theta }}\sqrt{{\displaystyle \frac{\left({\sum }_{j=1}^m{w}_{jR}\right)·d_E^2({\tilde{h}}_{ij},{\tilde{h}}_{kj})}{w_{jR}}}},\hfill & Z_{\delta }({\tilde{h}}_{ij})<Z_{\delta }({\tilde{h}}_{kj})(\text{loss})\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \varphi_{j}(R_{i}, R_{k}) = \begin{cases} +\sqrt{\dfrac{w_{jR} \cdot d_{E}^{2}(\tilde{h}_{ij}, \tilde{h}_{kj})}{\sum_{j=1}^{m} w_{jR}}}, & Z_{\delta}(\tilde{h}_{ij}) > Z_{\delta}(\tilde{h}_{kj}) \ (\text{gain}) \\[8pt] 0, & Z_{\delta}(\tilde{h}_{ij}) = Z_{\delta}(\tilde{h}_{kj}) \\[6pt] -\dfrac{1}{\theta} \sqrt{\dfrac{\bigl( \sum_{j=1}^{m} w_{jR} \bigr) \cdot d_{E}^{2}(\tilde{h}_{ij}, \tilde{h}_{kj})}{w_{jR}}}, & Z_{\delta}(\tilde{h}_{ij}) < Z_{\delta}(\tilde{h}_{kj}) \ (\text{loss}) \end{cases}

7. Adım 7 (Zhang-Xu 2016 s.753 Eş.(6)) — Gösterge-bazlı PVF'leri toplam ikili egemenlik ϑ(R_i, R_k) = Σ_{j=1}^m φ_j(R_i, R_k) içinde topla. Matris Θ = (ϑ(R_i, R_k))_{n×n} sıfır köşegene sahip ve genellikle simetrik değildir (paper Tablo 12).

   $$\vartheta (R_i,R_k)=\sum _{j=1}^m{\phi }_j(R_i,R_k),i,k=1,\dots ,n$$
   LaTeX

   \vartheta(R_{i}, R_{k}) = \sum_{j=1}^{m} \varphi_{j}(R_{i}, R_{k}), \quad i, k = 1, \ldots, n

8. Adım 8 (Zhang-Xu 2016 s.753 Eş.(7) + s.759) — Θ'nın satır toplamlarını [0,1]'e min-max normalleştirerek toplam prospect değeri Φ(R_i)'yi hesapla: S_i = Σ_{k=1}^n ϑ(R_i, R_k); sonra Φ(R_i) = (S_i − min_k S_k) / (max_k S_k − min_k S_k). Max Φ'ye sahip alternatif en iyidir; azalan sırala.

   $$S_i=\sum _{k=1}^n\vartheta (R_i,R_k);\Phi (R_i)={\displaystyle \frac{S_i-{min}_k{S}_k}{{max}_k{S}_k-{min}_k{S}_k}}\in [0,1]$$
   LaTeX

   S_{i} = \sum_{k=1}^{n} \vartheta(R_{i}, R_{k}); \quad \Phi(R_{i}) = \dfrac{S_{i} - \min_{k} S_{k}}{\max_{k} S_{k} - \min_{k} S_{k}} \in [0, 1]

Sezgi

HF-TODIM, Gomes ve Lima (1991) tarafından önerilen TODIM (Tomada de Decisão Interativa e Multicriterio - Portekizce 'etkileşimli çok-kriterli karar') yönteminin hesitant fuzzy ortamda Zhang ve Xu (2016, ITOR) tarafından genişletilmiş halidir. TODIM'i diğer MCDM yöntemlerinden ayıran kritik özellik, Kahneman-Tversky (1979) prospect theory tabanlı ÇARPIK BİR DEĞER FONKSİYONU kullanmasıdır: alternatifler arasındaki kazanç (gain) ve kayıp (loss) ASİMETRİK ele alınır - kayıplar bir loss-aversion katsayısı θ ile büyütülür (θ>1 ise riskten-kaçınma, θ<1 ise risk-arayan davranış modellenir). HF uzantı şu adımları getirir: (i) Z_δ(h) hesitant ölçü fonksiyonu (Eq.2, δ ∈ (0,1] kullanıcı parametresi) ile HFE'leri sıralanabilir hâle getirir; (ii) referans kriter olarak max-ağırlıklı kriter seçilir (Adım 1, Eq.3); (iii) çift-yönlü Perceived Value Function ϕ_j(R_i, R_k) (Eq.4) kazançta sqrt(w_jR · d/Σw), kayıpta −1/θ · sqrt((Σw)·d/w_jR) formundadır; (iv) toplam PVF Ψ(R_i) tüm alternatiflerle pairwise karşılaştırmaların ağırlıklı toplamı, [0,1]'e normalize edilir (Eq.7). Tuojiang River Basin sürdürülebilir su yönetimi vakası, HF-TOPSIS'in eksenlerini ARTIRARAK uzman psikolojisini de yakalama kapasitesini gösterir.

Sonucu okuma: Φ ∈ [0,1] is the overall prospect value: 1 = best alternative under min-max normalisation, 0 = worst. Φ is NOT a probability or utility; it is a normalised aggregate of pairwise loss-averse dominance. Always report δ and θ alongside the ranking - different (δ, θ) pairs can produce different rankings on the same data (Zhang-Xu 2016 §5 'different methods of extension could produce different results'). For benchmark fidelity to the paper use δ=1, θ=1, risk_averse extension.

Varsayımlar

• Each (alternative, criterion) cell can be expressed as a non-empty finite set of [0,1] membership values
• Criterion weights are externally provided and sum to 1
• Expert preferences can be reasonably modelled by prospect-theoretic loss aversion (θ-attenuated loss branch)
• The set of compared alternatives is fixed during evaluation (Φ is set-dependent)

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data suffices - use classical TODIM (Gomes-Lima 1991)
• Intuitionistic / hesitancy structure (γ, ν) is needed - use IF-TODIM (Krohling-Pacheco-Siviero 2013)
• Alternative set is dynamic (frequent additions/removals) - min-max normalisation in Eq.(7) causes rank reversal across set changes (Zhang-Xu 2016 §3.3 ¶3 explicitly notes this)
• Strict no-loss-aversion symmetric distance behaviour is required - use HF-TOPSIS (Xu-Zhang 2013) instead

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from classical TODIM (Gomes-Lima 1992); HF extension additionally depends on the length-equalisation rule (risk-averse min-repeat vs risk-seeking max-repeat) and on the measure-function parameter δ.)
• Assumes: Each (alternative, criterion) cell can be expressed as a non-empty finite set of [0,1] membership values
• Assumes: Criterion weights are externally provided and sum to 1
• Assumes: Expert preferences can be reasonably modelled by prospect-theoretic loss aversion (θ-attenuated loss branch)
• Assumes: The set of compared alternatives is fixed during evaluation (Φ is set-dependent)

Sık yapılan hatalar

• Uzunluk-eşitleme seçimi sonuçlara etki eder: risk_averse (min'i tekrarla) ve risk_seeking (max'ı tekrarla) genellikle farklı d_E mesafeleri ve dolayısıyla farklı φ_j ve Φ üretir. Raporlanan sonuçta seçimi belge (paper §5 açıkça uyarır).
• Z_δ (ölçü fonksiyonu, Eş.(2)) ile Qian-Wang-Feng 2013'te kullanılan aritmetik ortalama skor fonksiyonunu karıştırma: yalnızca δ=1'de Z_δ ailesinde örtüşürler. Literatürdeki diğer HF-TODIM varyantları skor-doğruluk sıralaması veya farklı toplama operatörleri kullanır ve farklı sıralamalar üretir.
• Referans kriter R = argmax_j w_j, w_jR'de payda olarak girer - w'nin eşit maksimumları varsa eşit-bozma (en küçük indeks) sözleşmeye bağlıdır. Kesin sonuçlar için ayrı ağırlıklar al.
• Sıra tersine dönmesi: alternatif eklemek/çıkarmak satır-toplamlarının min/max'ını değiştirebilir ve dolayısıyla Φ'yi yeniden ölçeklendirir - paper §3.3 ¶3 'örnek bölge sayısı değiştiğinde Chengdu'nun sıralaması da değişir' der. Φ değerleri YALNIZCA aynı alternatif kümesi içinde karşılaştırılabilir.