HF-MOORA - Kararsız Bulanık Oran Analizi ile Çok Amaçlı Optimizasyon

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — HF karar matrisi H = (h_ij)_{m×n} oluştur; her h_ij DE tarafından sağlanan HFE'dir.

$H = (h_{i} j)_{m \times n}, h_{i} j \subseteq [0, 1], | h_{i} j | \geq 1 .$

LaTeX
H = (h_ij)_{m×n}, h_ij ⊆ [0,1], |h_ij| ≥ 1.
Adım 2 — Her HFE'yi aritmetik ortalama skor fonksiyonuyla skalere indir.

$S (h_{i} j) = (1 / | h_{i} j |) \cdot Σ_{γ \in h_{i} j} γ (a r i t h m e t i c m e a n, c a n o n i c a l d e f a u l t) . V a r i a n t : s (h_{i} j) = P A (h_{i} j) (H F P A, L i 2014 E q .9) .$

LaTeX
S(h_ij) = (1/|h_ij|) · Σ_{γ ∈ h_ij} γ (arithmetic mean, canonical default). Variant: s(h_ij) = PA(h_ij) (HFPA, Li 2014 Eq.9).
Adım 3 — Defuzzifiye skor matrisini sütun-bazlı vektör normalleştir: r*_ij = S(h_ij)/√(Σ_k S(h_kj)²).

$r *_{i} j = S (h_{i} j) / \sqrt (Σ_{k = 1}^{m} S (h_{k} j) ²); \forall j : Σ_{i} (r *_{i} j) ² = 1 . (B r a u e r s - Z a v a d s k a s 2006 n o r m a l i s a t i o n l i f t e d t o H F E - d e f u z z i f i e d s c o r e s p e r N a r a y a n a m o o r t h y 2020 E q .5 .)$

LaTeX
r*_ij = S(h_ij) / √( Σ_{k=1}^m S(h_kj)² ); ∀ j: Σ_i (r*_ij)² = 1. (Brauers-Zavadskas 2006 normalisation lifted to HFE-defuzzified scores per Narayanamoorthy 2020 Eq.5.)
Adım 4 — Kriter ağırlıklarını uygula: T_ij = w_j · r*_ij.

$T_{i} j = w_{j} \cdot r *_{i} j, i = 1 . . m, j = 1 . . n, Σ_{j} w_{j} = 1 .$

LaTeX
T_ij = w_j · r*_ij, i=1..m, j=1..n, Σ_j w_j = 1.
Adım 5 — Oran sistemi: y_i = Σ_B T_ij − Σ_NB T_ij.

$y_{i} = Σ_{j : d i r_{j} = m a x} w_{j} \cdot r *_{i} j - Σ_{j : d i r_{j} = m i n} w_{j} \cdot r *_{i} j, i = 1 . . m . (N a r a y a n a m o o r t h y 2020 E q .6 — n o r m a l i s e d v a l u e s u s e d f o r b o t h b e n e f i t a n d n o n - b e n e f i c i a l s u m s; r e s o l v e s t h e p a p e r^{'} s t y p o g r a p h i c a l X_{i} j v s X *_{i} j a s y m m e t r y p e r t h e i r o w n n u m e r i c a l e x a m p l e .) E q u i v a l e n t t o L i 2014 E q . (23) r_{i} = s (\oplus_{j \in B} r_{i} j) - s (\oplus_{j \in N B} r_{i} j) f o r s i n g l e t o n H F E s .$

LaTeX
y_i = Σ_{j: dir_j=max} w_j · r*_ij − Σ_{j: dir_j=min} w_j · r*_ij, i = 1..m. (Narayanamoorthy 2020 Eq.6 — normalised values used for both benefit and non-beneficial sums; resolves the paper's typographical X_ij vs X*_ij asymmetry per their own numerical example.) Equivalent to Li 2014 Eq.(23) r_i = s(⊕_{j ∈ B} r_ij) − s(⊕_{j ∈ NB} r_ij) for singleton HFEs.
Adım 6 — y_i'ye göre AZALAN sıralama (en büyük en iyi).

$A_{i} ≻ A_{i^{'}} ⟺ y_{i} > y_{i^{'}}; D * = a r g m a x_{i} y_{i} .$

LaTeX
A_i ≻ A_{i'} ⟺ y_i > y_{i'}; D* = arg max_i y_i.

Sezgi

HF-MOORA, Brauers-Zavadskas (2006) MOORA (Multi-Objective Optimization on Ratio Analysis) yönteminin Z.-H. Li (2014, J.Appl.Math.) tarafından hesitant fuzzy ortama uyarlanmış halidir; paper'ın asıl katkısı HF-MULTIMOORA (3 alt-yöntem: Ratio System + Reference Point + Full Multiplicative) olup HF-MOORA manifesti bu çatının ilk iki alt-yöntemini taşır. Li'nin ÖZGÜN katkısı NOVEL score function s(h) = PA(h) (Power Average) Def.16 ve NOVEL distance d(h_1,h_2) = |PA(h_1) - PA(h_2)| Def.18'dir; bu eski score s(h) = (Σγ)/δ(h) ve eski hesitant normalized Hamming distance'a göre 'unduly large/small deviation'ları AZALTIR (paper'da Example 19: eski H-distance=0.15, yeni d=0.0019 - tek outlier farkı dominate etmez). PA aggregation'ın sezgisi: birbirine 'yakın' HFE elemanları birbirini DESTEKLER (support); uzak elemanlar düşük ağırlık alır. MOORA'nın özü ise normalizasyon-bağımsız oran sistemi: r_i = s(⊕_{j∈N_B} r_ij) - s(⊕_{j∈N_C} r_ij) (benefit eklenir, cost çıkarılır; standart MCDM normalizasyonuna gerek yok çünkü HFE-native değerler [0,1] sıkıdır).

Sonucu okuma: HF-MOORA ranks alternatives based on performance scores. Higher score = better rank.

Sınırlılıklar

Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp MOORA (Brauers-Zavadskas 2006); vector normalisation makes ratio system sensitive to alternative addition/removal - y_i depends on column-wise square sum so adding/removing alternatives perturbs the denominator and may flip ranks.)

Sık yapılan hatalar

Doktora öğrencisi tuzakları: (a) HF-MOORA ile HF-MULTIMOORA'yı özdeşleştirmek - manifestin scope'u 2 alt-yöntem; tam MULTIMOORA = +Full Multiplicative + Dominance theory aggregation; (b) Eski hesitant Hamming distance'ı Def.18 ile karıştırmak - eski formül d_hnHd = (1/δ)Σ|h_1^σ(i) - h_2^σ(i)| sıralanmış elemanlara dayanır; yeni d = |PA(h_1)-PA(h_2)| tek-skalar farka dayanır; (c) Brauers'in MOORA'da vector normalization (x*_ij = x_ij / sqrt(Σ x_ij²) Eq.18) kullanır, ama HF varyantta NORMALIZE YOK - bu MOORA varyant farkı; (d) Power Average ile Weighted Average özdeş sanmak - PA'da ağırlıklar (1+T(a_i))/Σ(1+T) FORM'undadır ve VERİYE BAĞLI hesaplanır (içsel ağırlık, exogenous değil); (e) Dominance theory: 3 sıralama (Ratio, Reference, Multiplicative) çelişirse Brauers 2010 'majority rule' kanonik - ama HF-MOORA scope dışı, paper'ın §5.2'sinde Dominance theory yalnız MULTIMOORA için uygulanır.

Hesap adımları ve dayanakları

Construct HF decision matrix H = (h_ij)_{m×n}, where each h_ij is an HFE supplied by the decision-maker; entries may be of varying cardinality.

Dayanak: Li 2014, Algorithm 20 Step 1; Narayanamoorthy 2020, Section 5.2 Step 1.
Defuzzify each HFE to a crisp score via the chosen score operator. Canonical default: arithmetic mean S(h_ij) = (1/|h_ij|) · Σ_{γ ∈ h_ij} γ (Narayanamoorthy 2020 Eq.1, Xia-Xu 2011). Variant: HFPA s(h) = PA(h) (Li 2014 Eq.15).

Dayanak: Narayanamoorthy 2020, Eq.(1); Li 2014, Eq.(15); Xia-Xu 2011 score function.
Vector-normalise the defuzzified score matrix column-wise: r*_ij = S(h_ij) / √( Σ_{k=1}^m S(h_kj)² ).

Dayanak: Narayanamoorthy 2020, Eq.(5); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(2).
Apply criterion weights: T_ij = w_j · r*_ij.

Dayanak: Narayanamoorthy 2020, Step 4 / Eq.(24); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(3).
Ratio system: y_i = Σ_{j ∈ B} T_ij − Σ_{j ∈ NB} T_ij, where B = {benefit criteria}, NB = {non-beneficial criteria}.

Dayanak: Narayanamoorthy 2020, Eq.(6); Li 2014, Eq.(23); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(4).
Rank alternatives in DESCENDING order of y_i (largest is best).

Dayanak: Narayanamoorthy 2020, Step 6; Li 2014, Algorithm 20 Step 5.