HF-ARAS - Kararsız Bulanık Toplamsal Oran Değerlendirmesi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — HF karar matrisi H = (h_ij)_{m×n} oluştur; her h_ij DE tarafından sağlanan (veya HFWA Eq.8 ile çoklu-DE'den önceden toplanmış) HFE'dir.

$H = (h_{i} j)_{m \times n}, h_{i} j \subseteq [0, 1], | h_{i} j | \geq 1 .$

LaTeX
H = (h_ij)_{m×n}, h_ij ⊆ [0,1], |h_ij| ≥ 1.
Adım 2 — Optimal performans satırı M_0 = (h_0j) oluştur: fayda kriterleri için sütun-bazlı en iyi (score'a göre max), maliyet için min. M_0 sanal sıfırıncı alternatif olarak eklenir.

$h_{0} j = a r g m a x_{i} S (h_{i} j) i f j \in S_{b} (b e n e f i t); h_{0} j = a r g m i n_{i} S (h_{i} j) i f j \in S_{n} (c o s t) . A u g m e n t e d m a t r i x : H ̃ = (h_{i} j)_{(m + 1) \times n}, i \in 0, 1, . . ., m . (M i s h r a 2021 E q . (18))$

LaTeX
h_0j = argmax_i S(h_ij) if j ∈ S_b (benefit); h_0j = argmin_i S(h_ij) if j ∈ S_n (cost). Augmented matrix: H̃ = (h_ij)_{(m+1)×n}, i ∈ {0, 1, ..., m}. (Mishra 2021 Eq.(18))
Adım 3 — Eklenmiş matrisi sütun-bazlı linear normalleştir Eq.(19): fayda için sütun maksimum skoruna böl; maliyet için 1'den o oranı çıkar.

$F o r j \in S_{b} : h ̄_{i} j = h_{i} j / m a x_{i} S (h_{i} j) = ξ / m a x_{i} S (h_{i} j) : ξ \in h_{i} j . F o r j \in S_{n} : h ̄_{i} j = 1 - h_{i} j / m a x_{i} S (h_{i} j) = 1 - ξ / m a x_{i} S (h_{i} j) : ξ \in h_{i} j . m a x_{i} t a k e n o v e r a u g m e n t e d m a t r i x i \in 0, 1, . . ., m . (M i s h r a 2021 E q . (19))$

LaTeX
For j ∈ S_b: h̄_ij = h_ij / max_i S(h_ij) = { ξ / max_i S(h_ij) : ξ ∈ h_ij }. For j ∈ S_n: h̄_ij = 1 − h_ij / max_i S(h_ij) = { 1 − ξ / max_i S(h_ij) : ξ ∈ h_ij }. max_i taken over augmented matrix i ∈ {0, 1, ..., m}. (Mishra 2021 Eq.(19))
Adım 4 — HFE skaler güç ile ağırlıklandır (Xia-Xu 2011): h̃_ij = w_j ⊗ h̄_ij = {1 − (1 − ξ̄)^{w_j} : ξ̄ ∈ h̄_ij}.

$h ̃_{i} j = w_{j} \otimes h ̄_{i} j = 1 - (1 - ξ ̄)^{w_{j}} : ξ ̄ \in h ̄_{i} j, i = 0 . . m, j = 1 . . n . Σ_{j} w_{j} = 1, w_{j} \geq 0 . (M i s h r a 2021 E q . (20), e n t r y - w i s e i n t e r p r e t a t i o n; t h e p r i n t e d Π_{j = 1}^{n} i n E q .20 i s a t y p o g r a p h i c a l c o n f l a t i o n w i t h t h e a g g r e g a t i o n f o r m — e n t r y - w i s e r e a d i n g r e c o n c i l e s w i t h S t e p 8 / T a b l e 7 w h i c h r e q u i r e m \times n w e i g h t e d m a t r i x; s e e P . v e r i f i c a t i o n_{s} t a t u s .)$

LaTeX
h̃_ij = w_j ⊗ h̄_ij = { 1 − (1 − ξ̄)^{w_j} : ξ̄ ∈ h̄_ij }, i = 0..m, j = 1..n. Σ_j w_j = 1, w_j ≥ 0. (Mishra 2021 Eq.(20), entry-wise interpretation; the printed Π_{j=1}^n in Eq.20 is a typographical conflation with the aggregation form — entry-wise reading reconciles with Step 8/Table 7 which require m×n weighted matrix; see P.verification_status.)
Adım 5 — Her ağırlıklı HFE'yi aritmetik ortalama skor ile skalere indir: S(h̃_ij) = (1/g_{h̃_ij}) Σ_{ξ̃} ξ̃.

$S (h ̃_{i} j) = (1 / g_{h ̃_{i} j}) \cdot Σ_{ξ ̃ \in h ̃_{i} j} ξ ̃ . (M i s h r a 2021 E q . (21); i d e n t i c a l t o X i a - X u 2011 s c o r e f u n c t i o n a n d E q . (1) .)$

LaTeX
S(h̃_ij) = (1/g_{h̃_ij}) · Σ_{ξ̃ ∈ h̃_ij} ξ̃. (Mishra 2021 Eq.(21); identical to Xia-Xu 2011 score function and Eq.(1).)
Adım 6 — Toplam performans P_i = Σ_j S(h̃_ij) hesapla; fayda derecesi U_i = P_i / P_0.

$P_{i} = Σ_{j = 1}^{n} S (h ̃_{i} j), i = 0, 1, . . ., m . U_{i} = P_{i} / P_{0}, i = 1, . . ., m; U_{i} \in [0, 1] . (M i s h r a 2021 E q s . (22) - (23))$

LaTeX
P_i = Σ_{j=1}^n S(h̃_ij), i = 0, 1, ..., m. U_i = P_i / P_0, i = 1, ..., m; U_i ∈ [0, 1]. (Mishra 2021 Eqs.(22)-(23))
Adım 7 — U_i'ye göre AZALAN sıralama (en büyük en iyi).

$A_{i} ≻ A_{i^{'}} ⟺ U_{i} > U_{i^{'}}; M * = a r g m a x_{i} U_{i} . (M i s h r a 2021 E q . (24))$

LaTeX
A_i ≻ A_{i'} ⟺ U_i > U_{i'}; M* = arg max_i U_i. (Mishra 2021 Eq.(24))

Sezgi

HF-ARAS, Zavadskas-Turskis (2010) Additive Ratio Assessment yönteminin hesitant fuzzy ortamda Mishra ve arkadaşları (2021) tarafından yeniden örgütlenmiş hâlidir. Klasik ARAS'ın merkez fikri - "her alternatifin toplam optimallik fonksiyonunu hipotetik en-iyi alternatifinkine oran (utility-degree K_i = S_i/S_0) ile ifade etmek" - burada HFE skorlarıyla işlenir. Yöntemin paper-spesifik katkısı iki yerdedir: (i) HFE'ler arası yakınlığı ölçmek için Hung-Yang (2008) divergence çatısından türetilmiş yeni D_1(U,V) fonksiyonu (Eq.4, Teoremler 1-3 ile postulat-uyumluluğu kanıtlanmış); (ii) hem nesnel ağırlıkların D_1 üzerinden divergence-tabanlı çıkarımı hem subjektif uzman ağırlıklarıyla kombinasyonu (Eqs.13-14). Output, K_i ∈ [0,1] aralığında utility skorlarıdır; en yüksek K_i, ARAS standardınca en iyi alternatif.

Sonucu okuma: HF-ARAS ranks alternatives based on performance scores. Higher score = better rank.

Sınırlılıklar

Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp ARAS (Zavadskas-Turskis 2010); the ideal row M_0 is computed from the current alternative set (column-wise max for benefit, min for cost), so adding or removing an alternative may shift M_0 and re-normalise all U_i values, potentially flipping ranks. Linear normalisation h̄_ij = h_ij / max_i S(h_ij) further amplifies this - denominator depends on the full alternative set.)

Sık yapılan hatalar

Pitfall #1: Cost normalizasyonu için PIS/NIS flip kullanmak. HF-ARAS'ta cost handling Eq.(1) tipi HFE komplemantasyonudur (1-γ); bu, paper §3 Adım 3'te netleştirilmiştir.
Pitfall #2: α subjektif/nesnel karışım katsayısını veri-bağımsız sabit alıp duyarlılık analizi yapmamak. Paper §5.3 α'nın sıralamayı etkileyebileceğini gösterir - tek bir α=0.5 çalıştırması yeterli kanıt değildir, raporda α∈{0,0.25,0.5,0.75,1} taraması önerilir.
Pitfall #3: D_1 divergence yerine sıradan d_1 Öklid uzaklığını kullanmak. D_1 (Eq.4) Kullback-Leibler-benzeri asimetrik bir ölçüdür ve Teorem 2'de symmetric'leştirme adımı (divergence kombinasyonu) gerekir; sadece d_1 ile w_j^o hesaplamak paper'ın matematiğini değiştirir.
Pitfall #4: Uzman ağırlıkları λ_k'nın Σλ_k=1 normalizasyonunu Adım 1'de unutmak. HFWA operatörü ağırlıklı geometrik form içerir; normalize olmayan λ_k matematiksel olarak garip skor üretir.
Pitfall #5: Utility-degree K_i'yi closeness coefficient C_i (TOPSIS) ile karıştırmak. K_i = S_i/S_0 ORAN'dır (optimal satıra göre); C_i ise pozitif-ideale uzaklığın toplam uzaklıktaki PAYI'dır. Yorumları farklıdır; akademik thesis'te karıştırılırsa metodoloji doğru anlatılmamış olur.

Hesap adımları ve dayanakları

Construct HF decision matrix H = (h_ij)_{m×n}, where each h_ij is an HFE supplied by the decision-maker (or pre-aggregated from multi-DE input via HFWA Eq.(8)). Entries may be of varying cardinality.

Dayanak: Mishra 2021, Step 1 (Section 4); Eq.(8) HFWA for optional multi-DE aggregation.
Construct optimal performance row M_0 = (h_0j)_{j=1..n}, where h_0j is the column-wise best HFE: max over alternatives by score S(·) for benefit criteria (j ∈ S_b), min for cost criteria (j ∈ S_n). M_0 is appended as a virtual zeroth alternative.

Dayanak: Mishra 2021, Step 5 (numbered Step 5 in paper despite being Step 2 of ARAS core), Eq.(18); Zavadskas-Turskis 2010 ideal-alternative construct.
Linear-normalise the augmented matrix column-wise via Eq.(19). For benefit: divide each entry by the column's maximum score. For cost: take 1 minus that ratio (complement form).

Dayanak: Mishra 2021, Step 6 / Eq.(19); Zavadskas-Turskis 2010 linear normalisation lifted to HFE entry-wise scalar division/complement.
Apply criterion weights via entry-wise HFE scalar power (Xia-Xu 2011 scalar multiplication on HFE): h̃_ij = w_j ⊗ h̄_ij = { 1 − (1 − ξ̄)^{w_j} : ξ̄ ∈ h̄_ij }. Each entry of the normalised matrix is raised to the weight as scalar exponent.

Dayanak: Mishra 2021, Step 7 / Eq.(20); Xia-Xu 2011 scalar power on HFE.
Defuzzify each weighted HFE to a crisp score via arithmetic mean: S(h̃_ij) = (1/g_{h̃_ij}) Σ_{ξ̃ ∈ h̃_ij} ξ̃. Produces an (m+1)×n scalar matrix of weighted normalised scores.

Dayanak: Mishra 2021, Step 8 / Eq.(21); Xia-Xu 2011 score function.
Compute overall performance rating P_i = Σ_{j=1}^n S(h̃_ij) for each alternative (including ideal row P_0). Then compute utility degree U_i = P_i / P_0 (relative to ideal optimum).

Dayanak: Mishra 2021, Step 9 / Eqs.(22)-(23); Zavadskas-Turskis 2010 utility-degree formula K_i = S_i / S_0.
Rank alternatives in DESCENDING order of U_i (largest is best). M* = arg max_i U_i.

Dayanak: Mishra 2021, Step 10 / Eq.(24); Zavadskas-Turskis 2010 ranking.