HF-AHP - Kararsız Bulanık AHP (HMPM ile AHP-Kararsız Grup Karar Verme)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 (Zhu-Xu 2014, s.795 Def.2) — İkili yargıları kararsız çarpımsal tercih ilişkisi Z = (z_ij)_{n×n} olarak topla; z_ij ⊂ [1/9, 9] (Saaty 1-9 ölçeği), z_ii = {1}, ρ-eleman karşılıklığı z_ij^(ρ(l)) · z_ji^(ρ(l)) = 1, ve i<j için kesin sıralama z_ij^(ρ(l)) < z_ij^(ρ(l+1)).

   $$Z=(z_{ij}{)}_{n\times n},z_{ij}=\{z_{ij}^{(l)}\mid l=1,\dots ,|z_{ij}|\}\subset [1/9,9];z_{ij}^{(\rho (l))}·z_{ji}^{(\rho (l))}=1,z_{ii}=1;z_{ij}^{(\rho (l))}<z_{ij}^{(\rho (l+1))},i<j$$
   LaTeX

   Z = (z_{ij})_{n \times n}, \quad z_{ij} = \{ z_{ij}^{(l)} \mid l = 1, \ldots, |z_{ij}| \} \subset [1/9, 9]; \quad z_{ij}^{(\rho(l))} \cdot z_{ji}^{(\rho(l))} = 1, \ z_{ii} = 1; \quad z_{ij}^{(\rho(l))} < z_{ij}^{(\rho(l+1))}, \ i < j

2. Adım 2 (Zhu-Xu 2014, s.795–796 Eş.(5)–(9)) — Tutarlılık bağıntısını w_i/w_j = z_ij^(1) veya … veya z_ij^(|z_ij|) olarak ifade et (Eş.(5)). Her i<j çifti ve her l ∈ {1,…,|z_ij|} için artık R_ij^(l)(w) = w_i − w_j · z_ij^(l)'yi tanımla; çift başına |z_ij| aday denklemden oluşan ayrışık sistem (Eş.(9)).

   $${\displaystyle \frac{w_i}{w_j}}=z_{ij}^{(1)}\text{or}\dots \text{or}{z}_{ij}^{(|z_{ij}|)};R_{ij}^{(l)}(w)=w_i-w_j·z_{ij}^{(l)}\cong 0,i<j,l=1,\dots ,|z_{ij}|$$
   LaTeX

   \dfrac{w_{i}}{w_{j}} = z_{ij}^{(1)} \ \text{or} \ \ldots \ \text{or} \ z_{ij}^{(|z_{ij}|)}; \quad R_{ij}^{(l)}(w) = w_{i} - w_{j} \cdot z_{ij}^{(l)} \cong 0, \quad i<j, \ l = 1, \ldots, |z_{ij}|

3. Adım 3 (Zhu-Xu 2014, s.796 Eş.(10)–(12)) — Her kesin denklemi sapma parametresi t ile R_ij^(l)(w) artığı üzerinde V-şekilli doğrusal üyelik fonksiyonu m_ij^(l)(w) ile değiştir. Toplam memnuniyet noktasal minimum λ = min_{i<j,l} m_ij^(l)(w); HMPM λ'yı maksimize eder (Eş.(12)).

   $$m_{ij}^{(l)}(w)=\{\begin{array}{cc}1-{\displaystyle \frac{R_{ij}^{(l)}(w)}{t}},\hfill & R_{ij}^{(l)}(w)\ge 0\hfill \\ [\mathrm{4pt}]1+{\displaystyle \frac{R_{ij}^{(l)}(w)}{t}},\hfill & R_{ij}^{(l)}(w)<0\hfill \end{array};\lambda =maxmin\backslash \{m_{ij}^{(l)}(w)|i<j,l=1,\dots ,|z_{ij}|\backslash \}$$
   LaTeX

   m_{ij}^{(l)}(w) = \begin{cases} 1 - \dfrac{R_{ij}^{(l)}(w)}{t}, & R_{ij}^{(l)}(w) \ge 0 \\[4pt] 1 + \dfrac{R_{ij}^{(l)}(w)}{t}, & R_{ij}^{(l)}(w) < 0 \end{cases}; \quad \lambda = \max \, \min \bigl\{ m_{ij}^{(l)}(w) \,\big|\, i<j, \ l=1,\ldots,|z_{ij}| \bigr\}

4. Adım 4 (Zhu-Xu 2014, s.796 Eş.(14)–(15)) — Maks-min programını (λ, w_1, …, w_n) üzerinde AYRIŞIK doğrusal program olarak yeniden ifade et. Eş.(15) içindeki 'veya', her i<j çifti için öncelik vektörünün hepsini değil EN AZ BİR l ∈ {1,…,|z_ij|} için V-şekli kısıtları sağlaması gerektiği anlamına gelir. İki uygulanabilir çözüm: (a) Π_{i<j}|z_ij| aday seçimi numaralandır, her kombinasyon için kesişimli LP çöz, en büyük λ veren kombinasyonu seç; (b) ikili seçici değişkenler y_ij^(l) ∈ {0,1} (çift başına bir seçili) ve seçilmemiş kısıtların big-M gevşetmesi ile MILP. Çıktı: öncelik vektörü w ve grup memnuniyet endeksi GSI = λ*.

   $$\begin{gathered} max\&\lambda \\ \text{s.t.}\&{\bigvee }_{l=1}^{|z_{ij}|}[t\lambda +(w_i-w_j{z}_{ij}^{(l)})\le t\wedge t\lambda -(w_i-w_j{z}_{ij}^{(l)})\le t],i<j \\ \&\sum _{i=1}^n{w}_i=1,w_i\ge 0,i=1,\dots ,n \\ \text{MILP form:}t\lambda +(w_i-w_j{z}_{ij}^{(l)})\le t+M(1-y_{ij}^{(l)}),t\lambda -(w_i-w_j{z}_{ij}^{(l)})\le t+M(1-y_{ij}^{(l)}),\sum _l{y}_{ij}^{(l)}=1,y_{ij}^{(l)}\in \{0,1\} \end{gathered}$$
   LaTeX

   \begin{aligned} \max \quad & \lambda \\ \text{s.t.} \quad & \bigvee_{l=1}^{|z_{ij}|} \bigl[\, t \lambda + (w_{i} - w_{j} z_{ij}^{(l)}) \le t \ \wedge\ t \lambda - (w_{i} - w_{j} z_{ij}^{(l)}) \le t \,\bigr], \quad i<j \\ & \sum_{i=1}^{n} w_{i} = 1, \quad w_{i} \ge 0, \ i = 1, \ldots, n \end{aligned} \\ \text{MILP form:} \quad t\lambda + (w_i - w_j z_{ij}^{(l)}) \le t + M(1 - y_{ij}^{(l)}), \ t\lambda - (w_i - w_j z_{ij}^{(l)}) \le t + M(1 - y_{ij}^{(l)}), \ \sum_l y_{ij}^{(l)} = 1, \ y_{ij}^{(l)} \in \{0,1\}

5. Adım 5 (Zhu-Xu 2014, s.796 §3 kapanış + §4.1) — GSI = λ'yı toplam üyelik fonksiyonunun maksimumu olarak yorumla. λ → 1, HMPR'nin Eş.(5)'i takip eden (neredeyse) tam tutarlı olduğu anlamına gelir; λ ≈ 0 veya negatif güçlü sapma. HMPM tüm HME'yi toplamaz, yalnızca Eş.(5) ayrışımını sağlayan değerlere odaklanır.

   $$\text{GSI}={\lambda }^{*}\in (-\infty ,1];{\lambda }^{*}\to 1⟺\text{HMPR fully consistent under Eq.(5)}$$
   LaTeX

   \text{GSI} = \lambda^{*} \in (-\infty, 1]; \quad \lambda^{*} \to 1 \Longleftrightarrow \text{HMPR fully consistent under Eq.(5)}

6. Adım 6 (Zhu-Xu 2014, s.798 §5, s.799 Tablo 7) — Hiyerarşik birleştirme. Problem amaç-kriter-alternatif hiyerarşisine sahip olduğunda, F1–F4'ü kriter seviyesinde bir kez (kriter ağırlıkları w_c) ve her kriter için alternatif seviyesinde bir kez (kriter r için alternatif ağırlıkları A_r) çalıştır. Ağırlıklı aritmetik ortalama ile birleştir: alternatif i'nin global önceliği = Σ_r A_r[i] · w_c[r].

   $$B_i=\sum _{r=1}^{n_{\text{crit}}}{A}_r[i]·w_c[r],i=1,\dots ,n_{\text{alt}}$$
   LaTeX

   B_{i} = \sum_{r=1}^{n_{\text{crit}}} A_{r}[i] \cdot w_{c}[r], \quad i = 1, \ldots, n_{\text{alt}}

Sezgi

Hesitant multiplicative pairwise comparison (HMPR) - linear-programming prioritisation (HMPM). Output typically weight (higher value = preferred).

Sonucu okuma: Priority vector entries sum to 1 and indicate relative importance. The Group Satisfaction Index λ measures how well the priority vector satisfies the disjunctive consistency relation w_i/w_j ∈ z_ij (Eq.(5)). λ → 1 = fully consistent under at least one element-selection per cell; λ near 0 or negative = serious divergence, re-elicit judgments. Choose deviation parameter t = 1 unless you have a reason to tighten or loosen the V-shape (paper shows w is invariant under t > 0; only λ scales).

Varsayımlar

• Domain experts available and willing to express hesitancy as discrete value sets
• Pairwise comparisons drawn from Saaty's 1-9 ratio scale [1/9, 9]
• Reciprocity z_ij^(ρ(l)) · z_ji^(ρ(l)) = 1 holds for the ρ-th paired elements

Ne zaman kullanılmaz

• Experts can give precise crisp judgments → use classical AHP
• Judgment uncertainty is additive on [0,1] rather than multiplicative on [1/9, 9] → use Torra-style HF preference relations / HF-AHP variants on [0,1] (separate manifest)
• Number of HME elements per cell is very large (LP scales as Σ|z_ij|)

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from classical AHP (Belton-Gear 1983; Saaty 1990); HMPM additionally inherits LP-sensitivity to deviation parameter t)
• Assumes: Domain experts available and willing to express hesitancy as discrete value sets
• Assumes: Pairwise comparisons drawn from Saaty's 1-9 ratio scale [1/9, 9]
• Assumes: Reciprocity z_ij^(ρ(l)) · z_ji^(ρ(l)) = 1 holds for the ρ-th paired elements

Sık yapılan hatalar

• HME elemanlarını artan sıra dışında girmek Eş.(4) sıralamasını ihlal eder; LP yine çözülür ama kanonik karşılıklılık yorumu kaybolur.
• HMPM yerine GHMA / GHMWA toplama operatörleri (Eş.(17)-(18)) farklı öncelikler verir - paper §4.3 ¶3 iki yaklaşımı açıkça karşılaştırır: HMPM tutarlılığı sağlayan değerleri seçer, toplama operatörleri tüm HME üzerinde ortalama alır. Karıştırma.
• t'yi çok küçük seçmek tutarlı matrisler için bile λ'yı negatife sürebilir (Zhu-Xu 2014 Tablo 2, t=0.05 → λ=−0.8082). Negatif λ w için başarısızlık değil ama kullanıcıyı yanıltabilir; t'yi λ ile birlikte raporla.