Grey-PROMETHEE - PROMETHEE yönteminin Grey uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her kriter için tercih fonksiyonu P_j ve (q,p) parametrelerini seç.

   $$d_j(a,b)=\{\begin{array}{cc}{x}_{aj}-x_{bj}\hfill & j\in J^{+}\hfill \\ x_{bj}-x_{aj}\hfill & j\in J^{-}\hfill \end{array};P_j(d):ℝ\to [0,1]$$
   LaTeX

   d_{j}(a,b) = \begin{cases} x_{aj}-x_{bj} & j\in J^{+} \\ x_{bj}-x_{aj} & j\in J^{-} \end{cases};\quad P_{j}(d): \mathbb{R}\to[0,1]

2. Adım 2 — İkili tercih π(a,b).

   $$\pi (a,b)=\sum _{j=1}^n{w}_j{P}_j(d_j(a,b))$$
   LaTeX

   \pi(a,b) = \sum_{j=1}^{n} w_{j}\,P_{j}\bigl(d_{j}(a,b)\bigr)

3. Adım 3 — Pozitif akış φ^+(a).

   $${\varphi }^{+}(a)={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\sum _{b\ne a}\pi (a,b)$$
   LaTeX

   \phi^{+}(a) = \dfrac{1}{m-1} \sum_{b\neq a} \pi(a,b)

4. Adım 4 — Negatif akış φ^−(a).

   $${\varphi }^{-}(a)={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\sum _{b\ne a}\pi (b,a)$$
   LaTeX

   \phi^{-}(a) = \dfrac{1}{m-1} \sum_{b\neq a} \pi(b,a)

5. Adım 5 — Net akış φ(a) ve azalan tam sıralama.

   $$\varphi (a)={\varphi }^{+}(a)-{\varphi }^{-}(a)$$
   LaTeX

   \phi(a) = \phi^{+}(a) - \phi^{-}(a)

Sezgi

Grey outranking/ranking - Grey Interval Number (GIN: [x̲, x̄]). Output typically preference_flow (higher value = preferred).

Sonucu okuma: grey-promethee extends PROMETHEE to handle Grey uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Grey Interval Number (GIN: [x̲, x̄]) algebra. The final scores are defuzzified via whitenisation: (x̲ + x̄)/2 before ranking.

Varsayımlar

• Thresholds (q, p, v) can be expressed in Grey scale
• Veto + concordance semantics adapted to fuzzy arithmetic

Ne zaman kullanılmaz

• Small dataset (m<3) - outranking machinery underutilised

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Thresholds (q, p, v) can be expressed in Grey scale
• Assumes: Veto + concordance semantics adapted to fuzzy arithmetic

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin GIN: x̲ ≤ x̄ (lower and upper bounds of interval) koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: whitenisation: (x̲ + x̄)/2 kanonik seçimdir.