FIA - Bulanık Bilgi Aksiyomu (Bulanık veri altında Aksiyomatik Tasarım)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — TBS sistem aralığı matrisini ve TBS tasarım aralığı vektörünü oluştur. Sözel terimler önce bölümün dönüşüm skalalarıyla TBS'lere kodlanmalı.

${\tilde{r}}_{i j} = (l_{i j}, m_{i j}, u_{i j}), {\tilde{d}}_{j} = (d l_{j}, d m_{j}, d u_{j}), 0 \leq l \leq m \leq u$

LaTeX
\tilde{r}_{ij} = (l_{ij}, m_{ij}, u_{ij}), \quad \tilde{d}_j = (dl_j, dm_j, du_j), \quad 0 \le l \le m \le u
Adım 2 — Her (i,j) için Sistem Alanı S_ij ve Ortak Alan C_ij'yi hesapla. Birim tepe yüksekliğinde TBS için S_ij = (u_ij − l_ij)/2. Ortak Alan, iki TBS üyelik fonksiyonunun min'inin örtüşme desteği üzerinde integralidir. Her ikisi de kesin (crisp) skalerdir — algoritma TBS aritmetiği DEĞİL, üyelik fonksiyonu kesişiminin geometrik alanıdır.

$S_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i j} - l_{i j}); C_{i j} = \int_{x \in s u p p ({\tilde{r}}_{i j}) \cap s u p p ({\tilde{d}}_{j})} min (μ_{{\tilde{r}}_{i j}} (x), μ_{{\tilde{d}}_{j}} (x)) d x$

LaTeX
S_{ij} = \tfrac{1}{2}(u_{ij} - l_{ij}); \quad C_{ij} = \int_{x \in \mathrm{supp}(\tilde{r}_{ij}) \cap \mathrm{supp}(\tilde{d}_j)} \min(\mu_{\tilde{r}_{ij}}(x), \mu_{\tilde{d}_j}(x)) \, dx
Adım 3 — Bilgi içeriği I_ij = log_2(S_ij / C_ij)'yi hesapla. C_ij = 0 ise (boş kesişim) I_ij = ∞ ve alternatif FR j üzerinde olanaksızdır.

$I_{i j} = \log_{2} (\frac{S_{i j}}{C_{i j}}) (= \infty if C_{i j} = 0)$

LaTeX
I_{ij} = \log_{2}\!\left(\dfrac{S_{ij}}{C_{ij}}\right) \quad (= \infty \text{ if } C_{ij} = 0)
Adım 4 — Alternatif başına toplam bilgi içeriğini I_i topla. Bölüm iki form sunar: ağırlıksız (Tablo 3, 5, 8) ve ağırlıklı (§4.2). Bu uygulama ağırlıklı formu kullanır; ağırlık verilmemişse w_j = 1/n.

$I_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \cdot I_{i j} (reduces to \sum_{j} I_{i j} when w_{j} = 1 / n \cdot n = 1)$

LaTeX
I_i = \sum_{j=1}^{n} w_j \cdot I_{ij} \quad \text{(reduces to } \sum_j I_{ij} \text{ when } w_j = 1/n \cdot n = 1)
Adım 5 — Alternatifleri I_i'ye göre artan sırada sırala (en düşük I_i en iyi tasarım — Suh Bilgi Aksiyomu).

$i^{⋆} = \arg {min}_{i \in {1, \dots, m}} I_{i}$

LaTeX
i^{\star} = \arg\min_{i \in \{1,\dots,m\}} I_i

Sezgi

Information content minimization - axiomatic design with TFN system/design ranges, common-area / system-area ratio. Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: FIA evaluates how well each alternative's achievable range (system range) matches the design target range under fuzzy uncertainty. Lower total information content I_i (in bits) means the alternative satisfies the functional requirements more reliably. An infinite I_ij means the alternative cannot satisfy FR j at all (zero intersection between system range and design range).

Varsayımlar

Decision matrix entries are valid Fuzzy (Triangular) numbers/tuples
Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

Classical data sufficient - use base INFORMATION-AXIOM directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

Assumes: Decision matrix entries are valid Fuzzy (Triangular) numbers/tuples
Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

Sıfır ortak alan: C_ij = 0 olan herhangi bir FR, I_ij'yi sonsuz yapar ve alternatifi tamamen eler. Karar verici tasarım aralıklarını ayarlamalı veya elemeyi kabul etmelidir.
Sistem alanı S_ij, TBS üçgen alan formülü (u-l)/2'yi kullanır; üçgen olmayan üyelik fonksiyonları farklı alan hesaplaması gerektirir.
FIA, FR'lar arasında bağımsızlık varsayar (Suh'un Bağımsızlık Aksiyomu). Güçlü bağıntılı kriterler önce aksiyom-1 (bağımsızlık) reformülasyonu gerektirir.

Hesap adımları ve dayanakları

Assemble the TFN system range matrix R̃ = [r̃_ij] (rij = (l_ij, m_ij, u_ij)) and the TFN design range vector D̃ = (d̃_1, …, d̃_n) with d_j = (dl_j, dm_j, du_j). Linguistic terms (e.g. Low, Medium, High) must first be encoded into TFNs via the chapter's conversion scales (Fig.14-15 for intangibles, Fig.18-21 for tangible costs).

Dayanak: Kahraman 2008 Ch.8 §2.2 p.213-215; Fig.14-15 p.223-224 linguistic encoding
For each (i, j) compute the System Area S_ij (planar area under the system-range TFN membership function) and the Common Area C_ij (planar area of the geometric intersection of system-range TFN and design-range TFN). For unit-height triangular fuzzy numbers, S_ij = (u_ij − l_ij) / 2. The Common Area is computed by integrating min(μ_sys(x), μ_des(x)) over the overlap support; for triangular membership functions this reduces to a piecewise polynomial of degree 2 with break-points at the membership crossovers. Both S_ij and C_ij are crisp scalars - the algorithm is NOT fuzzy arithmetic on TFNs; the fuzziness is captured only by the geometry of membership functions whose intersection area is taken (Kahraman 2008 Ch.8 §2.2 Fig.5 p.215).

Dayanak: Kahraman 2008 Ch.8 §2.2 Eq.(7) p.215; Fig.5 p.215; worked Eq.(16)-(17) p.223-224
Compute information content I_ij = log_2(S_ij / C_ij). If C_ij = 0 (empty intersection), then I_ij = ∞ and alternative i is infeasible on FR j (e.g. book Eq.(8) p.217 where FMS-I's ADMC system range does not overlap the design range, yielding I_{ADMC-1} = ∞).

Dayanak: Kahraman 2008 Ch.8 §2.2 Eq.(7) p.215; Eq.(8) p.217 infeasibility case; Suh 1990 Information Axiom
Aggregate per-alternative total information content I_i. The chapter presents two forms: (a) Unweighted sum I_i = Σ_j I_ij (Table 3 p.222, Table 5 p.225, Table 8 p.230 - all uses this form). (b) Weighted sum I_i = Σ_j w_j · I_ij (referenced for the weighted multi-attribute approach in §4.2). This implementation uses the weighted form (collapsing to unweighted when all w_j are equal); if w_j are not provided, default to uniform weights w_j = 1/n.

Dayanak: Kahraman 2008 Ch.8 §3 Table 3 p.222 (unweighted); §4.2 p.230 (weighted form)
Rank alternatives in ascending order of I_i (smaller information content = greater certainty of satisfying the FRs = better alternative). The alternative with minimum I_i is selected as the best design (Suh's Information Axiom).

Dayanak: Kahraman 2008 Ch.8 §3 Table 5 p.225 (FMS-II selected, min I = 15.275); Suh 1990 Information Axiom