Fuzzy ELECTRE II - ELECTRE-II yönteminin Fuzzy uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Fuzzy karar matrisi X̃ oluştur; girişler TFN (l, m, u).

   $$\tilde{X}=[{\tilde{x}}_{ij}{]}_{m\times n},{\tilde{x}}_{ij}=(l_{ij},m_{ij},u_{ij})$$
   LaTeX

   \tilde{X} = [\tilde{x}_{ij}]_{m\times n}, \quad \tilde{x}_{ij} = (l_{ij}, m_{ij}, u_{ij})

2. Adım 2 — Her TFN'i centroid (l+m+u)/3 ile skora dönüştür.

   $$x_{ij}^{*}=(l_{ij}+m_{ij}+u_{ij})/3,w_j^{*}=(l_j^w+m_j^w+u_j^w)/3,w_j=w_j^{*}/\sum _k{w}_k^{*}$$
   LaTeX

   x_{ij}^{*} = (l_{ij} + m_{ij} + u_{ij})/3, \quad w_j^{*} = (l_j^w + m_j^w + u_j^w)/3, \quad w_j = w_j^{*} / \sum_{k} w_k^{*}

3. Adım 3 (yön-nötr): bulanıklıktan arındırılmış matrisi her kriter için AYNI formülle vektör normalleştir, r_ij = x*_ij / sqrt(toplam_i (x*_ij)^2). Fayda ve maliyet sütunları burada aynı işlenir; kriter yönü tam olarak bir kez, F5'te uygulanır, çünkü crisp ELECTRE II kanonu uyum kümesini tercih-artan bir kriter üzerinde tanımlar (Figueira, Mousseau ve Roy, 'ELECTRE Methods', Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys içinde Böl.4, Springer 2005, s. 9; ELECTRE II'ye s. 12'de devredilir). Bulanıklıktan arındırılmış matrisin her hücresi zaten [0,1] aralığındaysa matris ağırlıklı-normalleştirilmiş kabul edilir ve bu adım geçirgen olur.

   $$r_{ij}=x_{ij}^{*}/\sqrt{{\sum }_i(x_{ij}^{*}{)}^2}\forall j(\text{benefit and cost alike; direction is applied in F5})$$
   LaTeX

   r_{ij} = x_{ij}^{*} / \sqrt{\sum_{i} (x_{ij}^{*})^2}\ \ \forall j\ (\text{benefit and cost alike; direction is applied in F5})

4. Adım 4 — Ağırlıklı normalize matris v_ij.

   $$v_{ij}=w_j·r_{ij}$$
   LaTeX

   v_{ij} = w_j \cdot r_{ij}

5. Adım 5 (kriter yönünün uygulandığı tek yer): önce her kriteri tercih-artan hale getir, j kriteri maliyetse v'_aj = -v_aj, fayda ise v'_aj = v_aj; sonra her sıralı (A_a, A_b) çifti için uyum kümesi C(a,b) = {j | v'_aj >= v'_bj} ve uyumsuzluk kümesi D(a,b) = {j | v'_aj < v'_bj} hesaplanır. ELECTRE uyum kümesini tercih-artan bir kriter üzerinde tanımlar, c(aSb) = {j : g_j(a) >= g_j(b)} kümesi üzerinden w_j toplamıdır (Figueira, Mousseau and Roy 2005, p. 9). Uyumsuzluk negatiflemeden etkilenmez, çünkü F7 |v'_aj - v'_bj| kullanır.

   $$v_{aj}^{\prime }=-v_{aj}\text{if }j\text{ is cost, else }{v}_{aj};C(a,b)=\{j\mid v_{aj}^{\prime }\ge v_{bj}^{\prime }\},D(a,b)=\{j\mid v_{aj}^{\prime }<v_{bj}^{\prime }\}$$
   LaTeX

   v'_{aj} = -v_{aj}\ \text{if } j \text{ is cost, else } v_{aj}; \quad C(a,b) = \{ j \mid v'_{aj} \geq v'_{bj} \}, \quad D(a,b) = \{ j \mid v'_{aj} < v'_{bj} \}

6. Adım 6 — Concordance indeksi c(a,b).

   $$c(a,b)=\sum _{j\in C(a,b)}{w}_j\text{(if }\sum _j{w}_j=1\text{)}$$
   LaTeX

   c(a,b) = \sum_{j \in C(a,b)} w_j \quad \text{(if } \sum_j w_j = 1\text{)}

7. Adım 7 — Discordance indeksi d(a,b).

   $$d(a,b)={\displaystyle \frac{{max}_{j\in D(a,b)}|v_{aj}-v_{bj}|}{{max}_j|v_{aj}-v_{bj}|}},d(a,b)=0\text{ if }D(a,b)=\varnothing$$
   LaTeX

   d(a,b) = \dfrac{\max_{j \in D(a,b)} |v_{aj} - v_{bj}|}{\max_{j} |v_{aj} - v_{bj}|}, \quad d(a,b)=0 \text{ if } D(a,b)=\emptyset

8. Adım 8 — Kanonik Roy & Bertier 1973 5-eşik outranking + karşılıklı tercih C(a,b)≥C(b,a). Güçlü S^s ve zayıf S^w iki disjonksiyon ile.

   $$S^s(a,b):C(a,b)\ge C(b,a)\wedge ((c(a,b)\ge c^{+}\wedge d(a,b)\le d^{+})\vee (c(a,b)\ge c^0\wedge d(a,b)\le d^{-}));S^w(a,b):C(a,b)\ge C(b,a)\wedge ((c(a,b)\ge c^0\wedge d(a,b)\le d^{+})\vee (c(a,b)\ge c^{-}\wedge d(a,b)\le d^{-}))$$
   LaTeX

   S^s(a,b): \; C(a,b)\geq C(b,a) \;\wedge\; \big( (c(a,b)\geq c^{+} \wedge d(a,b)\leq d^{+}) \;\vee\; (c(a,b)\geq c^{0} \wedge d(a,b)\leq d^{-}) \big); \quad S^w(a,b): \; C(a,b)\geq C(b,a) \;\wedge\; \big( (c(a,b)\geq c^{0} \wedge d(a,b)\leq d^{+}) \;\vee\; (c(a,b)\geq c^{-} \wedge d(a,b)\leq d^{-}) \big)

9. Adım 9 — R^s, R^w boolean matrisleri + Johnson algoritması ile döngü tespit/eleme (eşdeğerlik sınıflarına çöker).

   $$r_{ab}^s=\mathbb{1}[A_a{S}^s{A}_b],r_{ab}^w=\mathbb{1}[A_a{S}^w{A}_b];\text{Johnson(}{R}^s\text{): contract simple cycles → equivalence classes; same for }{R}^w$$
   LaTeX

   r^{s}_{ab} = \mathbb{1}[A_a S^s A_b], \quad r^{w}_{ab} = \mathbb{1}[A_a S^w A_b]; \quad \text{Johnson(}R^s\text{): contract simple cycles → equivalence classes; same for } R^w

10. Adım 10 — Asiklik grafta iteratif distillation: D = clip(2·R^s + R^w, 0, 2); her iterasyonda 'dominate edilmemiş' sınıfı çek, sıralamaya ekle, grafı küçült.

    $$D=\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}(2R^s+R^w,0,2);\text{iterate: }{\text{class}}_t=\{a:a\text{ undominated in }{D}_{t-1}\},\text{append},D_t=D_{t-1}⧵{\text{class}}_t$$
    LaTeX

    D = \mathrm{clip}(2 R^s + R^w, 0, 2); \quad \text{iterate: } \text{class}_t = \{a : a \text{ undominated in } D_{t-1}\}, \; \text{append}, \; D_t = D_{t-1} \setminus \text{class}_t

11. Adım 11 — Yardımcı net üstünlük özeti (bilgilendirme; nihai sıralama F10'dan gelir).

    $${\varphi }_i^{+}=\sum _{b\ne i}(2r_{ib}^s+r_{ib}^w),{\varphi }_i^{-}=\sum _{a\ne i}(2r_{ai}^s+r_{ai}^w),{\Phi }_i={\varphi }_i^{+}-{\varphi }_i^{-}$$
    LaTeX

    \phi_i^{+} = \sum_{b \neq i} (2 r^s_{ib} + r^w_{ib}), \quad \phi_i^{-} = \sum_{a \neq i} (2 r^s_{ai} + r^w_{ai}), \quad \Phi_i = \phi_i^{+} - \phi_i^{-}

Sezgi

FUZZY-ELECTRE-II şunu sorar: 'Uzmanlar TFN olarak puanladığında, bir alternatifin diğerini geçtiğini söylemek için yeterince konkordans var mı VE veto edici bir kriterde çok zayıf değil mi?' Önce TFN'leri centroid ile crisp'e indir, vektör-normalize et, ağırlıkla çarp; sonra her (a,b) çifti için 'a, b'yi nerede dövüyor' kümesini (concordance C) ve 'a, b'den nerede çok geride' kümesini (discordance D) çıkar. Roy-Bertier 1973 5-eşik şeması ile strong outranking S^s ve weak outranking S^w tanımla; Johnson döngü eliminasyonundan sonra ileri+geri+medyan distillation ile sıralama sınıflarını üret.

Sonucu okuma: fuzzy-electre-ii extends ELECTRE-II to handle Fuzzy uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Triangular Fuzzy Number (TFN: l, m, u) algebra. The final scores are defuzzified via centroid (l+m+u)/3 before ranking.

Varsayımlar

• Thresholds (q, p, v) can be expressed in Fuzzy (Triangular) scale
• Veto + concordance semantics adapted to fuzzy arithmetic

Ne zaman kullanılmaz

• Single DM with precise crisp ratings → use crisp ELECTRE-II directly (TFN preprocessing adds noise without benefit)
• Need cardinal utility scores or trade-off intensity (ELECTRE-II outputs ordinal classes only via distillation; use FUZZY-TOPSIS / FUZZY-VIKOR for cardinal Φ_i)
• Pythagorean / q-ROF / interval-valued uncertainty - use PF-ELECTRE-II (Akram-Ilyas-Garg 2021, separate manifest) or other variant
• Small problems (m<3 alternatives) - outranking machinery underutilised, indifference class likely collapses everything together
• When concordance/discordance thresholds (c⁻, c⁰, c⁺, d⁻, d⁺) cannot be elicited or defended - Hokkanen 1995 canon defaults (0.65/0.75/0.85/0.25/0.50) used by pyDecision but problem-specific tuning often required

Sınırlılıklar

• Outputs ordinal indifference classes only - no cardinal scores for downstream optimisation
• 5-threshold elicitation burden (c⁻, c⁰, c⁺, d⁻, d⁺) without principled defaults outside Hokkanen 1995 environmental-domain canon
• Defuzzification at F2 collapses TFN to crisp prior to outranking - manifest design choice (Govindan 2010 paper does this implicitly); alternative 'all-fuzzy ELECTRE-II' (Hatami-Marbini-Tavana 2013) inspected but is an 8-step custom hybrid, NOT canonical Roy-Bertier (see P.verification_status.block_J_python_independent_audit_2026_05_19)
• Block J fixture is synthetic 3×3 (not paper-anchored) because Govindan 2010 paper raw input cite [6] Kannan 2009 only provides linguistic ratings (manifest J._audit_anchor_kannan_2009 reproduces the Chen 2000 aggregated matrix) and the paper does not enumerate threshold values used
• Indifference class can collapse all alternatives when discordance vetos dominate - under canonical 5-threshold defaults the 3×3 fixture returns a single class {A1, A2, A3} (expected behaviour, not a bug)

Sık yapılan hatalar

• Değer-uzayı ihlali: hesaplamadan önce tüm girişlerin TFN: l ≤ m ≤ u ve tümü ≥ 0 koşulunu sağladığından emin olun.
• Defuzzifikasyon yöntemi sıralamayı etkiler: centroid (l+m+u)/3 kanonik seçimdir.