Bulanık ELECTRE I (Grup, Yamuk)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — K karar vericiyi belirle ve değerlendirme kriterlerini (m alternatif, n kriter) tanımla.

   $$E=\{e_1,e_2,\dots ,e_K\},A=\{A_1,\dots ,A_m\},C=\{C_1,\dots ,C_n\}$$
   LaTeX

   E = \{e_1, e_2, \dots, e_K\}, A = \{A_1, \dots, A_m\}, C = \{C_1, \dots, C_n\}

2. Adım 2 — Her DM k, A_i alternatifini C_j kriteri için dilsel skor x̃_ijk ile değerlendirir.

   $${\tilde{x}}_{ijk}=(x_{ijk}^l,x_{ijk}^p,x_{ijk}^q,x_{ijk}^u),i=1..m,j=1..n,k=1..K$$
   LaTeX

   \tilde{x}_{ijk} = (x_{ijk}^l, x_{ijk}^p, x_{ijk}^q, x_{ijk}^u),\ i=1..m,\ j=1..n,\ k=1..K

3. Adım 3 — Her DM k, her C_j için dilsel ağırlık w̃_jk verir.

   $${\tilde{w}}_{jk}=(w_{jk}^l,w_{jk}^p,w_{jk}^q,w_{jk}^u),j=1..n,k=1..K$$
   LaTeX

   \tilde{w}_{jk} = (w_{jk}^l, w_{jk}^p, w_{jk}^q, w_{jk}^u),\ j=1..n,\ k=1..K

4. Adım 4 — Dilsel değerleri ön tanımlı ölçek (Tablo 1-2, Şekil 4-5) ile yamuk bulanık sayılara dönüştür.

   $$linguistic\_term\mapsto (l,p,q,u)$$
   LaTeX

   linguistic\_term \mapsto (l, p, q, u)

5. Adım 5 — K DM'in skor ve ağırlıklarını min-ortalama-ortalama-maks ile birleştir (Denklem 5-8).

   $${\tilde{x}}_{ij}=(x_{ij}^l,x_{ij}^p,x_{ij}^q,x_{ij}^u),x_{ij}^l={min}_k{x}_{ijk}^l,x_{ij}^p=\frac{1}{K}\sum _k{x}_{ijk}^p,x_{ij}^q=\frac{1}{K}\sum _k{x}_{ijk}^q,x_{ij}^u={max}_k{x}_{ijk}^u;{\tilde{W}}_j=(w_j^l,w_j^p,w_j^q,w_j^u)analogously$$
   LaTeX

   \tilde{x}_{ij} = (x_{ij}^l, x_{ij}^p, x_{ij}^q, x_{ij}^u),\ x_{ij}^l = \min_k x_{ijk}^l,\ x_{ij}^p = \tfrac{1}{K}\sum_k x_{ijk}^p,\ x_{ij}^q = \tfrac{1}{K}\sum_k x_{ijk}^q,\ x_{ij}^u = \max_k x_{ijk}^u;\ \tilde{W}_j = (w_j^l, w_j^p, w_j^q, w_j^u)\ analogously

6. Adım 6 — Bulanık karar matrisi Ũ ve ağırlık vektörü W̃'yi oluştur.

   $$\tilde{U}=[{\tilde{x}}_{ij}{]}_{m\times n},\tilde{W}=[{\tilde{W}}_1,{\tilde{W}}_2,\dots ,{\tilde{W}}_n]$$
   LaTeX

   \tilde{U} = [\tilde{x}_{ij}]_{m \times n},\ \tilde{W} = [\tilde{W}_1, \tilde{W}_2, \dots, \tilde{W}_n]

7. Adım 7 — Karşılaştırılabilir ölçeğe doğrusal normalleştirme. Fayda kriteri (Ω_B): r̃_ij = x̃_ij / d_j*; Maliyet kriteri (Ω_C): r̃_ij = a_j^- / x̃_ij.

   $$j\in {\Omega }_B:{\tilde{r}}_{ij}=(\frac{x_{ij}^l}{d_j^{*}},\frac{x_{ij}^p}{d_j^{*}},\frac{x_{ij}^q}{d_j^{*}},\frac{x_{ij}^u}{d_j^{*}}),d_j^{*}={max}_i{x}_{ij}^u;j\in {\Omega }_C:{\tilde{r}}_{ij}=(\frac{a_j^{-}}{x_{ij}^u},\frac{a_j^{-}}{x_{ij}^q},\frac{a_j^{-}}{x_{ij}^p},\frac{a_j^{-}}{x_{ij}^l}),a_j^{-}={min}_i{x}_{ij}^l$$
   LaTeX

   j \in \Omega_B:\ \tilde{r}_{ij} = \big(\tfrac{x_{ij}^l}{d_j^*}, \tfrac{x_{ij}^p}{d_j^*}, \tfrac{x_{ij}^q}{d_j^*}, \tfrac{x_{ij}^u}{d_j^*}\big),\ d_j^* = \max_i x_{ij}^u;\ j \in \Omega_C:\ \tilde{r}_{ij} = \big(\tfrac{a_j^-}{x_{ij}^u}, \tfrac{a_j^-}{x_{ij}^q}, \tfrac{a_j^-}{x_{ij}^p}, \tfrac{a_j^-}{x_{ij}^l}\big),\ a_j^- = \min_i x_{ij}^l

8. Adım 8 — Ağırlıklı normalleştirilmiş matris Ṽ = W̃_j · r̃_ij (bulanık çarpım).

   $${\tilde{v}}_{ij}=(v_{ij}^l,v_{ij}^p,v_{ij}^q,v_{ij}^u)=(w_j^l{x}_{ij}^l,w_j^p{x}_{ij}^p,w_j^q{x}_{ij}^q,w_j^u{x}_{ij}^u)$$
   LaTeX

   \tilde{v}_{ij} = (v_{ij}^l, v_{ij}^p, v_{ij}^q, v_{ij}^u) = (w_j^l x_{ij}^l, w_j^p x_{ij}^p, w_j^q x_{ij}^q, w_j^u x_{ij}^u)

9. Adım 9 — Her (g, f) çifti ve kriter j için Hamming mesafeleri hesapla. Karşılaştırma kuralı: ṽ_gj ≥ ṽ_fj ⟺ d(max, ṽ_fj) ≥ d(max, ṽ_gj).

   $$d(\tilde{A},\tilde{B})={\int }_R|{\mu }_{\tilde{A}}(x)-{\mu }_{\tilde{B}}(x)|dx$$
   LaTeX

   d(\tilde{A}, \tilde{B}) = \int_R |\mu_{\tilde{A}}(x) - \mu_{\tilde{B}}(x)|\, dx

10. Adım 10 — Uyum matrisi C̃ oluştur. (g, f) çifti için J_C = {j : ṽ_gj ≥ ṽ_fj}, c̃_gf = J_C içindeki W̃_j bulanık toplamı.

    $${\tilde{c}}_{gf}=(c_{gf}^l,c_{gf}^p,c_{gf}^q,c_{gf}^u)=(\sum _{j\in J_C}{w}_j^l,\sum _{j\in J_C}{w}_j^p,\sum _{j\in J_C}{w}_j^q,\sum _{j\in J_C}{w}_j^u)$$
    LaTeX

    \tilde{c}_{gf} = (c_{gf}^l, c_{gf}^p, c_{gf}^q, c_{gf}^u) = \Big(\sum_{j \in J_C} w_j^l, \sum_{j \in J_C} w_j^p, \sum_{j \in J_C} w_j^q, \sum_{j \in J_C} w_j^u\Big)

11. Adım 11 — Uyumsuzluk matrisi D oluştur. d_gf, uyumsuzluk kriterleri üzerindeki maks Hamming mesafesinin tüm kriterlerdeki maks mesafeye oranı (kesin skaler, [0,1] aralığında).

    $$d_{gf}=\frac{{max}_{j\in J_D}d(max({\tilde{v}}_{gj},{\tilde{v}}_{fj}),{\tilde{v}}_{fj})}{{max}_{j}d(max({\tilde{v}}_{gj},{\tilde{v}}_{fj}),{\tilde{v}}_{fj})},J_D=\{j:{\tilde{v}}_{gj}<{\tilde{v}}_{fj}\}$$
    LaTeX

    d_{gf} = \frac{\max_{j \in J_D}\, d(\max(\tilde{v}_{gj}, \tilde{v}_{fj}),\ \tilde{v}_{fj})}{\max_{j}\, d(\max(\tilde{v}_{gj}, \tilde{v}_{fj}),\ \tilde{v}_{fj})},\ J_D = \{j : \tilde{v}_{gj} < \tilde{v}_{fj}\}

12. Adım 12 — Ortalama uyum seviyesi C̄'ya göre Boolean matris B oluştur. c̃_gf ≥ C̄ ise (Hamming ile karşılaştır) b_gf = 1; aksi halde 0.

    $$\overline{C}=(c^l,c^p,c^q,c^u),c^{*}=\frac{1}{m(m-1)}\sum _{f=1}^m\sum _{g=1}^m{c}_{gf}^{*}\text{for }*\in \{l,p,q,u\};b_{gf}=\mathbb{1}[{\tilde{c}}_{gf}⪰\overline{C}]$$
    LaTeX

    \bar{C} = (c^l, c^p, c^q, c^u),\ c^* = \tfrac{1}{m(m-1)} \sum_{f=1}^{m} \sum_{g=1}^{m} c_{gf}^*\ \text{for } * \in \{l, p, q, u\};\ b_{gf} = \mathbb{1}[\tilde{c}_{gf} \succeq \bar{C}]

13. Adım 13 — Ortalama uyumsuzluk seviyesi D̄'ye göre Boolean matris H oluştur. d_gf < D̄ ise h_gf = 1; aksi halde 0.

    $$\overline{D}=\frac{1}{m(m-1)}\sum _{f=1}^m\sum _{g=1}^m{d}_{gf};h_{gf}=\mathbb{1}[d_{gf}<\overline{D}]$$
    LaTeX

    \bar{D} = \tfrac{1}{m(m-1)} \sum_{f=1}^{m} \sum_{g=1}^{m} d_{gf};\ h_{gf} = \mathbb{1}[d_{gf} < \bar{D}]

14. Adım 14 — Global matris Z = B ⊗ H (Hadamard çarpımı). Karar grafiği G = (V, J): her alternatif bir köşe; z_gf = 1 ise A_g → A_f yayı. z_gf = z_fg = 1 kayıtsızlık; z_gf = 0 = z_fg karşılaştırılamazlık.

    $$Z=B\otimes H,z_{gf}=b_{gf}·h_{gf};A_{g}S{A}_f\iff z_{gf}=1$$
    LaTeX

    Z = B \otimes H,\ z_{gf} = b_{gf} \cdot h_{gf};\ A_g\, S\, A_f \Leftrightarrow z_{gf} = 1

Sezgi

FUZZY-ELECTRE-I, Roy (1968) tarafından geliştirilen ELECTRE I outranking yönteminin Hatami-Marbini ve Tavana (2011, Omega) tarafından trapezoidal fuzzy sayılar ile grup karar verme ortamına taşınmış halidir. Klasik ELECTRE'nin temel sezgisi diğer MCDM yöntemlerinden köktenci ölçüde farklıdır: alternatifleri tek bir skalar fayda skoruyla sıralamak yerine, her alternatif çiftine BİNARY OUTRANKING ilişkisi (A_g S A_f = 'A_g, A_f'i outrank ediyor mu?') atar; bu ilişki bir Boolean matris ve YÖNLÜ ÇİZGE (decision graph) olarak yorumlanır. Çizgeyi gezerek 'tercih edilen', 'kıyaslanamaz' (incomparable) ve 'kayıtsız' (indifferent) alternatif kümeleri çıkarılır. Paper'ın grup uzantısı, K uzmanın trapezoidal puanlarını min-mean-mean-min (Eq.8) ile agregat eder; fuzzy concordance/discordance matrislerini Hamming uzaklığı ile inşa eder (Eq.14-16). Outranking eşiği c̄ (ortalama concordance) Boolean B matrisini üretir (Eq.17), kıyaslanabilirlik bilgisi TOPSIS gibi metrik sıralayıcılarda KAYBOLAN bir zenginliktir.

Sonucu okuma: Output is a partial order: each alternative is dominated by, dominates, or is incomparable/indifferent to every other. Read the Z matrix row-wise: z_gf = 1 means A_g outranks A_f. Equivalence classes appear as ties in the rank column; alternatives with z_gf = z_fg = 0 share no dominance relation and are flagged 'incomparable'. A choice problem typically selects from the top equivalence class (the kernel of the decision graph).

Varsayımlar

• Each linguistic term maps deterministically to a TrFN (Tables 1-2 of seminal)
• DMs are interchangeable (mean aggregation in Eqs.5-8 assumes equal authority)
• Hamming distance is the chosen TrFN dissimilarity (seminal §2 Def.3)

Ne zaman kullanılmaz

• A complete linear ranking is required (use FUZZY-TOPSIS or fuzzy ELECTRE III instead)
• Single DM with crisp ratings (use crisp ELECTRE I)
• Criterion weights must be calibrated as a probability simplex

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Hatami-Marbini & Tavana 2011, p.382 Table 14: ELECTRE family exhibits more rank reversal than TOPSIS as the number of actions grows.)
• Assumes: Each linguistic term maps deterministically to a TrFN (Tables 1-2 of seminal)
• Assumes: DMs are interchangeable (mean aggregation in Eqs.5-8 assumes equal authority)
• Assumes: Hamming distance is the chosen TrFN dissimilarity (seminal §2 Def.3)

Sık yapılan hatalar

• Adım 9'dan önce yamuk ağırlıkları veya matris girişlerini defuzzify etmeyin. Eq.(2)'deki Hamming mesafesi tam üyelik fonksiyonunu gerektirir; centroid defuzzifikasyonu üstünlük kararını sürükleyen asimetriyi yok eder.
• ELECTRE I bir seçim yöntemidir, tam sıralama yöntemi değil. Karşılaştırılamazlık bir hata değil özelliktir - belirsiz verinin bazı çiftler için kesin sıra ifade etmediğini doğru biçimde gösterir.
• Bulanık ağırlıkları olasılık simpleksi (Σ w_j = 1) olarak ele almak burada yanlıştır. Eq.(14)'te uyum indeksi TrFN'leri bulanık büyüklük olarak toplar; seminaldeki Tablo 5 ağırlıkları toplamı 1 değildir.
• Aytaç vd. 2011 üçgen bulanık sayıya (3-tuple) basitleştirir. Bu, p = q'lu bir dejenere durumdur; meşru ama yamuk modelin bir serbestlik derecesini kaybeder. Kanonik algoritma için TrFN'de kalın.