DHF-TODIM - TODIM yönteminin Çift Kararsız Bulanık (DHF) uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — DHFE matrisi P=(ρ_ij)_{m×n}, ρ_ij=(h_ij,g_ij) okunur; DHFE kısıtları (E-2), ağırlık sempleksi (E-3) ve Φ>0 (E-4) doğrulanır.

   $$P=({\rho }_{ij}{)}_{m\times n},{\rho }_{ij}=(h_{ij},g_{ij}),\Lambda =({\Lambda }_1,\dots ,{\Lambda }_n),\sum _j{\Lambda }_j=1,\Phi >0$$
   LaTeX

   P = (\rho_{ij})_{m\times n},\ \rho_{ij} = (h_{ij}, g_{ij}),\ \Lambda = (\Lambda_{1},\dots,\Lambda_{n}),\ \sum_{j}\Lambda_{j}=1,\ \Phi > 0

2. Adım 2 — DHFE matrisini maliyet-tümleyeni ile normalleştir (Liu 2023, Denklem 5.1): fayda kriterleri j∈B için ρ_ij=(h_ij,g_ij) korunur; maliyet kriterleri j∈C için ρ'_ij=(g_ij,h_ij).

   $${\rho }_{ij}^{\prime }=\{\begin{array}{cc}(h_{ij},g_{ij})\hfill & j\in B\text{(benefit)}\hfill \\ (g_{ij},h_{ij})\hfill & j\in C\text{(cost)}\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \rho'_{ij}=\begin{cases}(h_{ij},g_{ij}) & j\in B\ \text{(benefit)}\\(g_{ij},h_{ij}) & j\in C\ \text{(cost)}\end{cases}

3. Adım 3 — Referans kriter r=argmax_j Λ_j ve göreli ağırlıklar w'_jr = Λ_j / Λ_r (Liu 2023, Denklem 5.2). max(Λ) eşitliğinde en küçük indeks alınır.

   $$r=\mathrm{\backslash arg}{max}_j{\Lambda }_j,w_{jr}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\Lambda }_j}{{\Lambda }_r}},j=1,\dots ,n;0\le w_{jr}^{\prime }\le 1$$
   LaTeX

   r = \arg\max_{j}\Lambda_{j},\quad w'_{jr} = \dfrac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{r}},\ j=1,\dots,n;\ 0\le w'_{jr}\le 1

4. Adım 4 — DHFE skoru (ω≡0 ile Liu 2023 Denklem 3.2'nin DHFE özel hali): S(ρ_ij) = (1/|h_ij|) Σ_{γ∈h_ij} γ − (1/|g_ij|) Σ_{η∈g_ij} η. Zhu 2012'deki boş küme kuralı geçerli (∅'nin ortalaması 0).

   $$S({\rho }_{ij})={\displaystyle \frac{1}{|h_{ij}|}}\sum _{\gamma \in h_{ij}}\gamma -{\displaystyle \frac{1}{|g_{ij}|}}\sum _{\eta \in g_{ij}}\eta \text{(DHFE reduction of Liu 2023, Eq.3.2)}$$
   LaTeX

   S(\rho_{ij}) = \dfrac{1}{|h_{ij}|}\sum_{\gamma\in h_{ij}}\gamma - \dfrac{1}{|g_{ij}|}\sum_{\eta\in g_{ij}}\eta\quad\text{(DHFE reduction of Liu 2023, Eq.3.2)}

5. Adım 5 — DHFE diverjansı (ω≡0 ile Liu 2023 Denklem 3.1'in DHFE özel hali). Eşleme öncesi h, g elemanları her bir DHFE içinde azalan sırada düzenlenir σ(j); standart hesitant eşleştirme kuralıyla kısa kümeler uzun kümenin boyutuna sıfırla doldurulur.

   $$d({\rho }_{i1},{\rho }_{i2})={\left[{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sum }_{j=1}^n{\Lambda }_j\right(|{\mu }_{i1\sigma (j)}-{\mu }_{i2\sigma (j)}{|}^2+|v_{i1\sigma (j)}-v_{i2\sigma (j)}{|}^2\left)\right]}^{1/2}\text{(Liu 2023, Eq.3.1 reduced to DHFE)}$$
   LaTeX

   d(\rho_{i1},\rho_{i2}) = \left[\dfrac{1}{4}\sum_{j=1}^{n}\Lambda_{j}\Big(|\mu_{i1\sigma(j)}-\mu_{i2\sigma(j)}|^{2}+|v_{i1\sigma(j)}-v_{i2\sigma(j)}|^{2}\Big)\right]^{1/2}\quad\text{(Liu 2023, Eq.3.1 reduced to DHFE)}

6. Adım 6 — F5 diverjansı ve F4 skoruyla kriter bazlı egemenlik ℜ_j(a_i, a_p) (Liu 2023, Denklem 5.3). İşaret ΔS_j = S(ρ_ij) − S(ρ_pj) ile belirlenir. Paydadaki Σ, Σ_{r=1}^{n} w'_jr'dir.

   $${\Re }_j(a_i,a_p)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{{\displaystyle \frac{w_{jr}^{\prime }d({\rho }_{ij},{\rho }_{pj})}{{\sum }_{r=1}^n{w}_{jr}^{\prime }}}},\hfill & \Delta S_j>0\hfill \\ [\mathrm{4pt}]0,\hfill & \Delta S_j=0\hfill \\ [\mathrm{4pt}]-{\displaystyle \frac{1}{\Phi }}\sqrt{{\displaystyle \frac{({\sum }_{r=1}^n{w}_{jr}^{\prime })d({\rho }_{ij},{\rho }_{pj})}{w_{jr}^{\prime }}}},\hfill & \Delta S_j<0\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   \Re_{j}(a_{i},a_{p}) = \begin{cases}\sqrt{\dfrac{w'_{jr}\,d(\rho_{ij},\rho_{pj})}{\sum_{r=1}^{n}w'_{jr}}}, & \Delta S_{j}>0\\[4pt] 0, & \Delta S_{j}=0\\[4pt] -\dfrac{1}{\Phi}\sqrt{\dfrac{(\sum_{r=1}^{n}w'_{jr})\,d(\rho_{ij},\rho_{pj})}{w'_{jr}}}, & \Delta S_{j}<0\end{cases}

7. Adım 7 — Toplam egemenlik Δ(a_i, a_p) = Σ_{j=1}^{n} ℜ_j(a_i, a_p) (Liu 2023, Denklem 5.5–5.6). i. satırı a_i alternatifinin her a_p partneriyle karşılaştırmasını veren m×m matrisi üretir.

   $$\Delta (a_i,a_p)=\sum _{j=1}^n{\Re }_j(a_i,a_p),[\Delta (a_i,a_p){]}_{m\times m}$$
   LaTeX

   \Delta(a_{i},a_{p}) = \sum_{j=1}^{n}\Re_{j}(a_{i},a_{p}),\quad [\Delta(a_{i},a_{p})]_{m\times m}

8. Adım 8 — Pozitif-ideal değer PI⁺_i = (Σ_p Δ(a_i, a_p) − min_{i'} Σ_p Δ(a_{i'}, a_p)) / (max_{i'} Σ_p Δ(a_{i'}, a_p) − min_{i'} Σ_p Δ(a_{i'}, a_p)) ∈ [0,1]; azalan sıralama nihai sıralamayı verir (Liu 2023, §5 Adım 7–8).

   $$P{I}_i^{+}={\displaystyle \frac{{\sum }_{p=1}^m\Delta (a_i,a_p)-{min}_{i^{\prime }}{\sum }_{p=1}^m\Delta (a_{i^{\prime }},a_p)}{{max}_{i^{\prime }}{\sum }_{p=1}^m\Delta (a_{i^{\prime }},a_p)-{min}_{i^{\prime }}{\sum }_{p=1}^m\Delta (a_{i^{\prime }},a_p)}},P{I}_i^{+}\in [0,1];\text{rank}=\mathrm{\backslash arg}\downarrow P{I}^{+}$$
   LaTeX

   PI^{+}_{i} = \dfrac{\sum_{p=1}^{m}\Delta(a_{i},a_{p}) - \min_{i'}\sum_{p=1}^{m}\Delta(a_{i'},a_{p})}{\max_{i'}\sum_{p=1}^{m}\Delta(a_{i'},a_{p}) - \min_{i'}\sum_{p=1}^{m}\Delta(a_{i'},a_{p})},\quad PI^{+}_{i}\in[0,1];\ \text{rank}=\arg\!\downarrow PI^{+}

Sezgi

Dual Hesitant outranking/ranking - Dual Hesitant Fuzzy Element (DHFE: h(x) membership set, g(x) non-membership set). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: DHF-TODIM implements the pure-DHFE projection of Liu et al. (2023) CDHF-TODIM. Inputs are Dual Hesitant Fuzzy Elements ρ=(h,g) with γ⁺+η⁺≤1. The 8-step pipeline (F1 input validation; F2 Eq.5.1 cost-complement normalisation; F3 Eq.5.2 relative weights against the heaviest criterion; F4 Eq.3.2 DHFE score; F5 Eq.3.1 DHFE divergence; F6 Eq.5.3 piecewise per-criterion dominance with loss attenuation 1/Φ; F7 Eq.5.5-5.6 cross-criterion aggregation; F8 PI⁺ min-max normalisation and descending sort) carries no probabilistic component and no complex argument. For non-zero complex memberships, use Liu's CDHF-TODIM directly - the manifest's DHFE-only ranking is not guaranteed to reproduce CDHF results.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Dual Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TODIM directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Assumes: Decision matrix entries are valid Dual Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• DHFE aritmetiğinden önce DHFE geçerliliği zorlanmalı: γ⁺+η⁺ ≤ 1, γ⁺=max(h), η⁺=max(g). Liu Tablo 3 dilsel kodlamaları bunu zaten sağlar; kullanıcı girdileri sağlamayabilir.
• Dikkat faktörü Φ Denklem 5.3'te kayıp aversiyonunu kontrol eder (negatif kol 1/Φ ile ölçeklenir). Liu §5 Rusya-Ukrayna örneği için belirli bir Φ vermez; manifest Φ=1.0 varsayar. Yüksek Φ kayıp etkisini düzleştirir ve PI⁺ ayrımını sıkıştırabilir.
• Referans kriter r=argmax_j Λ_j birden fazla ağırlığın maksimumda eşit olduğunda belirsizdir (Liu §5'te Λ_1=Λ_2=0.25). Eşitlik kuralı: en küçük indeks alınır, dolayısıyla yayımlanmış örnekte r=1. Farklı eşitlik kuralları farklı w'_jr ölçekleri ve farklı PI⁺ değerleri üretebilir.
• DHFE diverjansı (Denklem 3.1 indirgemesi) h, g eleman kümelerinin azalan sıra σ(j) ile eşleştirildiğini varsayar; kısa kümeler sıfırla doldurulur. Farklı eşleştirmeler farklı d ve ardışık ℜ_j katkıları verir.
• PI⁺ alternatifler boyunca min-max normalleştirme kullanır; tüm satır toplamları eşitse (max=min) payda sıfırdır ve PI⁺ tanımsızdır. Yedek: tüm i için PI⁺_i = 0 döndür ve düz sıralama bildir.