DHF-COPRAS - COPRAS yönteminin Çift Kararsız Bulanık (DHF) uzantısı

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım I (Rani & Mishra §3.2) — Alternatif kümesi G=(G_1,…,G_m) ve kriter kümesi F=(F_1,…,F_n). l adet uzman DHFE karar matrisi Z=(z_{ij}^k); pure HFE girdileri = g_{ij}^k=∅ özel hali. Kriter yön kümesi Υ_1=fayda/Υ_2=maliyet alınır.

   $$Z=(z_{ij}^k{)}_{m\times n},k=1,\dots ,l;z_{ij}^k=⟨h_{ij}^k,g_{ij}^k⟩;{{\rm Y}}_1\cup {{\rm Y}}_2=\{1,\dots ,n\}$$
   LaTeX

   Z = (z_{ij}^{k})_{m\times n},\quad k=1,\dots,l;\ z_{ij}^{k}=\langle h_{ij}^{k},\ g_{ij}^{k}\rangle;\ \Upsilon_{1}\cup\Upsilon_{2}=\{1,\dots,n\}

2. Adım II (Rani & Mishra Eq.7) — Crisp uzman ağırlık vektörü λ. weight_method='entropy_eq7': HFS entropisi e(ħ_k) ile λ_k=(1−e(ħ_k))/Σ(1−e(ħ_k)); yüksek entropi → düşük ağırlık. weight_method='direct': λ doğrudan additional_input ile verilir.

   $${\lambda }_k={\displaystyle \frac{1-e({\hslash }_k)}{{\sum }_{k=1}^l(1-e({\hslash }_k))}},k=1,\dots ,l;\sum _{k=1}^l{\lambda }_k=1$$
   LaTeX

   \lambda_{k} = \dfrac{1 - e(\hbar_{k})}{\sum_{k=1}^{l}\bigl(1 - e(\hbar_{k})\bigr)},\quad k=1,\dots,l;\quad \sum_{k=1}^{l}\lambda_{k}=1

3. Adım III (Rani & Mishra Eq.8 → Zhu 2012 DHFWA lifti) — l adet DHFE matrisini DHFWA operatörü ile (λ_k ile) AHF-D matrisi P=(ξ_{ij})'ye birleştir. Pure HFE girdiler (g=∅) için Mishra HFWA Eq.(8)'e tam indirgenir; g≠∅ için non-membership bileşeni Zhu 2012 Eq.(4) ile geometrik birleşir.

   $${\xi }_{ij}={⨁}_{k=1}^l{\lambda }_k{z}_{ij}^k=\backslash langle{\bigcup }_{{\gamma }_{ij}^k\in h_{ij}^k}\backslash \{1-\prod _{k=1}^l(1-{\gamma }_{ij}^k{)}^{{\lambda }_k}\backslash \},{\bigcup }_{{\eta }_{ij}^k\in g_{ij}^k}\backslash \{\prod _{k=1}^l({\eta }_{ij}^k{)}^{{\lambda }_k}\backslash \}\backslash rangle$$
   LaTeX

   \xi_{ij} = \bigoplus_{k=1}^{l} \lambda_{k}\,z_{ij}^{k} = \Bigl\langle \bigcup_{\gamma_{ij}^{k}\in h_{ij}^{k}} \Bigl\{1 - \prod_{k=1}^{l}\bigl(1-\gamma_{ij}^{k}\bigr)^{\lambda_{k}}\Bigr\},\ \bigcup_{\eta_{ij}^{k}\in g_{ij}^{k}} \Bigl\{\prod_{k=1}^{l}\bigl(\eta_{ij}^{k}\bigr)^{\lambda_{k}}\Bigr\} \Bigr\rangle

4. Adım IV (Rani & Mishra §3.2 Adım IV-A..IV-F, Eq.9–11) — SWARA kriter ağırlıkları w. (IV-A) DHFE skoru s(ξ_{ij})=mean(h)−mean(g) (Zhu 2012; g=∅ ile Mishra Eq.(2)'ye indirgenir). (IV-B) DE kriterleri sıralar. (IV-C) DE j>1 için s_j verir. (IV-D) Eq.(9) k_1=1, k_j=s_j+1. (IV-E) Eq.(10) p_1=1, p_j=p_{j−1}/k_j. (IV-F) Eq.(11) w_j=p_j/Σp_j, Σw_j=1.

   $$k_j=\{\begin{array}{cc}1\hfill & j=1\hfill \\ s_j+1\hfill & j>1\hfill \end{array};p_j=\{\begin{array}{cc}1\hfill & j=1\hfill \\ p_{j-1}/k_j\hfill & j>1\hfill \end{array};w_j={\displaystyle \frac{p_j}{{\sum }_{j=1}^n{p}_j}}$$
   LaTeX

   k_{j} = \begin{cases} 1 & j=1 \\ s_{j}+1 & j>1 \end{cases};\quad p_{j} = \begin{cases} 1 & j=1 \\ p_{j-1}/k_{j} & j>1 \end{cases};\quad w_{j} = \dfrac{p_{j}}{\sum_{j=1}^{n} p_{j}}

5. Adım V-prep (Rani & Mishra 2020 §3.2 kimlik etiketi) — Seminal HF-SWARA-COPRAS tarifinde maliyet yönü açık bir tamamlayıcı tarafından normalleştirilmez; Denklem.12–13 P'nin ham fayda ve maliyet hücrelerini birleştirir ve yön inversion analitik olarak Denklem.15'teki (Adım VI) (1−γ)·(Σ S(v_k))/(S(v_i)·Σ 1/S(v_k)) terimi tarafından gerçekleştirilir. Bu nedenle F5 kimlik geçişidir P'≡P, motorun F-dizisinde yapısal bir yer alan olarak korunur; aşağı yönlü Adım V (F6) P' kelime kelime kullanır ve kağıt Tablo 8 değerlerini S(σ_i) ve S(v_i) için ≤0.005 içinde yeniden üretir (kağıt 3-ondalık kesinlik rapor eder).

   $${\xi }_{ij}^{\prime }={\xi }_{ij}\forall (i,j)\in \{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}$$
   LaTeX

   \xi'_{ij} = \xi_{ij}\quad \forall (i,j)\in\{1,\dots,m\}\times\{1,\dots,n\}

6. Adım V (Rani & Mishra Eq.12–13) — Alternatif başına fayda toplamı σ_i (Eq.12) ve maliyet toplamı v_i (Eq.13); DHFE-değerli ağırlıklı toplamlar (Zhu 2012 Eq.5,7). σ_i fayda sütunları Υ_1'de, v_i maliyet sütunları Υ_2'de toplanır. w_j F4'ten gelir.

   $${\sigma }_i={⨁}_{j\in {{\rm Y}}_1}{w}_j{\xi }_{ij},v_i={⨁}_{j\in {{\rm Y}}_2}{w}_j{\xi }_{ij},i=1,2,\dots ,m$$
   LaTeX

   \sigma_{i} = \bigoplus_{j\in\Upsilon_{1}} w_{j}\,\xi_{ij},\qquad v_{i} = \bigoplus_{j\in\Upsilon_{2}} w_{j}\,\xi_{ij},\quad i=1,2,\dots,m

7. Adım VI-hazırlık — σ_i ve v_i'yi DHFE skor fonksiyonu s(d)=mean(h)−mean(g) ile crisp skalarlere indirge (Zhu 2012 Tanım 2). Pure HFE (g=∅) için Mishra Eq.(2)'ye indirgenir. DHFE girdileri için skor negatif olabilir (s(d)∈[−1,1]); Q-formülü S(v_i)≤0 için belgelenmiş yakınsama gerektirir.

   $$S({\sigma }_i)=\frac{1}{|h_{{\sigma }_i}|}\sum _{\gamma \in h_{{\sigma }_i}}\gamma -\frac{1}{|g_{{\sigma }_i}|}\sum _{\eta \in g_{{\sigma }_i}}\eta ,S(v_i)\text{analogously};\text{mean}(\varnothing )\equiv 0$$
   LaTeX

   S(\sigma_{i}) = \tfrac{1}{|h_{\sigma_{i}}|}\sum_{\gamma\in h_{\sigma_{i}}}\gamma - \tfrac{1}{|g_{\sigma_{i}}|}\sum_{\eta\in g_{\sigma_{i}}}\eta,\quad S(v_{i})\ \text{analogously};\ \text{mean}(\emptyset)\equiv 0

8. Adım VI (Rani & Mishra Eq.14–15) — Alternatif göreli ağırlığı θ_i=γ·S(σ_i)+(1−γ)·(Σ_i S(v_i))/(S(v_i)·Σ_i (1/S(v_i))), γ∈[0,1]. Eq.(14) ağırlıksız (γ=1 limit), Eq.(15) strateji-parametreli (γ=0.5 varsayılan). Bileşik oran klasik Zavadskas–Kaklauskas 1996 COPRAS Q-formülünün DHFE skorları üzerinde uygulanmasıdır.

   $${\theta }_i=\gamma S({\sigma }_i)+(1-\gamma ){\displaystyle \frac{{\sum }_{i=1}^{m}S(v_i)}{S(v_i){\sum }_{i=1}^m{\displaystyle \frac{1}{S(v_i)}}}},i=1,2,\dots ,m$$
   LaTeX

   \theta_{i} = \gamma\,S(\sigma_{i}) + (1-\gamma)\,\dfrac{\sum_{i=1}^{m} S(v_{i})}{S(v_{i})\,\sum_{i=1}^{m} \dfrac{1}{S(v_{i})}},\quad i=1,2,\dots,m

9. Adım VII–VIII (Rani & Mishra Eq.16–17) — Öncelik sıralaması ve fayda derecesi. Adım VII: G^*=arg max θ_i (Eq.16); azalan θ_i sıralaması. Adım VIII: fayda derecesi λ_i=(θ_i/θ_max)×100% (Eq.17), λ_i∈[0,100]%, λ_{i^*}=100%.

   $$G^{*}=\mathrm{\backslash arg}{max}_i{\theta }_i;{\lambda }_i={\displaystyle \frac{{\theta }_i}{{\theta }_{max}}}\times 100\%,i=1,\dots ,m;\text{rank descending in }{\theta }_i$$
   LaTeX

   G^{*} = \arg\max_{i} \theta_{i};\quad \lambda_{i} = \dfrac{\theta_{i}}{\theta_{\max}}\times 100\%,\ i=1,\dots,m;\quad \text{rank descending in } \theta_{i}

Sezgi

Dual Hesitant outranking/ranking - Dual Hesitant Fuzzy Element (DHFE: h(x) membership set, g(x) non-membership set). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: DHF-COPRAS (Rani & Mishra 2020 HF-SWARA-COPRAS lifted to DHFE) is the dual-hesitant extension of COPRAS with integrated SWARA criterion weighting and entropy-based DE weighting. l decision experts each supply a DHFE matrix; DHFWA (Eq.8 lift of Zhu 2012 Eq.4) aggregates them into the AHF-D matrix using crisp DE weights λ_k (Eq.7 HFS-entropy or direct). Each AHF-D cell is defuzzified via the DHFE score s(d)=mean(h)−mean(g) (Zhu 2012 Def. 2) for SWARA ordering; SWARA Eqs.(9)-(11) yield criterion weights w_j. Cost columns are complemented (Zhu 2012 Eq.6 swap h↔g) and benefit/cost aggregates σ_i, v_i are computed as DHFE-weighted sums (Eqs.12-13). Their crisp scores S(σ_i), S(v_i) feed the Zavadskas-Kaklauskas Q-formula θ_i=γ·S(σ_i)+(1−γ)·(Σ S(v_i))/(S(v_i)·Σ(1/S(v_i))) (Eq.15) with strategy parameter γ∈[0,1] (default 0.5; γ<0.5 pessimistic toward cost criteria, γ>0.5 optimistic toward benefit). Alternatives are ranked DESCENDING by θ_i; the degree of utility λ_i=(θ_i/θ_max)×100% (Eq.17) yields a percentage comparison against the best. Pure-HFE inputs (g=∅) collapse DHFWA→HFWA and reproduce the seminal Rani & Mishra ranking exactly.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid Dual Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base COPRAS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid Dual Hesitant Fuzzy numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Pure HFE vs DHFE girdileri: motor ikisini de kabul eder; HFE'ler Eq.(8) DHFWA öncesi otomatik olarak g=∅ ile DHFE'ye yükseltilir. Sessizce sentetik g={1−max(h)} (Atanassov tereddüt tekilliği) ekleme - skoru −mean(g) kadar kaydırır ve sıralamayı bozar; sadece kullanıcı açıkça intuitionistic gömme istiyorsa yap.
• Strateji parametresi γ duyarlılığı: Eq.(15) sıralaması Rani & Mishra Tablo 9'da bildirilen γ-eşiklerinde çevrilebilir (§4 SSS örneğinde γ≈0.2-0.3 üst değişim, γ≈0.7-0.8 alt değişim). Kullanılan γ'yı belgele ve γ∈{0.0,0.25,0.5,0.75,1.0} duyarlılığını koş.
• S(v_i) işareti ve sıfır durumları: DHFE girdileri (g≠∅) kullanıldığında maliyet skoru S(v_i)=mean(h)−mean(g) negatif olabilir; Q bileşik oranı Σ S(v_i)/(S(v_i)·Σ(1/S(v_i))) tanımsızlaşır. Motor (a) tüm S(v_i)'ye pozitif kayma δ ekleyerek, ya da (b) |S(v_i)| kullanarak ele alır. Pure HFE (g=∅) için S(v_i)≥0 ve sorun çıkmaz.
• Entropiden türetilmiş DE ağırlığı dayanıklılığı: Eq.(7) tüm DE maksimum kararsızlık verirse (e(ħ_k)=1 ∀k) payda 0 olur. Motor tekdüze λ_k=1/l'ye geri düşer; güçlü ön bilgi olanlar weight_method='direct'i kullanmalı.